系统性风险度量的可引出性和可识别性

（2014）表明，对于满足一定正则性条件的一维泛函，无向识别函数的存在性等价于泛函的可导性。而识别函数的方向会立即导致基本分数的一致性，从而导致（3.8）处混合分数的一致性，对于某个函数的所有评分函数是否必须采用格式（3.8）的问题，通常只能通过调用Osband的原则（Fissler&Ziegel，2016；Osband，1985）来回答，因此假设平滑度和规则性条件。我们为系统风险度量R构建严格一致的穷举评分函数，也利用了关于R0存在定向严格选择性识别函数的关键结果，本质上与上述方法类似。对于任何y∈ Rd，我们将使用符号R（y）：=R（δy）。定理3.8。

设VR0:Rd×Rd→ R应为所有F∈ Md公司∪ {δy | y∈ Rd}VR0（k，F）∈((-∞, 0]，如果k/∈ R（F）[0，∞), 如果k∈ R（F）。（3.10）（i）根据假设（1），对于每个k∈ Rd，映射SR，k:bP（Rd；Rd+）×Rd→ [0, ∞),SR，k（A，y）=1R（y）\\A（k）-1A\\R（y）（k）VR0（k，y）（3.11）是R:Md的非负Md一致穷举评分函数→bP（Rd；Rd+）。（ii）在假设（1）下，如果π是B（Rd）上的σ-有限非负度量，则map SR，π：bP（Rd；Rd+）×Rd→ [0, ∞],SR，π（A，y）=ZRdSR，k（A，y）π（dk）（3.12）是R:Md的非负Md一致穷举评分函数→bP（Rd；Rd+）。（iii）如果假设（2）成立，如果VR0是r0的严格选择性Md识别函数，如果π是B（Rd）上的σ-有限严格正度量，则（3.12）中定义的R，π对F（Rd；Rd+）×rd0的限制与R:Md0严格一致→F（Rd；Rd+），其中Md0 MDI使得'SR，π（R（F），F）<∞ 对于所有F∈ 注意，（3.10）处的条件是某种弱定向形式。然而，这并不意味着VR0是R0的识别函数。在一维设置中，如果基础风险度量为价值风险且分布不连续，则在实践中可能会出现这种情况，这意味着相应的量化识别函数在预期中不会达到0。尽管我们将定理3.8的形式证明推迟到附录A.1中，但考虑到定理3.8构成了图13。图1：尺寸d=2的方程（3.13）的图解说明，我们仍想勾画和说明这一想法。假设红色区域对应于正确指定的风险度量R（F），蓝色区域对应于一些错误指定的预测A。

得分差异'SR，π（A，F）-\'SR，π（R（F），F）是R（F）\\A（redonly区域）上的\'VR0（·，F）的积分，加上-\'VR0（·，F）在A（F）（仅蓝色区域）上。本文的主要结果之一。关键的观察是恒等式SR，π（A，F）-\'SR，π（R（F），F）=ZR（F）\\A\'VR0（k，F）π（dk）-ZA\\R（F）(R)VR0（k，F）π（dk）。（3.13）然后，我们使用（3.10）中给出的Vr0弱方向得出结论，（3.13）右侧的FirstIntegral为≥ 0，而第二个积分为≤ 图1提供了这种情况的失写说明。这是为了对OREM 3.8.3.2.1中构建的评分函数做出一些评论。与一维情况相比，（3.12）和（3.8）处的混合表示具有明显的相似性。通过仔细阅读，我们还可以看到（3.11）和（3.9）给出的小学分数水平上的相似之处。实际上，（3.9）可以重写为asSθ（x，y）=1[y，∞)\\[x，∞)(θ) -1[x，∞)\\[是，∞)(θ)V（θ，y）。R（y）的形式可以在下面的引理中明确描述，其中我们使用ρ（ρ（0））=ρ（0）的事实- ρ（0）=0.14引理3.9。设R（Y）={k∈ Rd |ρ∧（Y+k））≤ 0}，Y∈ Yd，其中标量风险度量ρ是递减的且现金不变的，且聚合函数∧：Rd→ R正在增加。然后，对于每个y∈ Rdit认为r（y）=∧-1([ρ(0), ∞)) - y=∧-1（{ρ（0）}）+Rd+- y、 考虑到分位数或期望面积标量风险度量值为负值的符号约定，可以看到维度d=1.3.2.2时，（3.11）处的基本分数基本上下降到（3.9）处的分数。可积性（3.11）处初等分数的非负性保证了（3.12）处的积分始终存在。

然而，如定理3.8第（iii）部分所述，只有当'SR，π（R（F），F）<∞, 这就提出了（3.12）的积分何时确定的问题。后者的一个有效条件是rrd | VR0（k，y）|π（dk）<∞. 因此，“SR，π（a，F）”完整性的一个充分条件是Vr0为πF-可积。3.2.3. 正常化根据结构，小学分数为（3.11），因此分数为（3.12），都不是负值。众所周知，如果评分函数S（x，y）对于某些函数T是（严格）M-相容的，那么对于λ>0和一些M-可积函数a:O→ R、 核心S0（x，y）=λS（x，y）+a（y），λ>0对于T也是（严格）M一致的。继Gneiting和Raftery（2007）之后，我们认为S和S0是等效的。因此，如果mc包含所有点测度，则s0对于T和y 7是严格M一致的→ S0（T（δy），y）isM可积，分数S（x，y）=S0（x，y）-S0（T（δy），y）通过构造是非负的。然而，有时放松评分为非负的归一化条件也有助于放松评分函数的可积性条件。一个标准示例是平方损失S（x，y）=（x- y） 2这是非负的，与任何一类具有有限一阶矩的分布的平均值一致，与任何一类具有有限二阶矩的分布的平均值严格一致。另一方面，等效分数S0（x，y）=x2- 2xy映射到R，但相对于任何一类具有有限一阶矩的分布，其平均值严格一致。有鉴于此，考虑分数S0R，k可能会很有趣，这相当于（3.11）的基础分数。自然选择可能是S0R，k（A，y）=-1A（k）VR0（k，y）；参见Dawid（2016）。

这导致了类似于（3.12）式s0r的替代混合物表示，π（A，y）=ZRdS0R，k（A，y）π（dk）=-ZAVR0（k，y）π（dk）。然而，由于被积函数S0R，k（A，y）可以同时获得正值和负值，因此需要强制其负部分是π-可积的，以保证积分的存在。153.2.4. 所有一致性评分函数的特征有证据表明，在适当的规则性条件下，风险度量R的所有一致性评分函数均等于（3.12）中给出的分数。这意味着，模等价，一致评分函数的选择归结为度量π的选择。首先，请注意，命题3.4意味着，我们实际上从哪个方向开始，并不重要。事实上，如果V0R0是另一个此类识别函数，则对于某些正函数h，V0R0（k，y）=h（k）VR0（k，y）。但这仅相当于测量值的变化，因为VR0（k，y）π（dk）=V0R0（k，y）π0（dk），其中π0的密度为1/h。其次，形式（3.12）的评分函数类是凸的，这是一个必要条件（Gneiting，2011a）。第三，如上所述，（3.12）处的混合表示是一维情况的自然延伸。如前所述，对于一维情况，人们通常只能调用Osband的原理来建立这种必要条件。由于Os-band的原理依赖于一阶条件参数，因此它仅在光滑条件和有限维情况下成立。我们怀疑可以将其推广到预测上集inF（Rd；Rd+）的有限维环境中。可能的方法可能是借用变分法的思想，或者考虑分数的增量而不是导数。

然而，这些方法的技术处理超出了本文的范围，因此我们将其推迟到未来的研究。3.2.5. 顺序敏感性已知，在对ρ的弱假设下，ρ的所有严格一致的评分函数都是顺序敏感性或准确性奖励；参见（Nau，1985，提案3），（Lam bert，2013，提案2），（Bellini&Bignozzi，2015，提案3.4）。在scalarsetting中，此属性表示x1≤ x2个≤ ρ（F）或ρ（F）≤ x2个≤ x1表示\'S（x1，F）≥\'S（x2，F）。虽然在标度的情况下，人们基本上“免费”获得这个有用的属性，但在多变量设置中要求顺序敏感性要复杂得多；参见Fissler和Ziegel（2019c）。多元设置中的一个主要问题是使用哪个顺序关系。在我们的穷举作用域由Rd的闭上子集组成的当前情况下，规范（部分）序关系是子树关系。这意味着在我们的设置中，阶数灵敏度的标准类似物是对于任何分布F∈ Mdit认为 B R（F）或A B R（F）表示'SR，π（A，F）≥\'SR，π（B，F）。以下命题证明，定理3.8（ii）中引入的所有评分函数都满足了顺序敏感性的概念。the Proof基本上利用了基础识别函数VR0的方向，这与Steinwart et al.（2014）中给出的论点相似。提案3.10。以定理3.8（ii）的假设为准。然后，在（3.12）中定义的scoringfunction SR，π对R的Md阶数敏感，即对于所有16a，B∈bP（Rd；Rd+）和所有F∈ Md公司A. B R（F）或A B R（F）==>\'SR，π（A，F）≥\'SR，π（B，F）。

（3.14）在定理3.8（iii）的假设下，如果'SR，π（B，F）<∞ 和内含物A 博尔A （3.14）左边的B是严格的，那么右边的不等式也是严格的。3.2.6. 预测优势和墨菲图（严格）一致性的概念意味着，在预期中，一个正确指定的预测得分最多将与任何错误指定的得分一样高（严格低于）。在预测空间设置的层面上（Gneiting&Ranjan，2013；Str–ahl&Ziegel，2017），Holzmann和Eulert（2014）表明，对于两个理想预测，在任何严格一致的评分函数下，都优先考虑与严格较大的信息集相关的一个可测量值；参见Tsyplakov（2014）。巴顿（2019）证明，总的来说，两个误报预测在不同（一致）的蔑视函数下排名不同。因此，在实践中使用的评分函数的选择不仅关系到一致性，还关系到次要质量标准，例如翻译不变性或同质性，可以指导决定使用什么评分函数；见第4节。对于在所有一致性评分函数中，一个预测得分优于另一个预测得分的罕见情况，Ehm et al.（2016）创造了预测优势这一术语。对于系统性风险度量指标R.definition 3.11（支配地位）的详尽预测情况，我们在此给出了相应的定义。让Y∈ Yd和A、B对（2.1）中形式的某些系统性风险度量R的两个（随机）预测，取inbP（Rd；Rd+）值。假设假设（1）成立。

如果E[SR，π（A，Y）]≤ E【SR，π（B，Y）】对于（3.12）形式的所有一致评分函数SR，π，其中π是B（Rd）上的σ-有限非负度量。请注意，预测值是由预测值和观测值的联合分布代替的。由于分数SR、πat（3.12）是由B（Rd）上的非负σ-加和测量类参数化的，因此在实践中使用定义来检查预测优势度不是很方便。为此，以下推论很有帮助。证明是直截了当的，因此省略了。推论3.12。让Y∈ YdA和A、B两个（随机）预测，针对形式为（2.1）的一些系统性风险度量R，取inbP（Rd；Rd+）值。假设假设（1）成立。那么A支配B当且仅当E[SR，k（A，Y）]≤ E【SR，k（B，Y）】等位基因得分SR，kgiven at（3.11），其中k∈ 第3.12条推论为Ehm et al.（2016）中考虑的Murphy直径图的直接多元模拟开辟了道路。也就是说，如果A是系统性风险度量R的abP（Rd；Rd+）值预测，Y是金融系统的相应Rd值观察，我们可以考虑mapRd3 k 7→ sA（k）=E[SR，k（A，Y）]（3.15）作为诊断工具。对于预测值为A1，…，的经验设置，AN∈bP（Rd；Rd+）和观测值Y1，YN公司∈ Rd，（3.15）采用格式RD3 k 7→ ^sN，A（k）=1NNXt=1SR，k（At，Yt）。（3.16）我们说明了Murphy图在第6.2.4小节所述模拟研究中的使用。齐次和平移不变的SCORINGFUNCTION称系统风险度量R为现金不变或平移等变，这意味着R（Y+k）=R（Y）- k代表所有Y∈ Ydand适用于所有k∈ Rd.此外，如果ρ和∧是正齐次的，那么R也是正齐次的，因为R（cY）=cR（Y）表示allY∈ Ydand c>0；见引理4.2。

Patton（2011）、Nolde和Ziegel（2017）以及Fisslerand Ziegel（2019c）认为，评分函数的合理要求是，根据实际得分对不同的预测序列进行排序时，在兴趣函数相同的变换下，其不变性。因此，我们讨论R的翻译不变性和分数的正同质性（或分数差异）。我们首先收集一些基本定义。定义4.1（同质性、平移不变性）。（i） 我们称函数为f:Rd→b阶R正齐次∈ R如果f（cx）=所有c>0和所有x的cbf（x）∈ Rd.（ii）标量风险度量ρ：Y→ 如果ρ（cX）=cρ（X），对于所有c>0和所有X，R称为正齐次∈ Y、 （iii）穷举评分函数S:F（Rd；Rd+）×Rd→ R被认为具有b级的正同质得分差异∈ R如果S（cA，cy）- S（cB，cy）=cB（S（A，y）- S（B，y））表示所有A，B∈ F（Rd；Rd+），y∈ RDC>0。（iv）选择性识别功能V:Rd×Rd→ 如果V（k+l，y），则称R为平移不变量- l） =V（k，y）表示所有k，l，y∈ Rd.（v）穷举评分函数S:F（Rd，Rd+）→ 如果S（A+l，y），RDI表示存在翻译变量得分差异- l）- S（B+l，y- l） =S（A，y）- S（B，y）表示所有A，B∈ F（Rd，Rd+）和y，l∈ Rd.（vi）如果π（A）=π（A+l），则B（Rd）上的度量π是平移不变的∈ B（Rd）和所有l∈ Rd.18（vii）B（Rd）上的度量π是B阶的正齐次度量∈ R如果π（cA）=cbπ（A）对于所有A∈ B（Rd）和所有c>0。考虑到这些定义，我们现在可以陈述以下结果。引理4.2。如果ρ是正齐次标量风险测度，∧是任意阶b的正齐次∈ R、 （2.1）中定义的R是正均一的，即对于所有c>0和Y∈ Yd，R（cY）=cR（Y）。引理4.3。

假设ρ：M→ R允许严格的M-识别函数Vρ：R×R→ R、 然后，VR0保持以下状态：Rd×Rd→ 在（3.1）中定义：（i）VR0是平移不变的。（ii）假设MDI是凸的，对于任何x∈ RDF1、F2∈ 如“VR0（x，F1）>0和“VR0（x，F2）<0”。然后，对于任何平移不变的严格识别函数V0R0，对于r0，存在一些λ6=0，使得所有x的‘V0R0（x，F）=λ‘VR0（x，F∈ 所有F的Rdand∈ Md.（iii）如果Vρ（0，·）：R→ R是a阶正齐次的∈ R和∧是b阶的正齐次∈ R、 那么VR0是ab度的正齐次。备注4.4。有趣的是，引理4.3的第（i）部分暗示，如果ρ：M→ R是可识别的，且具有严格的M-识别函数Vρ：R×R的现金不变性→ R、 thenVinvρ（x，y）：=Vρ（0，x+y）是平移不变的。这一结果也可以推广到翻译等变泛函，从而建立了（Fissler&Ziegel，2019c，命题4.7（i））的相反关系。提案4.5。假设（2）成立，并假设ρ可与有向严格识别函数Vρ识别。（i） 设Ld为d维Lebesgue测度，SR，kbe为（3.11）形式的基本分数，识别函数VR0（k，y）=Vρ（0，λ（y+k））。然后评分函数sr，Ld（A，y）=ZRdSR，k（A，y）Ld（dk），A∈ F（Rd；Rd+），y∈ Rd（4.1）对于R是平移不变的，且Md一致。（ii）对于某些γ，只有当S（A，y）=γSR，Ld（A，y）在（4.1）时，形式为（3.12）的R的任何有限Md一致评分函数S才是平移不变的≥ 0.注意，对于ρ和∧的所有示例，我们都知道，对于（4.1）SR处的分数，如果对称差A4R（y）有界，并且只有当它是有限的Lebesgue度量时，Ld（A，y）才是有限的。因此，命题4.5（ii）意味着唯一的翻译不变一致得分是0分。19提案4.6。