系统性风险度量的可引出性和可识别性

此外，在案例（a）和（b）中，对于ρ=EVaRα+a，Anne的预测优于Bob的预测的实例数高于ρ=VaRα+a。26k1k2-4.-2024-4.-2 0 2 4-0.010.000.010.020.030.040.05k1k2-4.-2024-4.-2 0 2 4 f1t=Bt，f2t=Atk1k2-4.-2024-4.-2 0 2 40.000.050.100.15k1k2-4.-2024-4.-2 0 2 4 f1t=Ct，f2t=Atk1k2-4.-2024-4.-2 0 2 40.000.020.040.060.080.100.120.140.16k1k2-4.-2024-4.-2 0 2 4 f1t=Ct，f2t=Bt图2：左面板：经验墨菲图的差异^s250，f1（k）- ^s250，f2（k）（3.16）与k∈ 右面板：Fissler等人（2016）之后的逐点比较反测试的三区转换光插图。绿地对应于空H+0:f1的区域 F2被拒绝，重做是H-0：f1 F2被拒绝，分别为0.05级。黄色表示H+0或H-0被拒绝。在灰色区域，两个墨菲图完全重合。27H0VaR0.01VaR0.05EVaR0.01EVaR0.05∧1A B 0.995 0.940 1.000 1.000A B 0.000 0.000 0.000 0.000∧2A B 0.740 0.870 0.790 0.900A B 0.000 0.000 0.000 0.000表1：显著性水平0.05.6.2的无效假设拒绝率。墨菲图在本小节中，我们按照推论3.12说明墨菲图的使用。为了便于图形化说明，我们将尺寸减小到d=2，将第6.1小节的案例（a）转换为d=2。特别是，我们有Yt=ut+t其中ut服从2维正态分布，平均值为0，方差为1，相关性为0.5，以及t遵循二维标准正态分布。作为标量风险度量ρ，我们只考虑VaR0.05，并使用聚合函数∧1:R2→ R、 即∧（x）=0.25（x+1+x+2）-0.75（x-1+x-2). 除了上述重点介绍的Anne和climatological Bob都理想地使用各自的信息集外，我们还考虑了Celia。

与安妮一样，西莉亚也可以访问同一信息集中的ut结果。然而，她误解了这一点，并发布了逆转预测的迹象，即Yt~ 氮气(-ut，I2）。也就是说，Ct=R（N2(-ut，I2））=R（N2（0，I2））+ut。我们再次考虑n=250的时间范围。在图2的左面板中，我们说明了经验墨菲图的差异[-5，5]23 k 7→ ^s250，f1（k）- ^s250，f2（k）=1250P250t=1SR，k（f1t，Yt）- SR，k（f2t，Yt），其中f1t，f2t代表三种预测之一，At，Btor Ct。在每一对比较中，我们选择F1T低于F2T，我们期望相应的墨菲图存在非负差异。实际上，只有在Boband-Anne之间的比较中，才有一些k，其中^s250，f1（k）- ^s250，f2（k）<0。对于其余区域和情况，墨菲图的表现与我们的预期一致。对于所有三个成对比较，可以很好地识别出相应的两个预测不同的区域，从而产生蓝色描述的正分数差异。这个蓝色区域似乎对应于consideredrisk测度边界的模糊版本。有趣的是，虽然这两对涉及西莉亚的人在形状和位置上表现出正得分差异的区域相似，但在安妮和鲍勃的比较中，这一区域似乎被轻松地转换到了右上角。非常直观地说，在Bob andAnne发布的两个理想预测之间的较量中，得分差异的大小（最大值约为0.05）比涉及符号颠倒的西莉亚的情况小，其中墨菲图之间的最大值差异大于0.15。我们已经多次进行了这个实验，并观察到程式化的事实在质量上是稳定的。

出于透明度原因，我们描述了第一次进行的实验，但我们在Fissler等人（2019b）中报告了更多的实验。28在图2的右侧面板中，我们使用Fissler et al.（2016）中建议的Trans-light图解描述了逐点比较回溯测试的结果，这类似于国际清算银行的三区方法（2013，第103-108页）。也就是说，我们使用基本分数SR，kfor agrid中的每个k进行Diebold-Mariano测试[-5, 5]2. 这意味着，我们想看看预测的优越性是否在0.05的显著水平上得到认可，部署了两个可能的单侧零假设H+0:f1 F2和H-0：f1 f2，使用前面小节中介绍的符号。如果对于某个k，认为F2明显优于tof1，则拒绝空H+0，我们将相应的k涂成绿色。类似地，如果空H-0被拒绝，考虑到F1优于f2，我们用红色表示k。对于黄色区域中的所有k，两个空值中没有一个被拒绝，这意味着该过程在显著水平0.05下是不确定的。最后，灰色区域对应于所有t=1，…，得分差异始终为零的点，N、 由于方差消失，迪堡马里亚诺试验显然不可能在那里进行。但很明显，这仍然意味着这两个预报员在这一地区同样出色。具体结果与图2左面板中获得的情况很好地对应。对于所有三个成对比较，以及对于靠近区域四个角的k[-5，5]2，分数差异同样消失，导致灰色。同样，在这三种情况下，都存在一种“连续”行为，即灰色区域在变成相当宽的绿色条纹之前与浅绿色条纹相邻。

对于涉及西莉亚的比较，显然使用了低于安妮和鲍勃的预测分布，令人欣慰的是，一个实质性的区域是绿色的。在这个地区，程序是决定性的，认为西莉亚明显不如安妮和鲍勃。此外，对于这个特定的模拟，没有红色区域。比较安妮和鲍勃这两位理想预言家的情况要复杂一些。虽然之前的大多数观察结果也适用于这种情况，但在右上角附近有一条小红色条纹。对于该区域的k和这个特定的模拟，这意味着Bob的预测优于Anne的预测。虽然这一观察结果有些出乎意料，但它反映了模拟的有限样本性质，从而使这种结果成为可能。查看更多的实验，inFissler等人（2019b）再次报告了这些实验的结果，结果表明，在不同的模拟中，红色区域并不稳定（这显然违反了Holzmann和Eulert（2014）中建立的一致评分函数对增加信息集的敏感性），但它会移动，偶尔也会消失（在该区域上[-5，5]2考虑在内）。有趣的是，在存在红色区域的所有喷口中，这个红色区域仍然大致位于一个相似的区域。7、导言中提到的讨论，本文的目的和主要贡献包括在定理3.1中建立选择性识别结果，在定理3.8中建立对资本分配敏感的系统性风险度量的详尽可引出性结果。值得注意的是，一致的穷举评分函数的构建依赖于易于计算的基本分数的29混合表示，这为墨菲图的诊断工具开辟了道路。回溯测试。

如Fissler et al.（2016）和Nolde and Ziegel（2017）所述，系统风险度量R的严格一致的穷举评分函数Sr可用于相互竞争的穷举预测的对比回溯测试，即集值预测；另见第6节。更准确地说，有相互竞争的预测A1，AN∈P（Rd；Rd+），B1，BN公司∈ P（Rd；Rd+），并验证金融系统Y1的损益观察结果，YN公司∈ Rd，可以考虑测试统计的适当归一化版本1nnxt=1SR（At，Yt）- SR（Bt，Yt）来评估哪个预测序列在SR下更优。另一方面，可以为风险度量构建定向的选择性识别函数这一事实可能为单侧传统回溯测试开辟了道路（Nolde&Ziegel，2017，第2.21小节）。也就是说，如果有一系列向量值资本要求预测k1，千牛∈ Rd以及验证观测结果1，YN公司∈ Rd，有人可能想知道预测的资本要求是否足以消除R下金融系统的风险。这意味着，我们想判断kt∈ R（Yt）对于所有t=1，N具有一定程度的确定性α。如果VR0是R0的一个定向严格选择识别函数，这相当于测试单侧零假设0:E【VR0（kt，Yt）】≤ 0表示所有t=1，N、 在适当的混合条件下，可以通过考虑检验统计量的重标度版本1nnxt=1VR0（kt，Yt），为该零假设构造一个（渐近）水平α检验。请注意，从监管角度来看，测试这一单边零假设比测试双边零假设更为合理：对于所有t=1，…，E[VR0（kt，Yt）]=0，N、 实际上，这对应于评估ρ（λ（Yt+kt））=0。

然而，从监管角度来看，高估财务要求以使系统可接受更为谨慎。M-估计。如果系统性风险度量值R是完全可导出的，则可以用M估计的形式对其进行推断（Huber&Ronchetti，2009）。也就是说，如果有一个样本Y1，YN公司∈ 在充满充分混合条件的平稳观测中，可以估计集值风险度量R（Y）∈ F（Rd；Rd+），其中y30与观测值具有相同的分布，viabR（Y）=arg minA∈F（Rd；Rd+）1NNXt=1SR（A，Yt），（7.1），其中SR:F（Rd；Rd+）×Rd→ R是R的严格一致的穷举评分函数。在适当的条件下，（7.1）处的M估计br（Y）与R（Y）一致。然而，从计算上来说，（7.1）中的优化问题可能会非常昂贵，如果可行的话。原因是需要优化所有closedupper Rd.Retression集的集合。与M-估计概念密切相关的一个概念是回归，在回归中，可以绕过复杂因素，在集合上进行优化。考虑一个时间序列（Xt，Yt）t∈N、 按照通常的命名，让yt表示响应变量，取Rd中的值，让xt为累加器的p维向量。回归系数可能包括似乎与金融系统的系统风险相关的数量。例如，宏观经济数量，如GDP、失业、通货膨胀、净投资等 Rqbe是一个参数空间，设M:Rp×Θ→ F（Rd；Rd+）是一个参数模型，取Rd的闭上子集集合中的值。假设该模型正确指定，存在唯一参数θ0∈ 对于所有t，r（FYt | Xt）=M（Xt，θ0）P-a.s∈ N、 （7.2）此处，R:Md→ F（Rd；Rd+）是一个符合定理3.8（iii）条件的形式为（2.1）的法律不变风险度量。

此外，假设条件分布FYt | Xtof Ytgiven xts几乎肯定是md0的一个元素，这里我们使用定理3.8的符号。请注意，时间序列不需要是强平稳的，但只有条件分布FYt | Xt需要满足通过（7.2）指定的“半参数平稳条件”。设SR，π为R的严格MD0一致的穷举评分函数。然后，在（White，2001，推论3.48）中规定的某些混合和可捕获性假设下，得出以下大数定律1nnxt=1SR，π（M（Xt，θ），Yt）- E[SR，π（M（Xt，θ），Yt）]→ 0 P-a.s.作为N→ ∞对于所有θ∈ Θ. 它本质上是LargeNumbers结果定律的统一版本（在参数θ中），它产生了经验估计bθN的一致性：=arg minθ∈对于θ0，Θ1NNXt=1SR，π（M（Xt，θ），Yt）（7.3）；参见Huber和Ronchetti（2009）；Nolde和Ziegel（2017）；van der Vaart（1998）获取详细信息。与M估计相比，这种回归方法的优点是31，（7.3）处的优化需要在Rqonly的子集上进行（通常认为是紧凑的）。这使得结果在计算上比在一组上部集合上的优化过程更可行。换言之，M-估计可以被视为回归的一个特殊实例，其中回归系数x为常数，其中Θ对应于F（Rd；Rd+）。除了构建合理的参数模型Mto来建模金融系统的系统性风险这一常见的实际挑战外，我们还看到了一些与此回归框架相关的有趣的理论问题。然而，在（7.2）给出的校正模型规范下，任何严格一致的评分函数SR，π都会产生一致的估计量BθNat（7.3），估计量通常取决于有限样本中R，π（或π）的选择。

此外，估计量BθN的有效性表示为√N（bθN- θ0），将取决于SR，π的选择，这表明SR，π有一个有趣的最优性标准。回避这一问题的一种非常现代和有趣的方法是，同时对所有一致的得分函数类（或面积相当大的子类）进行重新分类，这在最近的论文Jordan et al.（2019）中进行了探讨。为了有效地实现这一点，分数函数在基本分数方面的混合表示可能是有益的。我们将这个有趣的问题推迟到未来研究。致谢我们衷心感谢Tilmann Gneiting和Johanna Ziegel的深入讨论和持续鼓励。我们感谢Timo Dimi triadis和Peter Baranˇcok，他们在同等分数的情况下提供了有益的评论，感谢袁力对本文早期版本的仔细校对，感谢Luk\'aˇsˇSablica对本项目模拟部分的有益编程建议。托拜厄斯·菲斯勒（Tobias Fissler）感谢伦敦帝国理工学院（Imperial College London）通过其查普曼奖学金（Chapman Fellowship）提供的财政支持，以及维也纳经济与商业大学统计与数学研究所（Institute for Statistics and Math ematics）在几次考察期间的热情款待，当时该项目的主要部分已经联合开发。A、 附录A。1、定理3.1第3节证明。（i） 设Vρ：R×R→ R是ρ的严格M-识别函数。这意味着∈ Ydwith分布F∈ Md，所有k∈ Rdand forall x∈ R、 一个有那个Vρ（x，∧（Y+k））= 0<==> x=ρ（λ（Y+k））。（A.1）32设定x=0 in（A.1）yieldsEFVρ（0，∧（Y+k））= 0<==> 0=ρ（λ（Y+k））<==> k∈ R0（Y），尤其适用于R0（Y）=.

因此，VR0（k，y）=Vρ（0，∧（y+k））是R0的严格选择性M识别函数。（ii）现在假设Vρ：R×R→ R是ρ的定向严格M-识别函数。这意味着∈ Ydwith分布F∈ Md，所有k∈ Rdand forall x∈ R、 一个有那个Vρ（x，∧（Y+k））< 0，如果x<ρ（λ（Y+k））=0，如果x=ρ（λ（Y+k））>0，如果x>ρ（λ（Y+k））。（A.2）在（A.2）中设置x=0，则产生索赔。命题3.4的证明。该证明遵循Fissler和Ziegel（2016）中定理3.2的证明；参见Osband（1985）。x的维数在证明中不起任何作用。当我们的识别函数映射到R时，我们在Fissler和Ziegel（2016）的定理3.2中使用k=1。关于F1，F2存在的假设∈ md使得“VR0”的符号不同，再加上mda的凸性相当于Fissler和Ziegel（2016）中的假设（V1）。如果我们更换由V0（x，F）得到函数h:a→ R使得所有x的'V0（x，F）=h（x）'V（x，F）∈ A和所有F∈ Md.由于矩阵bg在证明中将是任何x的秩1的2×3矩阵∈ A、 对于所有x，h（x）必须为非零∈ A、 命题3.6的证明。让F∈ MDW和EARw（F）6=. 注意，对于任何k∈ Rd，\'VEARw（k，F）评估\'VR0（·，F）：Rd→ 与包含k的w正交的超平面上的R。自EARw（F） R0（F），k∈ EARw（F）表示“VR0（k，F）=0。VR0的方向，以及EARw（F）是R（F）与与w正交的R（F）的支撑超平面的交点，并且R（F）是一个上集，这意味着“VR0（k+x，F）=”VEARw（k，F）（x）≤ 0表示所有x∈ w⊥.

如果k/∈ EARw（F），有两种可能性：（i）包含k的正交超平面与R（F）有一个空交点，因此对于所有x，VR0（k+x，F）<0∈ w⊥.（ii）包含k的正交超平面与R（F）\\R0（Y）有一个非空交点，因此有一些x∈ w⊥VR0（k+x，F）>0时。现在让我们听听（F）=. 如果R（F）=, （3.7）适用于一般情况。如果R（F）为非空，则EARw（F）仅在R（F）正交拖曳没有支撑超平面时为空。那么对于任何k∈ Rd，有x1，x2∈ w⊥如图3.33右侧所示，如图3.3：维度d=2的命题3.6证明的图解所示，使得“VEARw（k，F）（x1）>0且“VEARw（k，F）（x2）<0”。假设蓝色区域对应于正确指定的风险度量值（F）。在左图中，EARw（F）是一个单态，仅包含点a。点B对应于情况（i），而点C和D是不在EARw（F）中的点的情况（ii）的示例。在右图中，EARw（F）=.对于任何k∈ Rd有一些x∈ w⊥使“VR0（k+x，F）>0。命题3.7的证明。“仅当”部分是定理3.1的特例。对于“if”部分，假设VR0:Rd×Rd→ R是R0的严格选择性Md识别函数。对于任何Y∈ Ydit认为E[VR0（0，Y）]=0<=> 0∈ R0（Y）<=> ρ（λ（Y））=0。那么对于任何s∈ R和任意X∈ Yρ（X）=s<==> ρ（X+s）=0<==> E[VR0（0，η（X+s））]=0。因此ρ可通过严格的选择性M-识别函数Vρ：R×R识别→ R、 Vρ（s，x）=VR0（0，η（x+s））。为了证明定理3.8，我们需要以下引理。引理A.1。让A1、A2∈ F（Rd；Rd+）。然后，对称差A14A2=（A1\\A2）∪ （A2\\A1）为空，当且仅当其内部int（A14A2）为空。引理A.1的证明。如果A14A2= 很明显，int（A14A2）=.假设有一个x∈ A14A2。