系统性风险度量的可引出性和可识别性

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英文标题：
《Elicitability and Identifiability of Systemic Risk Measures》
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作者：
Tobias Fissler, Jana Hlavinov\\\'a, Birgit Rudloff
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Identification and scoring functions are statistical tools to assess the calibration and the relative performance of risk measure estimates, e.g., in backtesting. A risk measures is called identifiable (elicitable) it it admits a strict identification function (strictly consistent scoring function). We consider measures of systemic risk introduced in Feinstein, Rudloff and Weber (2017). Since these are set-valued, we work within the theoretical framework of Fissler, Hlavinov\\\'a and Rudloff (2019) for forecast evaluation of set-valued functionals. We construct oriented selective identification functions, which induce a mixture representation of (strictly) consistent scoring functions. Their applicability is demonstrated with a comprehensive simulation study.
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中文摘要：
识别和评分功能是一种统计工具，用于评估风险度量估计的校准和相对性能，例如在回溯测试中。风险度量被称为可识别的（可引出的），它允许一个严格的识别函数（严格一致的评分函数）。我们考虑了Feinstein、Rudloff和Weber（2017）提出的系统性风险度量。由于这些函数是集值函数，我们在Fissler、Hlavinov\'a和Rudloff（2019）的理论框架内对集值函数进行预测评估。我们构造了定向的选择识别函数，该函数导出了（严格）一致的评分函数的混合表示。通过全面的仿真研究，证明了其适用性。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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关键词：系统性风险 风险度量 可识别 风险度 系统性

系统风险度量的可引出性和可识别性偏差Fissler*贾纳·赫拉维诺夫*伯吉特·鲁德罗夫*2019年10月18日摘要。识别和评分功能是统计工具，用于评估风险度量估计的校准和相对性能，例如，在回溯测试中。风险度量称为可识别（可引出），它具有严格的识别函数（严格一致的评分函数）。我们考虑了Feinstein、Rudloff和Weber（2017）提出的系统性风险度量。由于这些都是集值函数，我们在Fissler、Hlavinov\'a和Rudloff（2019a）的理论框架内对集值函数进行预测评估。我们构造了定向的选择性识别函数，这导致了（严格）一致的ScoringFunction的混合表示。通过综合仿真研究，证明了其适用性。关键词：一致性评分函数；迪堡-马里亚诺试验；预测评估；M-估计；Murphy diagramsMSC 2010主题分类：62F07；62F10；91G701。引言1.1。系统性风险度量在金融数学文献中，人们对各种类型的风险，尤其是其定量度量非常感兴趣。与特定财务状况相关的风险定量评估可追溯到Artzner、Delbaen、Eber和Heath（1999），此后，许多其他著作从多个角度对其进行了讨论，如（Artzner、Delbaen和Koch Medina，2009；F¨ollmer&Schied，2002；F¨ollmer&Weber，2015）。

有关风险度量的全面概述，请参阅《福尔默和希德》（2004）教科书。*维也纳经济和商业大学统计和数学研究所，Welthandels platz 1，1020 Vienna，Austria，tobias。fissler@wu.ac.at，jana。hlavinova@wu.ac.atandbirgit。rudloff@wu.ac.at1arXiv：1907.01306v2【数学ST】2019年10月17日2007-2009年的金融危机及其在过去十年中的后果已经开始认识到需要定量评估整个金融系统的风险，而不仅仅是单个实体的风险。艾森伯格（Eisenberg）和诺伊（Noe）（2001）的开创性论文是关于系统性风险的最早学术著作之一。然而，这项工作的重点在于对金融系统进行建模，而不是衡量其系统风险。自那时以来，官方数学家们已经开发了一系列丰富的文献，涵盖了不同的方法，并强调了系统风险的各个方面。Eisenbergand Noe（2001）的模型以不同的方式进行了推广，例如通过考虑ILIQ uidity（Rogers&Veraart，2013）或中央清算（Amini、Filipovic和Minca，2015）。一组文献通过将标量风险度量应用于系统中所有公司的总利润和损失分布来定义系统风险度量（Acharya、Pedersen、Philippon和Richardson，2016；Adrian和Brunnermeier，2016）。Chen、Iyengar和Moallemi（2013）认识到将经济视为投资组合的缺点，引入了衡量系统风险的公理化方法，Kromer、Overbeck和Zillch（2016）以及Ho Off mann、Meyer Brandis和Svindland（2016）进一步扩展了这一方法。Chen等人的公理化方法。

（2013）被广泛使用，相当于ρ（λ（Y））形式的系统风险度量，其中Y是表示金融系统的d维随机向量，ρ是标量风险度量，∧：Rd→ R非递减聚合函数。然而，这种先汇总然后再添加系统总资本要求的方法有一个缺点，即它会导致衡量救助成本，而不是衡量防止金融危机的资本要求。这些类型的风险度量也被称为不敏感，因为它们没有考虑资本监管对系统的影响。作为替代方案，Feinstein等人（2017）引入了所谓的敏感系统性风险措施；有关相关方法，请参见比亚基尼、福克、弗里特利和迈耶·布兰迪斯（2019）和阿尔曼蒂、克雷佩、德雷沃和帕潘托莱恩（2018）。这里，首先将资本要求添加到金融机构中，然后应用聚合函数。也就是说，我们考虑了formR（Y）={k的系统性风险度量∈ Rd |ρ∧（Y+k））≤ 0}. （1.1）因此，考虑了监管对系统的影响。在本文中，我们将主要关注Feinstein等人（2017）介绍的这类系统性风险度量；详见第2.1节。R（Y）规定了所有资本分配k的集合∈ Rd使得新系统Y+k在通过∧聚合后被视为ρ可接受。因此，R从事前的角度对每个金融机构的注资（和提款）进行了预先规定，足以防止系统Y发生危机，而ρ（λ（Y）），如上所述，可以解释为系统性事件发生后系统的救助成本。1.2.

可引出性和可识别性在量化风险管理领域，人们对哪种scalarrisk度量在实践中最合适展开了激烈的辩论；有关详细的学术讨论，请参见Embrechts、Puccetti、R¨uschendorf、2Wang和Beleraj（2014）以及Emmer、Kratz和Tasche（2015），有关银行业监管视角，请参见国际清算银行（2014）。除了在公理性质上的差异，如风险度量的一致性（Artzner et al.，1999）和凸性（F¨ollmer&Schied，2002），辩论还考虑了风险度量的更多统计方面。两个被广泛讨论的统计需求是汉佩尔（1971）意义上的稳健性——参见Cont、Deguest和Scandolo（2010）；Kr¨atschmer、Schied和Z¨ahle（2014年）——以及可诱导性。“可诱导性”一词源于Osband（1985）和Lambert、Pennock和Shoham（2008）。使用数理统计的术语，如果实值定律不变的风险度量ρ允许M估计量，那么它是可以导出的（Huber&Ronchetti，2009）。也就是说，有一个损失或计分函数S:R×R→ R使得ZS（ρ（F），y）dF（y）<ZS（x，y）dF（y）（1.2），对于某类分布函数M中的所有F，对于所有x 6=ρ（F）。对于ρ：M，任何满足（1.2）的scor ing函数都称为严格M-一致→ R、 BesidesM估计，可能在回归框架中，如分位数回归（Koenker，2005；Koenker&Basset，1978）或预期回归（Newey&Powell，1987），使用严格一致的评分函数鼓励真实的预测。这种激励相容性为有意义的预测比较（Gneiting，2011a）开辟了道路，这与财务中的比较回溯测试密切相关（Fissler，Ziegel，&Gneiting，2016；Nolde&Ziegel，2017）。Ziegel（2016a）表明，期望值基本上是唯一可行且一致的风险度量。

与此一致，突出的风险度量值为α级风险∈ （0，1）（VaRα）对应于温和条件下的一个分位数，结果是可以引出但不一致的。另一方面，预计α级短缺∈ （0，1）（ESα）是一个尾部期望，是一致的，但无法引出。有趣的是，Fissler和Ziegel（2016）以及Acerbi和Szekely（2014）表明，尽管ES本身没有严格一致的评分功能，但这对（VaRα，ESα）是可以引出的。最近建立了一个类似的结果，提供了由风险度量范围值和两个不同水平的VaR组成的三元组的可激发性（Fissler&Ziegel，2019a）。与可引出性概念密切相关的是可识别性概念。前者用于预测比较或模型选择，后者用于模型和预测验证或校准检查。再次调用数理统计的语言，如果是aZ函数，则可以识别不变定律的实值风险度量ρ。这意味着如果它允许矩函数或严格的M-识别函数V:R×R→ R使得zv（x，y）dF（y）=0<==> x=ρ（F）（1.3），对于所有F∈ M和所有x∈ R、 Steinwart、Pasin、Williamson和Zhang（2014）表明，在适当的规则性条件下，真实价值风险度量的可识别性与其可引出性等效。一致地，VaRα可以在mild3规则性条件下通过简单的覆盖率检查进行识别，而ESα没有严格的识别功能。关于评估风险度量时的可识别性和校准的讨论，我们请读者参考Davis（2016）和Nolde and Ziegel（2017）。1.3.

本文的创新贡献和结构本文的目的是建立（1.1）中形式的系统风险度量的可引出性和可识别性结果。由于这些风险度量是集值而非实值的，我们严格区分了Fissler等人（2019a）介绍的选择性报告和详尽报告，以及相应的可引出性和可识别性概念。简言之，将系统性风险度量的形式设定为（1.1），选择性预测规定了单一的资本配置，使系统可以接受。另一方面，详尽的预测更具雄心，旨在以集合的形式同时报告所有充足的资本配置。因此，穷举评分或识别函数将集合作为其第一个参数，其中它们的选择性对应项将点作为输入。第2节收集了（1.1）中定义的系统风险度量的相应定义、基本属性和假设，以及有效的现金不变位置规则（EARs）等衍生量（Feinstein et al.，2017）。第3节包含了我们的主要结果，最著名的是定理3.1，它断言了R0（Y）={k的定向选择性识别函数的存在性∈ Rd∧（ρ（Y+k））=0}，以及定理3.8，该定理使用这些识别函数为R构造严格一致的穷举评分函数。有趣的是，这些评分函数作为基本分数的积分构造，利用识别函数的方向。这可以被认为是一个更高维的类比，与在sem最终论文Ehm、Gneiting、Jordan和Kr¨uger（2016）中建立的一维预测得分函数的混合表示法类似。

同样，这产生了墨菲图的诊断工具，有助于预测优势的评估；见第3.2.6小节。再次感谢识别函数的方向，我们得到了这些一致评分函数的顺序敏感性结果（命题3.10）。关于上述耳朵，命题3.6为耳朵建立了严格的选择性识别函数，有趣的是映射到函数空间。由于（1.1）形式的系统性风险度量值R在意义上是换算相等的，R（Y+k）=R（Y）-k代表所有k∈ Rd在温和的同质假设下，对于所有c>0（引理4.2），R（cY）=cR（Y），确定平移不变或正同质一致评分函数的子类是有意义的，这是第4节的内容。R的可引出性结果取决于基础标量风险度量ρ的可识别性/可引出性。这意味着ES作为标量风险度量的系统性风险度量的可引出性将面临厄运。第5节概述了这一问题，并建立了以更高预测复杂性为代价的这一挑战的解决方案。与标度情况类似，将基于ES的一对R与VaR相关数量4结合起来考虑，可以得到选择性识别和详尽的可引出性结果（命题5.1和定理5.2）。我们的结果的实际适用性通过模拟研究得到证明，这是第6节的内容。通过Diebold-Mariano检验，我们检验了严格一致的分数能够区分不同预测绩效的程度。Wealso还利用Fissler等人提出的Trans-light方法，在模拟示例中以图形方式说明了Murphy图的诊断工具。

(2016).第7节以讨论和展望我们的结果的可能应用和未来研究的途径来结束本文。所有证明和纯技术结果均推迟到附录中。在线补充材料Fissler、Hlavinov\'a和Rudloff（2019b）中收集了与资本分配不敏感的风险度量相关的结果以及模拟结果的一些额外图形。符号和术语2.1。系统风险度量我们考虑Feinstein等人（2017）研究的集值系统风险度量。特别地，我们关注由一些定律不变标量风险测度ρ导出的定律不变风险测度R。要解决一些符号，让(Ohm, F、 P）是无原子概率空间。对于某些整数d≥ 1，让Yd L0级(Ohm; Rd）是d维随机向量的一个子类。从风险管理的角度来看，随机向量=（Y1，…，Yd）∈ Yd表示金融公司系统的各自收益和损失。也就是说，组成部分Yi的正值代表公司i的收益，负值对应亏损。设Mdbe是Yd.Let∧：Rd元素的概率分布类→ R是一个聚合函数，意味着它相对于组件顺序是不递减的。聚合函数通常（但不一定）假定为连续函数，甚至是凹函数。我们介绍Y L0级(Ohm; R） 式中{∧（Y）| Y∈ Yd} 设M是Y元素的分布类。在方便的情况下，我们会默认Y和Y在translation下是闭合的，意思是X∈ Y、 Y型∈ yd表示X+m∈ Y和Y+k∈ YD适用于所有m∈ R、 k级∈ Rd.我们考虑一些标量货币定律不变的风险测度ρ：Y→ R（Artzner等人，1999年）。

也就是说，我们可以把ρ看作一个映射ρ：M→ 对于随机变量X∈ Y带分布外汇∈ M我们定义ρ（FX）：=ρ（X）。假设ρ是现金不变的，即ρ（X+m）=ρ（X）- m代表所有m∈ R和allX∈ Y、 和单调，意思是X≥ Z P-a.s.表示ρ（X）≤ ρ（Z）对于所有X，Z∈ Y、 我们通常不使用通常的归一化假设，即ρ（0）=0。备注2.1。通常，假设标量风险度量映射到R*= (-∞, ∞].我们也可以这样做，但要付出更为技术性的代价。然而，为了避免5个不必要的技术性问题，我们避免这样做，并将在本文中假设任何标量风险度量只会达到实际值。我们提出了基于ρ和∧的两个最自然法则不变的系统风险集值测度，命名为：Yd→ 2Rd，Y 7→ R（Y）={k∈ Rd |ρ∧（Y+k））≤ 0}，（2.1）漂洗：Yd→ 2Rd，Y 7→ Rins（Y）={k∈ Rd |ρ（λ（Y）+k）≤ 0}. （2.2）在（2.2）及更高版本中，我们使用速记“k：=Pdi=1如果某个向量k=（k1，…，kd）∈Rd.注意R和Rins之间的差异。风险度量值R在规定所有资本配置k的意义上是事前的∈ r需要添加到系统Y中，以使聚合系统∧（Y+k）在ρ下可接受。另一方面，RINS从事后的角度来量化系统Y的风险。这意味着它首先考虑当前的聚合系统∧（Y），然后指定需要添加的总资本要求，以使聚合系统可接受，这相当于指定ρ下聚合系统∧（Y）的纾困成本。特别是，风险度量对每个金融公司的资本分配不敏感，忽略了可能的交易成本或金融公司之间的其他依赖结构。这正好是助记术语。