经济和金融网络中的风险依赖中心地位

，ψj，n。研究网络中通信过程的一个重要量是可通信性函数[30]，定义为一对节点u和v asGuv=∞Xk=0Ak公司uvk！=（exp（A））uv=nXj=1eλjψj，uψj，v。它计算从节点u开始到节点v结束的行走总数，按其长度的降序加权系数k！。长度为k inΓ的行走是一组节点i，i，ik，ik+1所有1≤ l≤ k、 （il，il+1）∈ E、 闭合行走是指i=ik+1的行走。因此，古维斯认为短距离步行比长距离步行更有吸引力。矩阵指数是一类一般矩阵函数的例子，它们是6 P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.Estradae，可表示为（2.1）f（A）紫外线=∞Xk=0ckAk公司uv，其中CKA系数赋予较短步行者比较长步行者更多权重，并使序列收敛。术语Guu计算从节点u开始的闭合行走的数量，使短的比长的权重更大，称为节点u的子图中心性。这里我们还考虑了无向网络上的易感感染（SI）模型。每个易受感染节点的感染率为每条链路的感染率γ乘以受感染的相邻节点数。让t*是节点i被感染的瞬间。节点i保持此状态t型≥ t型*而且不会回来容易受影响。让我们引入一个随机变量Xi（t），表示节点i在时间tXi（t）的状态=如果t≥ t型*否则（2.2），我们定义（2.3）xi（t）=P[xi（t）=1]=E[xi（t）]∈ [0，1]，这是节点i在时间t被感染的概率。换句话说，节点i在时间t是健康的，概率为1-xi（t）。对于整个网络，我们定义了概率向量：（2.4）~ x（t）=[x（t），…，xn（t）]t.3。模型让我们考虑金融网络上的SI模型。

图Γ=（V，E）的节点表示金融机构，连接它们的边表示可以将“疾病”从一个机构传播到另一个机构的相互作用。节点可能易受感染，然后从最近的邻居处感染，或者它被感染，并可以将感染传播到其他易受感染的节点。设γ为感染率，xi（t）为节点在时间t从任何受感染的最近邻居处感染的概率。然后，（3.1）dxi（t）dt=~˙x（t）=γ[1- xi（t）]nXj=1Aijxj（t），矩阵向量形式为：（3.2）~˙x（t）=γ[1- diag（~x（t））]A~x（t），初始条件为~x（0）=~x的经济和金融网络中的风险依赖中心性7。众所周知，在强连通网络上[67]：1。如果~ x∈ [0，1]n次x（t）∈ [0，1]对于所有t>0；2.~ x（t）在t中单调非递减；3、有两个平衡点：~ x=~ 0，即无流行病，~ x=~ 1（变异体载体），即完全传染；4、模型在点0附近的线性化由（3.3）~˙x（t）=γA~x（t）给出，它是指数不稳定的；事实上，因为在一个非空无向图中，AHA至少有一个正特征值，所以在相应特征向量方向上的任何解分量都会随着t的增加无限增长；5、每一条~x6=~ 0的轨迹渐近收敛到~x=~ 1，即流行病单调地传播到整个网络。具体而言，线性化问题来自以下观察结果。可以检查（3.4）˙xi（t）=γ[1- xi（t）]nXj=1Aijxj（t）≤ γnXj=1Aijxj（t）或（3.5）~˙x（t）≤ γA~x（t），我和t、 然后，我们可以使用线性动力系统（3.6）~˙x？（t） =γA~x？（t） ，作为原始非线性动力系统的上界，已在文献中用作精确问题的近似值（见[67]）。

它的一个主要优点是可以用解析法求解，其解为x？（t） 可以写为：（3.7）~ x？（t） =eγtA~x？，用A的谱分解，哪个可以写成（3.8）~x？（t） =nXj=1eγtλj ~ψj ~ψTj ~ x？。线性化模型的这种解决方案受到以下主要问题的影响：图Γ=（V，E）强连通当且仅当每对节点i，j∈ V有一条从i开始到j结束的定向行走，还有一条从j开始到i8结束的定向行走P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.ESTRADA1~x？（t） 尽管~x？（t） 是不应超过单位的概率向量；2.~ x？（t） 仅当t→ 0和~x？→ Mugnolo在【68】中广泛研究了线性动力系统3.3以及解3.7的数学性质。我们指导读者参考此参考以了解详细信息。此后，我们将关注Lee等人[62]最近的工作，他提出了以下变量变化，以避免线性化SI模型的解决方案出现上述问题：（3.9）yi（t）：=-日志（1- xi（t）），这是一个递增凸函数。然后，作为1- xi（t）是节点i在给定时间t未被感染的概率，新变量yi（t）可以解释为节点i的信息内容或未被感染的惊喜（参见，例如，[19]）。

根据文献[62]，SI模型（3.1）现在可以写成（3.10）dyi（t）dt=˙yi（t）=γnXj=1Aijxi（t）或（3.11）~˙y（t）=γA~x（t）。【62】提供的SI模型的近似解由（3.12）~ x（t）=~ 1给出- e-~y（t），其中e-~y（t）是第i个条目为e的向量-yi（t）和~y（t）=eγtAdiag（~1-~x）[-日志（1- ~x） ]+∞Xj=0（γt）j+1（j+1）！哈迪亚格~1.- ~x个ijA公司~x个+~1.- ~x个日志~1.- ~x个.（3.13）正如【62】所强调的，动力学的有趣情况是~x<~1，在这种情况下，解简化为（3.14）~y（t）=~y+heγtDiag（~1-~x）- Ii·诊断~1.- ~x个-1~x.现在，我们可以进一步假设每个节点的初始感染概率相等，即在开始时，每个节点在经济和金融网络中都具有相同的被感染的概率β托里斯克依赖的中心性，并且是流行病开始的概率。这意味着我们要求（3.15）x0i=β=cn，i=1，对于一些标量常量c。在本例中，diag~1.- ~x个=1.-中国大陆I=（1- β） I.如果我们设置α=1- β、 网络上SI的近似解为：（3.16）~ y（t）=~ y+1- ααeαγtA- 我~1.自~ y=(-对数α）~1，（3.17）~y（t）=α- 1.eαγtA~1-对数α+1- αα~组件（eαγtA~1）称为节点i的总可通信性，它将用Ri表示。因此，组件方面我们有：（3.18）yi（t）=α- 1.国际扶轮社-对数α+1- αα.记住-对数α=yi（0）和α=1- β、 我们可以将前面的方程也写成（3.19）yi（t）=yi（t）- yi（0）=βα（Ri- 1） ，这意味着Ri- 时间t的1与节点i的信息含量从时间0到时间t的变化成正比。最后，节点i在时间t被感染的概率可以用Rias（3.20）xi（t）=1表示- (1 - β） e类-β1-β（Ri-1).当参数β固定时，受感染节点的数量仅取决于αγtA~1，然后取决于总通信能力Ri。

值得注意的是，3.20给出的节点i的概率表示SI模型精确解的上界。因此，通过这种方式，我们不会低估传染概率。例如，让我们考虑在具有100个节点且边缘密度δ=0.1的Erd"os Rnyi网络上感染传播的时间演化。图2显示了感染率的两个不同值，γ=0.001（左）和γ=0.002（右）。红色虚线表示节点在时间t感染的平均概率，如等式3.20所示。蓝色实线表示的概率与Kermack-McKendrickSI模型的精确解所给出的概率相同，平均度数相同。在这两个图中，初始概率为β=0.01.10 P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.ESTRADA（a）（b）。图2：在具有100个节点和边缘密度δ=0.1的Erd"os Rnyi网络上模拟SI流行病的发展。模型中使用的参数为：β=0.01和γ=0.001（左）和γ=0.002（右）。虚线（红色）代表3.20给出的上限；实线（蓝色）表示Kermack-McKendrickSI模型中相同概率的值，平均度数k=（n- 1)δ.4、风险依赖中心性。让我们指定ζ=αγt，它确定了整个网络在时间t提交到的风险级别。例如，对于γ=0，即ζ=0，网络上没有感染风险，因为节点不能将疾病传播到最近的邻居。这种情况对应于孤立节点（无边）的情况。当ζ→ ∞由于c的固定值的传染性是有限的，因此感染风险非常高。因此，我们称之为Ri=eζA~i节点i的风险依赖中心性。

也就是说，Rire的值反映了节点在网络上“发展”流行病方面的中心地位。由于所考虑的网络是无向的，这种中心性既考虑了节点感染的设施，也考虑了该节点感染其他节点的倾向。指数Rican表示为（4.1）Ri=I+ζA+ζA2！+ζA3！+···~i、 这表明它计算了在相应节点处开始的不同长度的行走次数，通过因子ζkk！进行加权！。从风险依赖中心性的定义可以很容易地认识到，它可以分为两种贡献。也就是说，Ri由从i开始和结束的所有闭式行走的加权和组成，eζAII和从节点i开始到其他地方结束的行走的加权和，Pj6=ieζAIJ经济和金融网络中的风险依赖中心11（4.2）Ri=eζAii+Xj6=ieζAij：=Ci+Ti，其中右侧的第一项表示疾病在给定节点周围的循环性，第二项表示疾病从给定节点到网络中任何其他节点的传播性。循环性非常重要，因为它解释了这种疾病成为地方病的方式。例如，一个节点的大循环性意味着该疾病可以感染其最近的邻居，并将以循环的方式反复传播。我们从证明这些风险相关中心性的一些结果开始。下面的定理是一个特例，例如在[11]中发现的结果。定理4.1。由风险相关中心度Ri（ζ）给出的节点排名，i=1，n、 降低至风险ζ极限中kiin的等级→ 0，由特征向量中心度给出的排名为ζ→ ∞.证据

我们首先观察到，如果所有的中心位置都以相同的数量移动和重新缩放，则节点在其风险依赖中心度方面的排名不会受到影响。也就是说，使用Rior或等效度量^Ri=Ri获得相同的排名- 1ζ，其中ζ>0。现在，我们有（4.3）^Ri=A+ζ2！A+···~i=ki+ζ2！（A～1）i+O（ζ）。因此，在ζ的限制范围内→ 0，Ri给出的排名与学位排名相同。为了研究ζ大的极限，我们写下（4.4）Ri=heζA ~ ii=nXk=1eζλk（ψTk ~ 1）ψk，i=eζλ（ψT ~ 1）ψ1，i+nXk=2eζλk（ψTk ~ 1）ψk，i。我们再次注意到，为了排名的目的，我们可以使用通过将所有风险相关中心度除以相同的数量eζλ（ψT ~ 1）得到的等效度量，这是严格正的。也就是说，我们可以使用（4.5）~Ri=ψ1，i+ψT~nXk=2eζ（λk-λ） （ψTk~1）ψk，i.由于网络是连通的，Perron–Frobenius定理确保λ>λ≥ ··· ≥λn。因此，每个项eζ（λk-λ） 对于k=2，n在ζ的极限内消失→ ∞, 从（4.5）中我们可以看到，对于ζlarge，风险相关的中心性度量给出了与特征向量中心性相同的排名。12 P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.ESTRADAIt有趣地发现，每个节点的风险依赖中心性也取决于（严格正）数量ψT~1=nXj=1ψ1，j，见方程（4.4）。该数量越大，每个节点的风险依赖中心度越高。假设主特征向量被归一化，使得欧几里德范数等于1，众所周知，该量始终介于1和√n、 对于连通图，永远无法获得值1。它只能在极限范围内接近，因为所有的IGenvector中心都集中在一个节点上，比如节点i，其中它的值取任意环1，所有j 6=i的值ψ1，j取任意小的值。n的星图就是一个例子→ ∞.

在所有节点具有相同特征向量中心性的情况下，可获得最大值：ψ1,1=ψ1,2=···=ψ1，n（即，在正则图的情况下）。让我们回到将阳极的风险依赖中心性分解为循环性和传递性这两个组成部分的分解Ri=Ci+TiO。类似的考虑也适用于这些数量。我们在下面的结果中总结了它们。定理4.2。当外部风险水平ζ分别降低至零或增加至完整性时，通过度Ki和特征向量中心度给出的节点排名可作为风险依赖循环性Ci（ζ）的极限情况。风险相关的可传递性Ti（ζ）也是如此。证据循环性的证明是对总体可传播性的直接改编；另见【11】。我们给出了透射率的详细信息，这是以前没有分析过的。对于i 6=j，我们有eζAij=ζAij+ζ2！w（2）i，j+O（ζ），其中w（2）i，jdenotes表示节点i和节点j之间长度为2的行走次数。除以ζ>0，对所有j 6=i求和，取极限为ζ→ 0，我们发现ζ-1Ti=ζ-1Xj6=ieζAij公司→Xj6=iAij=ki，其中我们使用了Aii=0这一事实，对于所有i。因此，在小ζ极限下，传递率等于节点度。对于较大的ζ极限，我们写下i=Xj6=inXk=1eζλkψk，iψk，j=eζλψ1，iXj6=iψ1，j+nXk=2eζλkXj6=iψk，iψk，j.除以正常数eζλPj6=iψ1，jand取极限为ζ→ ∞, 右侧的第二部分消失，我们再次得到特征向量中心度ψ1，iof nodei。我们记得星图snn由n组成- 1节点v，越南-1，每个节点通过边缘连接到中心节点VN。经济和金融网络中的风险依赖中心性13备注4.3。

一个自然的问题是度（对于ζ）的速度有多快→ 0）和特征向量（对于ζ→ ∞) 如果网络中的节点数n达到整数，则接近中心性限制。从泰勒展开式（例如，见等式4.3）中，我们可以看到，如果Agrow的行和为n，则degreelimit达到的速度较慢→ ∞. 在这种情况下，随着n的增加，在排名降低到度给定的排名之前，ζ必须越来越小。另一方面，如果网络的增长方式使任何节点的最大次数一致有界，则收敛速度与节点数n无关，至少是渐近的。特征向量中心度排序的收敛速度在很大程度上取决于光谱间隙λ- λ. 如果间隙保持在正常数n以下→ ∞,达到特征向量中心性极限所需的ζ值很容易在最接近O（ln n）的位置增长，实际上，收敛速度几乎不受网络大小的影响。另一方面，如果间隙闭合为n→ ∞, 然后，收敛到Igenvector中心的速度将变得任意缓慢。n的间隙闭合速度越快→ ∞, 收敛速度恶化得越快。在本节结束时，我们对度量Ri、cian和Ti进行了一些评论。虽然它们在小ζ限制和大ζ限制方面表现出相同的限制行为并提供相同的排名，但它们对网络结构（以及节点风险）提供了不同的见解。例如，众所周知，子图的中心性（与循环性相同，参见[32，29]）可以区分某些正则图的节点，即节点具有相同度的图。这同样适用于传递性。

另一方面，完全可通信性无法区分正则图的节点（当然，度和特征向量中心性也无法区分）。这些度量也不同于计算角度。基于总可传播性的风险中心性的一个优点是，它只需要计算矩阵指数eζa对向量1的作用。结果向量的条目可以有效计算，而无需计算eζA的任何条目，见【10】。现代Krylov型迭代方法（如基于Lanczos或Arnoldi过程的迭代方法）可以轻松处理具有数百万节点的大型网络。相反，循环性的计算需要明确计算eζA的对角线项（然后通过将循环性从总可通信性中细分来轻松获得节点的可传输性）。尽管有一些技术可以处理相当大的图形（见[9]），但这些计算比总可通信性的计算要昂贵得多。这限制了它们可以应用到的网络的大小。然而，对于大多数金融网络，循环率的计算仍然是可行的。最终考虑的是外部风险参数ζ假设的值。虽然原则上，它可以在0到1之间变化，但对于以下大多数应用程序而言，在0到1之间变化ζ可能是足够的。使用区间[0，1]的理由在于，在ζ=1时，Riare给出的排名已经稳定在特征向量中心性提供的排名周围，因此排名之间不可能有更多的交错。正如我们将要展示的，我们通常会观察到一个夹层点，并且通常在达到值ζ=1之前发生。