系统性风险度量的可引出性和可识别性

我们想指出的是，考虑到系统性风险的不同观点，风险度量R和RIN在应用中可能都很有意义。然而，数学处理和复杂性差别很大：由于ρ的现金不变性，Rinstakes等价于mrins（Y）={k∈ Rd |ρ（λ（Y））≤\'\'k}。这意味着Rinsis实际上是标量风险度量ρ的双射o ∧：Md→ R参见Chen等人（2013）。因此，只有对风险度量ρ进行一次评估才能确定RIN。相反，这种吸引人的等效公式通常不适用于R，除非∧是加法，或者甚至是在这种情况下Rand-rinselogen的和。因此，通常情况下，我们必须计算ρ以计算R；另见Feinstein et al.（2017）中的讨论。本文的主要重点是（2.1）和（2.2）表中系统风险度量的可引出性和可识别性结果。然而，由于可以利用Rinsandρ之间的一对一关系o ∧并利用揭示原则（Fissler，2017；Gneiting，2011a；Osband，1985）来建立（详尽的）可引出性和可识别性结果，我们在论文的主体部分没有提供关于Rinsin的结果，而是将其推迟到在线补充材料Fissler et al.（2019b）。为了完整性，我们引用了R presentedin Feinstein et al.（2017）的最重要特性。由于ρ是现金不变且∧是递增的性质，我们得出（2.1）处定义的R值是上集。对任何人来说∈ Yd，R（Y）=R（Y）+Rd+，其中Rd+：={x∈ Rd | x1，除息的≥ 0}，其中任意两个集合A，B Rd，A+B：={A+B | A∈ A、 b类∈ B} 表示通常的Minkowskisum。经必要的修改后，Rins也是如此。遵循Feinstein6et al。

（2017），我们表示RDR中的上集集合，其排序为锥Rd+asP（Rd；Rd+）：={B Rd | B=B+Rd+}。请注意，Rdand和 是P（Rd；Rd+）的元素。此外，在（2.1）处定义的R可以忽略这些值，即使基础标量风险度量ρ仅映射到R，例如，当∧有界时。当R（Y）= 对应于金融头寸的标量风险度量为+∞, 这意味着系统Y+k被视为风险Y无论注入多少资本，情况R（Y）=Rd对应于-∞ 在天平的情况下。后一种“摇钱树”的情况通常被认为是不可上市的，并且排除在外，这种情况下可以提取任何有限金额的资金，而不会使头寸有风险。因此，我们通常只讨论前一种情况，但需要注意的是，对后一种情况的治疗也可能获得大多数结果。对于所有的Y，Z，单调性传递到R（Rins）∈ YD带Y≥ Z P-a.s.组件，R（Y） R（Z）。现金不变性传递到R，因此对于allY∈ Ydand所有k∈ Rd，R（Y+k）=R（Y）- k、 然而，请注意，Rinsis通常不具有现金不变性。为了缩短符号，我们还引入了P（Rd；Rd+）的进一步子类，其中B（Rd）表示Borel-σ-代数。定义2.2。（i） 用BP（Rd；Rd+）表示的RDI的Borel可测上子集类：=P（Rd；Rd+）∩ B（Rd）\\ {Rd}。（ii）用F（Rd；Rd+）表示的RDI的闭上子集类。请注意F（Rd；Rd+）bP（Rd；Rd+）。我们将定期使用以下假设。假设（1）。对于所有Y∈ Yd，R（Y）∈bP（Rd；Rd+）。假设（2）。对于所有Y∈ Yd，R（Y）∈ F（Rd；Rd+）与集合{k∈ Rd |ρ∧（Y+k））=0}对应于拓扑边界R（Y）中的R（Y）。If∧：Rd→ R是连续的，ρ满足Fatou性质（这意味着它是低半连续的），R的值是闭合的。

注意，ρ的定律不变性意味着法图性质（Jouini、Schachermayer和Touzi，2006）。此外，如果函数∧：Rd→ R严格增加，假设（2）的第二部分得到了很好的满足。与R类似，我们引入了定律不变量mapR0:Yd→ 2Rd，Y 7→ R0（Y）={k∈ Rd |ρ∧（Y+k））=0}，（2.3）注意，对于R（Y）6=, 如果假设（2）的第一部分满足，则R0（Y）为非空。由于∧是递增的，ρ是现金不变的，因此我们可以得到关系r（Y）=R0（Y）+Rd+。这意味着r0的值完全决定R。此外，如果∧严格递增，则R0（Y）可以被描述为R（Y）的拓扑边界，其7解释为R0（Y）包含有效的资本分配，使Y在R下可接受。这意味着在这种情况下，R和R0通过一对一的关系连接。同样，这意味着，在这种情况下，R（Theorem3.8）的详尽可引出性结果将延续到R0，这援引了揭示原则。最后，我们介绍了系统风险度量R的一个重要的标度化，称为有效现金不变分配规则（EAR），如Feinstein et al.（2017）所述。在某些情况下，耳朵也可以被认为是R的选择，或者说是R0.1的选择，确切地说，是Y的选择∈ Yd，EAR（Y）的值给出了资本分配，其中R（Y）中分配的加权成本最小。为简单起见，我们将以固定价格或权重向量w来关注耳朵∈ Rd++：={x∈Rd | x1，xd>0}。为了解决一些问题，我们引入以下定义。定义2.3（EAR）。固定价格向量的有效现金不变分配规则∈ Rd++由earw（Y）=arg mink给出∈R（Y）w>k。

（2.4）请注意，EARw（Y）定义良好，w为非空∈ Rd++如果R（Y）闭合，并且R（Y）有一个与w正交的支撑超平面。EARw（Y）必然是R0（Y）与该超平面的交点。如果R（Y）未闭合，则（2.4）中的最小值可能不存在，导致EARw（Y）=. 另一方面，如果与w正交的R（Y）不存在支撑超平面，则k的w>k∈ R（Y）从下面是无界的，我们再次得到了EARw（Y）=.正如Feinstein等人（2017）所述，EARw（Y）实际上不一定是一个独生子女。更精确地说，对于闭R（Y），当且仅当R（Y）包含与价格向量w正交的直线段。由于标量风险度量ρ被假定为律不变，因此导出的量R、Rins、r0和EARware律不变。因此，我们应该经常使用abusenotation并将R（FY）：=R（Y）写为Y∈ Ydwith配送FY∈ Md；对于其他定律不变映射，使用analo-gous约定。2.2. 集值函数的可导性和可识别性我们已经提到了标量风险测度ρ：M的可导性和可识别性的定义→ （1.2）和（1.3）处的R。考虑的所有其他风险度量，R、R0和EAR，都是集值的，假设Rd的子集。因此，我们利用了Fissler等人（2019a）介绍的集值泛函预测评估的理论框架。其主要思想是在预测的形式上，对预测为单点的选择性概念和预测为集值的详尽模式进行彻底区分。

此外，在非常普遍的背景下，引入并讨论了相应的可识别性和可合法性概念，主要结果是集值泛函可以在选择性或穷尽性中导出，或者根本不可导出（Fissler et al.，2019a，定理2.14）。为了允许a1A选择一个非空集，a是任何单态{a} A、 8简洁的陈述，我们确定只介绍我们需要的概念，我们将直接根据R和R0进行介绍；耳朵的情况将另行考虑。在续集中 B（Rd）。此外，对于评分函数S:A×Rd→ Ror识别函数V:Rd×Rd→ R我们将使用缩写“S（A，F）：=RS（A，y）dF（y）和“V（x，F）：=RV（x，y）dF（y），A∈ A、 x个∈ R、 并且会默认这些积分对于所有F都存在∈ Md定义2.4。（i） 一个穷举评分函数S:A×Rd→ R*:= (-∞, ∞] 对于R:Md，称为Md一致→ A如果S（R（F），F）≤\'S（A、F）A.∈ A.F∈ Md.（2.5）如果（2.5）中的等式表示A=R（F），则详尽得分S对于R严格是Md一致的，如果它对于Rand是Md一致的。（ii）风险度量R:Md→ 如果R有一个严格M-一致的穷举评分函数，则A是完全可导出的。请注意，R的穷举评分函数S的严格一致性意味着S（R（F），F）∈ R代表所有F∈ Md定义2.5。（i） A地图V:Rd×Rd→ R是R0的选择性Md识别函数：Md→ A如果V（x，F）=0表示所有x∈ R0（F）和所有F∈ Md.此外，如果V（x，F）=0，则V是R0if的严格选择性Md识别函数<==> x个∈ R0（F），x个∈ Rd，F∈ Md.（2.6）（ii）风险度量R0：Md→ 如果R0.3有严格的选择性识别函数，则A是可选择性识别的。

主要结果我们在本节中介绍了本文的一些主要结果，其中我们在第3.1小节中收集了可识别性结果，在第3.2小节中介绍了可引出性结果。定理3.1确定了R0的选择性识别性。值得注意的是，定理3.1背后的主要假设以及依赖于该可识别性的后续结果是（2.1）中基础标量风险度量ρ的可识别性。更重要的是，它需要提供一个定向识别功能。根据Steinwart et al.（2014），严格识别函数V:R→ 实值风险测度ρ：M的R→ 如果对于所有x，则调用R∈ R和所有F∈ M？V（x，F）< 0，如果x<ρ（F）=0，如果x=ρ（F）>0，如果x>ρ（F）。引用Steinwart et al.（2014）中的定理8，ρ的定向识别函数的存在等同于ρ在温和正则条件下的可导性。命题3.7确定，在聚合函数∧的某些假设下，反之亦然。也就是说，R的可引出性意味着ρ的可引出性。93.1. 可识别性结果定理3.1。设ρ：M→ R可识别。那么以下断言适用于r0:Md→ 第2节定义于（2.3）。（i） R0可选择性识别。如果Vρ：R×R→ R是ρ的严格M-识别函数，thenVR0:Rd×Rd→ R、 （k，y）7→ VR0（k，y）=Vρ（0，∧（y+k））（3.1）是R0的严格选择性Md识别函数。（ii）如果Vρ：R×R→ R是ρ的定向严格M-识别函数，则（3.1）中定义的VR0是R0的定向函数，即对于所有F∈ Mdit认为“VR0（k，F）”< 0，如果k/∈ R（F）=0，如果k∈ R0（F）>0，如果k∈ R（F）\\R0（F）。（3.2）备注3.2。VR0的方向可以看作是Vρ的方向相对于Rd上的分量顺序的多元对应。

事实上，在这两种情况下，负预期识别函数对应于预测资本要求太小而无法使系统Y∈ YD可接受toR或单一公司X∈ Y相对于ρ可接受。注意如果VR0:Rd×Rd→ R是R0的严格选择性Md识别函数，其方向在（3.2）的意义上，且预期识别函数VR0（·，F）对于任何F都是连续的∈ Md，则R的值是闭集。备注3.3。方程（3.1）明确说明了如何构造严格的选择性Md识别函数VR0:Rd×Rd→ R对于R0，给定一个严格的M-识别函数Vρ：R×R→ R表示ρ。因此，Vr0完全取决于Vρ的选择。Fissler（2017，命题3.2.1）指出，在M类的某些丰富度假设下，任何其他严格识别函数vρ：R×R→ ρ的R的形式为evρ（x，z）=g（x）Vρ（x，z），（3.3），其中g:R→ R是一个非消失函数。此外，如果Vρ是定向的，当且仅当（3.3）中的函数g是严格正的，则nevρ是定向的；另见Steinwart等人（2014年，定理8）。因此，从这种识别函数evρ开始，产生（定向）严格的选择性Md识别函数evr0:Rd×Rd→ R取形式evr0（k，y）=eVρ（0，λ（y+k））=g（0）Vρ（0，λ（y+k））。（3.4）因此，唯一的区别是，如果VR0和VR0都是定向的，则最终得到的是VR0的缩放版本，其中缩放因子g（0）为正。10与备注3.3的精神类似，人们可能还想知道，定理3.1中构造的（定向）严格选择性识别函数是否是R0的唯一（定向）严格选择性识别函数。

事实并非如此，因为由于预期的线性，任何函数V0R0:Rd×Rd→ R，其中v0r0（k，y）=h（k）VR0（k，y）=h（k）Vρ（0，∧（y+k）），（3.5），其中h:Rd→ R是非消失的，再次是R0的严格选择性Md识别函数。此外，如果VR0定向，则（3.5）处定义的V0R0定向，当且仅当H>0时。特别是，（3.4）中出现的常数g（0）可以合并到函数h中，这样我们就可以看到，我们选择哪一个（面向）严格的穷尽识别函数vρ以（3.5）的形式结束并不重要。以下定理证明，R0的所有选择性Md识别函数基本上都是（3.5）的形式。提案3.4。让A Rd，让VR0，V0R0：A×Rd→ R0:Md的R be严格选择性Md识别函数→ 第2天。如果每x∈ A有F1、F2∈ md使得“VR0（x，F1）>0且“VR0（x，F2）<0且Mdis凸，则存在非消失函数h:a→ R，使得所有x的'V0R0（x，F）=h（x）'VR0（x，F）（3.6）∈ A和所有F∈ Md.备注3.5。（i） 值得一提的是，命题3.4的假设意味着r0在A上是满射的 这就是为什么我们在一般行动领域a中提出这个命题 Rd而非Rd.（ii）如果MDI足够丰富，并且在VR0的其他规则性条件下，一条运河也会建立（3.6）的逐点版本；详情见Fissler和Ziegel（2016、2019b）。最后，我们将注意力转向有效的现金不变分配规则，repre提供了一种可能性，可以选择一种能够使系统可接受的资本分配，即相对于权重向量w最便宜的资本分配。对于任何向量w∈ Rd，我们使用符号w⊥:= {x∈ w跨越的子空间的正交补的Rd | w>x=0}。Rw⊥我们表示从w映射的所有函数的空间⊥至R.提案3.6。

设ρ为标量风险度量，R和r0如（2.1）和（2.3）所定义，并假设假设（2）成立。假设R0可与定向严格选择性Md识别函数VR0进行选择性识别。让w∈ Rd++和定义地图VEARw:Rd×Rd→ Rw公司⊥viaVEARw（k，y）：w⊥→ R、 w⊥3 x 7→ VEARw（k，y）（x）=VR0（k+x，y）（k，y）∈ Rd×Rd。2.4中定义的VEARW是（2.4）中定义的EARwde的严格选择性Md识别函数，即对于任何F∈ Mdand任意k∈ Rdk公司∈ EARw（F）<==>\'VEARw（k，F）≤ 0∧\'VEARw（k，F）（0）=0. （3.7）11如果已知基础风险度量R仅假设凸集（例如，如果ρisconvex和∧凹面，请参见Feinstein et al.（2017）），则甚至可以评估'VEARw（k，F）（x）或其经验对应物，用于x∈ Rd在0附近，这也可以在附录a.1的图3中很好地看到。在Fissler等人（2019a）的第2.4节中，介绍了凸水平集（CxLS）性质的不同版本，并讨论了它们对集值泛函的可识别性和可导出性的必要性。由于命题3.6中的选择性识别偏离了通常的定义，因此值得注意的是，在命题3.6的条件下，EARW满足了选择性CxLS属性。然而，我们看不到如何建立选择性CxLS*属性，或者说，建立详尽的CxLS属性，这就留下了一个悬而未决的问题，即earwm是否以及在什么意义上是可以引出的。我们希望将提案3.6中引入的可识别性概念与Bignozzi、Burzoni和Munari（2018）第5节中关于风险损失价值可回测性的讨论进行比较。人们也可以将他们的提议解释为使用函数值识别函数。

然后，与（3.7）类似的是，如果使用正确规定的预测，则函数值识别函数的最大值为0。有趣的是，这一版本的可识别性并不意味着函数欠考虑具有凸水平集。在本节结束时，我们注意到，如果∧：Rd，ρ的可识别性和r0的选择性可识别性甚至是等效的→ R具有可测的右逆。提案3.7。设ρ：M→ R是风险度量，λ：Rd→ R是满射聚合函数，R0:Md→ 2（2.3）中定义的数据。假设存在一个可测右逆η：R→ Rd使得∧o η=idR，Y在平移下闭合，对于任何X∈ Y、 η（X）属于Yd。那么它认为ρ是（选择性）可识别的，并且只有当r0是选择性可识别的。3.2. Ehm等人（2016）的开创性论文中的可引出性结果和混合物代表性表明，在规则性条件下，任何非负评分函数S:R×R→ [0, ∞] 对于α-分位数（τ-期望值）来说，这是一致的，可以写成混合物或Choquet表示（x，y）=ZRSθ（x，y）dH（θ），x，y∈ R、 （3.8）其中H是B（R）上的非负测度，Sθ，θ∈ R、 是α-分位数（τ-期望值）的非负元素评分函数。特别地，Sθ的形式为θ（x，y）=1{θ<x}- 1{θ<y}V（θ，y）（3.9），其中V是α-分位数（τ-期望值）的定向识别函数。（3.8）中的核心是严格一致的，当且仅当度量H是严格正的，也就是说，它将正质量放置在任何开放的非空集上。Ziegel（2016b）和Dawid12（2016）认为，除了允许定向识别函数的期望值和分位数外，这种构造也适用于更一般的一维函数；参见Jordan、M¨uhlemann和Ziegel（2019）。Steinwart等人。