系统性风险度量的可引出性和可识别性

在不丧失一般性的情况下，我们可以假设x∈ A1\\A2。如果x∈ int（A1\\A2），我们完成了。因此，让x∈ （A1\\A2）\\int（A1\\A2），表示x∈ （A1\\A2），其中（A1\\A2）表示A1\\A2的边界。它认为（A1\\A2）=（A1∩Ac2） A1级∪（Ac2）=A1级∪但是自从A2级 A2和x∈ A1\\A2，它遵循x∈ A1\\A2。由于边界的定义，这意味着对于所有ε>0的情况，它保持bε（x）∩ A16=, 其中，Bε（x）是中心为x，半径为ε的空心球。假设对于所有ε>0，我们有Bε（x）∩ A26=, 然后是x∈\'A2=A2，这与假设x相矛盾∈ A1\\A2。这意味着存在一个ε0>0，使得bε0（x）∩ A2=. 此外，由于A1是一个上集，x+Rd++是A1的一个非空opensubset。此外，我们看到Bε0（x）∩ （x+Rd++）是A1的非空开放子集合，它与A2不相交。这意味着int（A1\\A2）6=.34定理3.8的证明。（i） 让k∈ Rd，A∈bP（Rd；Rd+）和F∈ Md.直接计算得出'SR，k（A，F）-\'SR，k（R（F），F）=1R（F）\\A（k）-1A\\R（F）（k）(R)VR0（k，F）≥ 0，（A.3），其中最后一个不等式是（3.10）中方向弱形式的直接结果。SR，k的非负性来自Md一致性，证明δy∈ Mdfor所有y∈ Rd和SR，k（A，y）≥ SR，k（R（y），y）=0。（ii）这是分数的非负性和一致性的直接结果，k.（iii）Let F∈ Md和A*:= R（F），A∈ F（Rd；Rd+），A 6=A*. 假设无质量'SR，π（A，F），'SR，π（A*, F）<∞ 保持（否则，就没有什么可显示）。利用Fubini定理，我们得到了'SR，π（A，F）-\'SR，π（A*, F）=ZA*\\A'VR0（k，F）π（dk）-ZA\\A*\'VR0（k，F）π（dk）。引理A.1得出int（A\\A*) 6=  或int（A*\\A） 6=.

如果int（A\\A*) 6= ,事实上，V（·，F）在（A）上是严格负的*)假设π将正质量赋给B（Rd）中的任何非空开集，则意味着*\'VR0（k，F）π（dk）<0，这意味着\'SR，π（A，F）-\'SR，π（A*, F）>0。假设int（A*\\ A） 6=. 边界A.*= R0（F）={k∈ Rd |(R)VR0（k，F）=0}是一个闭集。这意味着int（A*\\（A）\\A.*打开且非空。此外，VR0（·，F）在int（A）上严格为正*\\ （A）\\A.*. 因此，ZA*\\A'VR0（k，F）π（dk）≥锌（A*\\（A）\\A.*\'VR0（k，F）π（dk）>0，这意味着\'SR，π（A，F）-\'SR，π（A*, F）>0。命题3.10的证明。对于命题的第一部分，充分展示了小学分数SR、kgiven at（3.11）的顺序敏感性。让A B R（F）。那么，对于任何k∈ Rd、SR、k（A、F）-\'SR，k（B，F）=1B\\A（k）\'VR0（k，F）≥ 0，由于（3.10）中给出的方向。另一方面 B R（F）我们得到了SR，k（A，F）-\'SR，k（B，F）=-1A\\B（k）(R)VR0（k，F）≥ 0，其中不等式后面紧跟着（3.10）。命题的第二部分遵循定理3.8（iii）的证明。35A。引理4.2第4节的证明。假设ρ是正齐次的标量风险度量，∧是b阶正齐次的∈ R、 设c>0和Y∈ Yd.R（cY）=nk∈ Rd |ρ（λ（cY+k））≤ 0o=nk∈ Rd |ρcb∧（Y+k/c）≤ 0o=nk∈ Rd | cbρ（λ（X+k/c））≤ 0o=nk∈ Rd |ρ（λ（X+k/c））≤ 0o=cnk∈ Rd |ρ（λ（X+k））≤ 0o=cR（Y）。引理4.3的证明。（i） 让y，k，l∈ Rd.ThenVR0（k+l，y- l） =Vρ（0，∧（k+l+y- l） ）=Vρ（0，∧（k+y））=VR0（k，y）。（ii）设V0R0是R0的另一个平移不变严格Md识别函数。利用命题3.4，有一个非消失函数h:Rd→ R，使得所有x的'V0R0（x，F）=h（x）'VR0（x，F）∈ 所有F的Rdand∈ Md。

可以证明H是常数，这与Fissler和Ziegel（2019c）中命题4.7（ii）的证明一致。（iii）设c>0，k，y∈ Rd.ThenVR0（ck，cy）=Vρ（0，λ（ck+cy））=Vρ（0，cb∧（k+y））=cabVρ（0，λ（k+y））=cabVR0（k，y）。命题4.5的证明。首先观察到VR0（k，y）=Vρ（0，λ（y+k））是R0的定向选择性平移不变严格Md识别函数，调用Lemma4.3（i）和定理3.1。然后直接计算得出Sr，k（a+l，y- l） =SR，k-l（A，l）（A.4）表示所有A∈ 2Rd，y，l∈ 因此，（A.4）和Lebesguemeasure的平移不变性显示了第（i）部分。对于第（ii）部分，假设S的形式为（3.12）中的形式，并且是平移不变的，引用上述讨论，我们可以假设元素分数S基于平移不变识别函数VR0，而不丧失一般性。Forl公司∈ 定义A的度量值πl（A）=π（A+l）∈ B（Rd）。注意，由于S被假定为有限的，这意味着分数差异得到了很好的定义，并且也是翻译变量。对于 B这意味着对于任何l∈ RZB\\AVR0（z，y）πl（dz）=ZB\\AVR0（z，y）π（dz）。36形式I的任何集合=[a1，b1）×···×[ad，bd），ai，bi∈ R、 人工智能≤ 对于某些A、B，bi可以表示为B\\A∈ F（Rd；Rd+）带A B、 然而，这些集合的系统I是B（Rd）的生成元，我们得出结论，对于任何l∈ Rdνy，l（D）：=ZDVR0（z，y）πl（dz）=ZDVR0（z，y）π（dz）=：νy（D）。（A.5）对于所有D∈ B（Rd）。对于每个D∈ B（Rd）我们得到分解（取决于y）D=D+y∪D-y∪D0y，其中D-y=D∩R（y）c，D0y=D∩R0（y）和D+y=D∩R（y）\\R0（y）。因此，（A.5）和识别函数VR0的严格性意味着E=D+yor E=D-yπl（E）=ZE1VR0（z，y）νy，l（dz）=ZE1VR0（z，y）νy（dz）=π（E）。（A.6）R和假设（2）的翻译等效性意味着（A.6）适用于allE∈ B（Rd）。

这意味着对于某些γ，π=γld≥ 命题4.6的证明。假设VR0是R0的一个定向严格选择Md识别函数，该函数为a阶正齐次函数∈ R、 A直接计算得出，对于所有A，Sr，k（cA，cy）=caSR，kc（A，y）（A.7）∈ 2Rd，y∈ RDC>0。如果π是b次正齐次的∈ R、 （A.7）意味着（4.2）中的SR，π是A+b度的正齐次。对于第（ii）部分，假设S是（3.12）处的形式，并且是A+b度的正齐次。对于c∈ 定义A的度量值πc（A）=π（cA）∈ B（Rd）。请注意，由于S被假定为有限的，S的正同质性意味着分数差异得到了很好的定义，并且在a+b的程度上也是正同质的 B直接计算表明，对于任何c>0ZB\\AVR0（z，y）πc（dz）=cbZB\\AVR0（z，y）π（dz）。使用与命题4.5证明中相同的论点，我们得出结论，对于所有D，νy，c（D）：=ZDVR0（z，y）πc（dz）=cbZDVR0（z，y）π（dz）=：cbνy（D）∈ 对于E=D，B（Rd）和πc（E）=ZE1VR0（z，y）νy，c（dz）=ZE1VR0（z，y）cbνy（dz）=cbπ（E）（A.8）∩ R（y）cor E=D∩ R（y）\\R0（y）。最后，R和假设（2）的翻译等效性意味着（A.8）适用于所有E∈ B（Rd）。这意味着π是b.37A度的正齐次。3、命题5.1第5节的证明。让F∈ MDK和k∈ Rd.然后'U2（TVaRα（F），k，F）=1αEF[λ（Y+k）1{∧（Y+k）≤ -TVaRα（F）（k）}]+1αVaRα（λ（Y+k））F∧（Y+k）(-VaRα（∧（Y+k）））- α= -ESα（λ（Y+k））< 0，如果k/∈ RESα（F）=0，如果k∈ RESα0（F）>0，如果k∈ RESα（F）\\RESα0（F），其中F∧（Y+k）是∧（Y+k）的分布函数。在假设（3）下，它保持U1（TVaRα（F），k，F）=0。因此，我们以第二个断言结束。定理5.2的证明。（i） 让F∈ Md，v∈ RRd，A∈bP（Rd；Rd+）和v*= TVaRα（F），A*= RESα（F）和k∈ 如果Sk（v，A，F）=∞ 没有什么可展示的。所以我们假设“Sk（v，A，F）”是有限的。

考虑“Sk”（v、A、F）-(R)Sk（v*, A、 F）=1A（k）-\'U2（v，k，F）+U2（v*, k、 F）= 1A（k）EFSα，id(-v（k），∧（Y+k））- Sα，id(-v*（k） ，λ（Y+k））≥ 0，自Sα以来，α分位数的idis一致。如果Sk（v*, A、 F）=∞ 我们完成了。否则，考虑“Sk（v*, A、 F）-(R)Sk（v*, A.*, F）=1A级*\\A（k）-1A\\A*（k）\'U2（v、k、F）≥ 0，其中不等式如下（5.4）。非负性来自于一致性和Sk（TVaRα（δy），RESα（δy），y）=0的事实。（ii）由于第（i）部分的原因，分数S0，π2与（TVaRα，RESα）的Md一致：Md→ RRd×bP（Rd；Rd+）。由于Sα，gz是α-分位数的一致选择评分函数，因此该断言遵循了Fubini定理。（iii）让F∈ Md0，v∈ C（Rd；R），A∈ F（Rd；Rd+）和v*= TVaRα（F），A*= RESα（F）。Ifv 6=v*那么K={K∈ Rd | v（k）6=v*（k） }6= 已打开。如果Sπ1，π2（v，A，F）=∞ 没有什么可展示的。其他情况下，ef[Sπ1，π2（v，A，Y）- Sπ1，π2（v*, A、 Y）]≥ZKEF公司Sα，gk(-v（k），∧（Y+k））- Sα，gk(-v*（k） ，λ（Y+k））π1（dk）+1αZA∩KEF公司Sα，id(-v（k），∧（Y+k））- Sα，id(-v*（k） ，λ（Y+k））π2（dk）>0，其中第一个积分为严格正，第二个积分为非负（且严格正当且仅当π2（A∩ K） >0）。38如果A 6=A*, 然后EF[Sπ1，π2（v*, A、 Y）- Sπ1，π2（v*, A.*, Y）]>0，这与定理3.8（iii）中的证明具有相似的参数。参考Acerbi，C.，&Szekely，B.（2014）。回溯测试预期短缺。风险杂志。恢复fromhttps://www.msci.com/documents/10199/22aa9922-f874-4060-b77a-0f0e267a489bAcerbi，C.，&Szekely，B.（2017）。可回溯测试统计的一般属性。预印本。检索自https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstractid=2905109Acharya，V.V.，Pedersen，L.H.，Philippon，T.，和Richardson，M.（2016）。测量系统风险。修订版。财务研究。，30 (1), 2–47. 检索自https://doi.org/10.1093/rfs/hhw088Adrian，T.，&Brunnermeier，M.K.（2016）。科瓦尔。是经济。

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