系统性风险度量的可引出性和可识别性

假设（2）成立，并假设VR0是R0的定向严格选择性Md识别函数，该函数的阶数为正齐次∈ R、 （i）设π为b阶非负σ-有限正齐次测度∈ Rand SR，kbe（3.11）表格的基本分数，具有识别功能VR0。然后得分函数sr，π（A，y）=ZRdSR，k（A，y）π（dk），A∈ F（Rd；Rd+），y∈ Rd（4.2）是a+b阶的正齐次函数。（ii）只有当S（a，y）=γSR，π（a，y）在（4.2）对于某些γ，形式为（3.12）的R的任何有限Md一致性评分函数S在（4.2）是a+b阶的正齐次函数≥ 0对于一些非负σ-有限正齐次测度π∈ R、 备注4.7。对于许多度量值π和集A，在（3.12）处定义的得分SR、π（A，y）可能不确定，这会降低预测比较中的实际统计适用性。更重要的是，涉及SR、π（A，y）的得分差异将是不确定的，甚至可能根本不确定。为了克服这一问题，我们建议使用以下分数差异的约定，π（A，y）- SR，π（B，y）：=ZRdSR，k（A，y）- SR，k（B，y）π（dk）（4.3）=ZB\\AVR0（k，y）π（dk）-ZA\\BVR0（k，y）π（dk），其中SR，kar为（3.11）定义的基本分数，仅假设有限值。实际上，（4.3）处的积分可能存在，甚至可能是有限的，即使SR，π（A，y）或SR，π（B，y）为∞. 这在处理TranslationVariant或正同质分数时尤其有用。5、基于预期短缺的系统性风险度量的可引出性定量风险管理中最常见的两种标量风险度量是风险价值（VaRα）和一定水平的预期短缺（ESα∈ (0, 1). 两者都是法律不变的标量风险度量，因此我们可以将其直接定义为适当类别分布的泛函。

对于概率分布函数F和α∈20（0，1）我们定义α（F）=-inf{x∈ R |α≤ F（x）}，（5.1）ESα（F）=1αZα0VaRβ（F）dβ=-1αZ(-∞,- VaRα（F）]x dF（x）-1αVaRα（F）F级(-VaRα（F））- α.在过去十年中，关于哪种标量风险度量最适合用于实践的争论相当激烈，争论主要集中在VaRα和Esα的二分法上；关于全面的学术讨论，请参见Embrechts et al.（2014）和Emmer et al.（2015），关于监管视角，请参见国际清算银行（2014）。VaRα在Hampel（1971）的意义上是稳健的，但忽略了α级以上的损失。此外，Cont等人（2010年）表明，稳健性和一致性是相互排斥的，这意味着VaRα不一致。另一方面，ESα是一个一致的thusnon稳健风险度量。作为尾部预期，它考虑了定义超过α级的损失。这两个风险度量之间的另一层较量是它们的回测性（Acerbi&Szekely，2014，2017）。虽然风险度量的可识别性很重要，但对于传统的回溯测试来说并不必要，但比较回溯测试依赖于现有风险度量的可引出性；参见Fissler et al.（2016）andNolde and Ziegel（2017）。作为α分位数选择的负数，VaRα可以在具有唯一α分位数的任何类别分布上导出。与此形成鲜明对比的是，片麻岩（2011a）表明ESα通常不满足CxLS性质，这排除了其可诱导性；参见Weber（2006）。回想一下，定理3.1和定理3.8建立了基于标量风险度量ρ的系统风险度量的可识别性和可引发性结果，标量风险度量ρ是可识别的，因此在弱正则性假设下是可引发的；见Steinwart等人（2014）。

此外，命题3.7确定，在弱正则性条件下，ρ的可识别性/可引出性对于基于ρ的系统风险度量的可识别性和可引出性也是必要的。因此，对于某些聚合函数∧：Rd→ R、 系统风险度量RESα（Y）={k∈ Rd | ESα∧（Y+k））≤ 0}，Y∈ Yd，通常无法引出。另一方面，对于标量风险度量，Fissler和Ziegel（2016）确定，在弱规则条件下，该对（VaRα，ESα）是可导出的；参见Acerbi和Szekely（2014）。这可能会引发对这对夫妇的怀疑RVaRα，RESα映射到乘积空间F（Rd；Rd+）×F（Rd；Rd+）是完全可以导出的。然而，我们推测RVaRα，RESα, 通常，无法为d提供详尽的CxLS属性≥ 2，排除了其详尽的可引出性。因此，我们需要比RVaRα（Y）={k稍多的信息∈ Rd | VaRα∧（Y+k））≤ 0}，以使涉及RESα的对可引出。请注意，RVARα（Y）仅为每个k编码关于VaRα符号（∧（Y+k））的信息∈ 除了RVaRα（Y）边界上的k之外，我们对VaRα（λ（Y+k））的实际大小一无所知。然而，关于这对（VaRα，ESα）的可诱导性的积极结果实际上利用了这样一个事实，即对于评分函数Sα（x，y）=-（1{y≤21-x}- α） x/α- 1{y≤ -x} y/α，x，y∈ R、 VaRα（F）是期望得分的最小值，ESα（F）是期望得分的最小值；见Frongillo和Kash（2015）。因此，我们应该考虑函数值函数TVaRα：Yd→ 每个Y的RRD位置∈ YdTVaRα（Y）：Rd→ R、 Rd3 k 7→ TVaRα（Y）（k）=VaRα（λ（Y+k））。(5.2)5.1. 可识别性结果为了简化结果的阐述，我们将对M类做出以下假设。假设（3）。

M中的所有分布函数都是连续且严格递增的。注意，该假设还对类Md施加了隐式限制，因为对于分布在Md中的任意Y，对于任意k，随机变量∧（Y+k）在M中有分布∈ Rd.一个严格的M-识别函数V:R2×R→ r2对（VaRα，ESα）：M→r2用v（v，e，y）表示=α - 1{y+v≤ 0}e+1{y+v≤ 0}y/α+（1{y+v≤ 0} - α） v/α,（五、五）∈ R2，y∈ R、 可以通过简单的计算进行验证。这引入了一个（非严格的）选择性Md识别函数U:RRd×Rd×Rd→ R2for（TVaRα，RESα0）：Md→ RRd×2Rd。对于v：Rd→ R、 k级∈ Rd和y∈ Rdit由u（v，k，y）=α定义- 1{∧（y+k）≤ -v（k）}1{∧（y+k）≤ -v（k）}∧（y+k）/α+1{∧（y+k）≤ -v（k）}-αv（k）/α！。（5.3）提案5.1。对于任何F∈ Md，在（5.3）中定义的U的组分U2的方向为，对于任何k∈ Rd'U2（TVaRα（F），k，F）< 0，如果k/∈ RESα（F）=0，如果k∈ RESα0（F）>0，如果k∈ RESα（F）\\RESα0（F）。（5.4）在假设（3）下，映射U是函数（TVaRα，RESα0）的选择性Md识别函数：Md→ RRd×2Rd。5.2. 可引出性结果我们对（5.2）中定义的TVaRα引入以下规律性假设。22假设（4）。功能性TVaRα：Md→ rrd只取C（Rd；R）中的值，即从rdo到R的连续函数空间。通过标准参数，可以验证假设（3）和∧的连续性意味着假设（4）。为了更简洁地给出以下定理，让我们引入Sα，g（x，y）=（1{y≤ x}- α） （g（x）- g（y））对于任何增函数g:R→ R、 回想一下，Sα，gisa是α-分位数的非负一致选择评分函数。

此外，如果g是严格递增的，则sg是与任何一类Mof分布相关的α-量子化的严格一致的选择评分函数，使得g是M-可积的；参见片麻岩（2011b）。定理5.2。（i） 在假设（1）下，对于每k∈ RDSK函数：RRd×bP（Rd；Rd+）×Rd→ [0, ∞),Sk（v，A，y）=-1A（k）U2（v，k，y）- 1RESα（y）（k）∧（y+k）（5.5）是功能性（TVaRα，RESα）Md的非负Md一致性穷举评分函数→ RRd×bP（Rd；Rd+）。（ii）在假设（1）下，如果π1，π2是B（Rd）上的σ-有限非负测度，则映射Sπ1，π2:RRd×bP（Rd；Rd+）×Rd→ [0, ∞],Sπ1，π2（v，A，y）=ZRdSα，gk(-v（k），∧（y+k））π1（dk）+ZRdSk（v，A，y）π2（dk），（5.6），其中每个k∈ rD函数gk:R→ R为非递减且Skisgiven为（5.5），是（TVaRα，RESα）的非负Md一致性穷举评分函数：Md→ RRd×bP（Rd；Rd+）。（iii）如果假设（2）、（3）和（4）成立，如果gk对于所有k严格增加∈ 如果π1，π2是严格正的，则在（5.6）处定义的Sπ1，π2对C（Rd；R）×F（Rd；Rd+）×rdi的限制是（TVaRα，RESα）的非负严格Md0一致的穷举取心函数：Md0→ C（Rd；R）×F（Rd；Rd+），其中Md0MDI使得不等式Sπ1，π2（TVaRα（F），RESα（F），F）<∞ 适用于所有F∈ Md0。定理5.2（ii）表明，再次有可能考虑墨菲图，以同时评估（5.6）中给出的所有SCORINGFUNCTION的（TVaRα，RESα）预测质量。然而，直接实现相当于在二维欧几里德空间上定义它们。如果按照Ehm et al.（2016）的精神进一步分解函数，甚至最终会得到一个定义在R×Rd×Rd上的地图。然而，按照Ziegel、Kr¨uger、Jordan和Fancati（2019）的思路，度量π1仅说明风险价值组成部分的预测准确性。

因此，如果利息集中在预期短缺部分，那么设置π1=0以便于分析是有意义的。这意味着可以考虑MurphydiagramRd3 k 7→ E[Sk（v，A，Y）]，小学成绩Sk为（5.5）。符合（3.16）精神的经验公式是直截了当的。示例和模拟6.1。在本小节中，我们将通过模拟研究证明定理3.8中构造的一致性穷举评分函数的辨别能力。Weshall在Gneiting andRanjan（2013）中介绍的预测空间背景下这样做。这意味着我们明确地为每个预报员的信息集建模。为了简单起见，继片麻岩、Balabdaoui和Raftery（2007）以及Fissler和Ziegel（2019a）之后，我们选择考虑随时间独立且相同分布的预测观测序列。尽管进行了这种简化，但在模拟研究中仍需考虑多种参数：（i）金融系统的维数d，（ii）Yt的（无条件）分布，（iii）聚合函数∧；（iv）标量风险度量ρ；（v） ATA和Bt的竞争预测，以及它们与Yt的联合分布；（vi）度量π（以及评分函数SR，π）；（vii）时间范围N.我们对这些参数的以下选择进行了确认。（i） –（iii）我们使用两种不同的Ytand∧组合。在这两种情况下，我们都使用一个d=5参与者的系统。（a） 向量YT对系统参与者的得失进行建模。在任何时间点t，Yt=ut+t其中ut服从5维正态分布，平均值为0，相关性为0.5，方差为1，以及t遵循a5维标准正态分布。此外，utand皮重独立于所有t。

因此，有条件地在ut上，Ythas分布N5（ut，I5），而无条件地，Yt~ N5（0，∑），对于i，（∑）ij=0.5，j=1，5，i 6=j，否则为2。聚合函数∧1的形式为∧1（Yt）=（1-β） Pdi=1Y+i，t-βPdi=1Y-i、 t，如Amini等人（2015）所述，我们设定β=0.75。这样一来，收益和损失都会影响聚集函数的值，然而，损失的权重更高。下面是x+和x-表示x的正负部分，例如x+=最大值（0，x）和x-= -最小值（0，x）。（b） 我们考虑了Eisenberg和Noe（2001）的扩展模型；参见Feinstein等人。（2017）：参与者对彼此负有责任，Lij，t表示参与者i在时间点t，i，j=1，…，对参与者j的名义责任，5.此外，每个参与者i在时间点t欠社会一笔金额Lis，To。为了简化模拟并缩短计算时间，我们假设负债矩阵是确定的且在时间上是恒定的，这样我们就可以写Lis而不是Lis，t。此外，我们用“L”表示承诺给社会的所有24笔付款的总和，即“Ls=Pdi=1L”。向量Yt表示时间点t的参与者的禀赋。正如Eisenberg和Noe（2001）所建议的那样，如果一些禀赋是负的，我们引入一个所谓的链接节点，并将负禀赋解释为对该节点的负债。聚合函数∧2的值对应于社会在清算过程中获得的所有支付的总和，如Eisenberg和Noe（2001）所述。为了模拟参与者的禀赋Yt，我们假设Yit=（uit+it）2对于i=1，5带utandt参见（a）。我们按照以下方式构建系统：o一个参与者对另一个参与者的概率为0.8。

如果存在从i到j的负债，其名义价值为2。o此外，每位参与者还欠协会2英镑。（iv）在设置（a）中，我们考虑标量风险度量VaRα，α∈ （0，1），定义为（5.1），其基于预期的版本定义为EVaRτ（X）=-eτ（X），τ∈ （0，1），其中eτ满足方程τe[（X- eτ）+]=（1- τ） E[（X- eτ）-] （Newey&Powell，1987）。关于基于预期的金融风险度量的解释，我们参考Bellini和Di Bernardino（2017）以及Ehm et al.（2016），以获得关于预期的新经济角度。然而，在情况（b）中，聚集函数∧2仅产生非负值，因此，当使用ρ=VaRα或ρ=EVaRτ时，任何金融系统都是可以接受的。继Fein stein et al.（2017）之后，我们通过考虑转移风险度量值ρ（X）=ρ（X）+0.9'Ls克服了这一问题，其中ρ=VaRα或ρ=EVaRτ，因此，如果社会从节点获得的金额的VaRα或EVaRτ最-0.9英寸。使用VaRα和EVaRτ的标准识别函数（Gneiting，2011a），R0的选择性识别函数如下：o对于ρ（X）=VaRα（X）+a:VR0（k，y）=α- 1{∧（k+y）- 一≤ 0}; （6.1）o对于ρ（X）=EVaRτ（X）+a:VR0（k，y）=τ（λ（k+y）- （a）+- (1 -τ） （λ（k+y）-（a）-. （6.2）（v）我们考虑两个具有不同信息集的理想预测者：Anne可以访问u，并使用给定ut的正确条件分布进行预测。也就是说，她发布At=R（N5（ut，I5））=R（N5（05，I5））- utin case（a）and at=R（N5（ut，I5）2）in case（b）for each t=1，N、 这里，我们使用符号nd（m，∑）2表示随机变量Y=x2的分布，其中X~ Nd（m，∑）。鲍勃不知情，发布了气候预报。也就是说，他使用正确的无条件YT分布进行预测。

因此，他在情况（a）中不断预测Bt=R（N（05，∑）），在情况（b）中不断预测Bt=R（N（05，∑）2）。（vi）我们选择π作为平均值为m的5维高斯测度∈ r5和协方差I5。为了提高分数SR，π的辨别能力，我们旨在选择距离R（Yt）边界较近的m。在这里，我们使用m=2·1，因为该值似乎非常接近Bob在所有四种情况下的（确定性）预测。事实证明，π的选择对于可集成性的考虑是有益的，并使我们的分数确定下来。实际上，由于ρ=VaRα+a的Vr0是有界的，所以它是π F-可积的任何有限测度π。在ρ=EVaRτ+a的情况下，需要更多的考虑。从∧2的构造可以清楚地看出，它是一个有界函数，尤其是，值位于区间0，Pdi=1Lisi。这反过来意味着识别函数VR0是有界的。因此VR0isπF-可积的任何有限测度π。最后，由于∧1仅线性增长，且π和y均为高斯分布，因此在这种情况下也保证了可积性。（vii）我们使用的样本量N=250，很好地代表了一年中的工作（和交易）天数。为了比较Anne的预测性能和Bob的预测性能，我们采用了经典的Diebold-Mariano检验（Diebold&Mariano，1995），该检验基于评分函数SR，π在（3.12）处的形式，因为我们选择了（6.1）和（6.2）中介绍的π和识别函数。我们对设置（a）重复实验1000次，对设置（b）重复实验100次，因为由于存在清除，设置（b）中的计算时间往往相当长。我们用大小为100000的蒙特卡罗图近似π。

计算是用统计软件R进行的，尤其是它的Rcpppackage，它还集成了部分C++代码以提高计算速度。我们考虑使用两个不同的单侧无效假设进行测试。零假设0:E[SR，π（A1，Y1）]≥ E[SR，π（B1，Y1）]，或简而言之H0:A B、 这意味着Bob比Anne具有更好的预测性能，根据SR，π进行评估。相反，H0:A B代表H0:E【SR，π（A1，Y1）】≤ E[SR，π（B1，Y1）]断言Anne的预测在SR，π方面优于Bob的预测。在表1中，我们报告了各个零假设的拒绝相对频率。援引霍尔兹曼和欧勒特（2014）建立的关于不断增加的信息集的一致评分函数的敏感性，我们预计安妮的预测被视为优于鲍勃的预测。事实上 无论哪种情况，B都不会被拒绝，而A 在各种情况下，74%到100%的所有实验中，B被拒绝。特别是H0的拒收率：A B在0.94和1之间，我们观察到模型（a）与模型（B）相比，Bob和Anne之间的辨别能力要高得多，模型（B）的拒绝率在0.74到0.90之间。这可能是因为∧1是无界的，而∧2只取0到'Ls之间的值，这可能会转化为预测所依据的预测分布的较小影响。