经济和金融网络中的风险依赖中心地位

此外，这一选择相当于流行病模型解3.17中的fix t=1，并且随着ζ接近1,14，P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.Estrada，该模型中涉及的所有概率都变得完全可以忽略或等于1.5。随机网络上的风险依赖中心性。对于现实世界（金融和经济）网络的分析，有必要调查所获得的结果与所分析的实际系统的信息量。这一意义通常通过与从网络空模型获得的属性进行比较来解决。作为此类完整模型，我们在这里考虑具有n个节点和布线概率p的Erd"os Rnyi（ER）随机网络ΓER（n，p）（参见[27，28]），在本节中，我们提供了一系列分析结果。我们首先生成一系列模拟ER图，并丢弃所获得的图不连通的模拟。特别是，我们旨在测试外部风险ζ和概率p，以及图密度。δ、 影响结果。为此，我们在不同的p值下生成了1000个n=100的图ΓER（n；p）。对于每个图，我们计算了ζ交替值的主要度量值。首先，我们在图3中报告了风险依赖的中心性指数、循环性指数和传递性指数的行为，假设外部风险水平固定，ζ=1。由于RIA的值随着图形密度的增加而显著增加，因此我们在图3（a）中显示了每个节点RIA的风险依赖中心度与其平均值E（Ri）之间的比率分布。正如所料，当δ→ 我们朝着完整的图形前进，即。

我们观察到比率分布的可变性较低。CIAN和Ti也观察到类似的行为，循环性波动性较高（见图3（b）和图3（c））。在图3（d）中，我们显示了风险依赖中心度Ri上循环性cio的发生率分布，即作为密度δ函数的推理增益分布。当ζ=1时，对于所有分析的图形，平均值约为N，这意味着透射率的平均关联度为N-1非Ri。值得注意的是观察分布的可变性。当密度极低时，即我们参考verysparse图，节点度的异质性会影响推理。例如，当δ=0.1时，一个节点的循环性大约在同一节点的风险依赖中心性的0.15%到2.5%之间。密度越高，变化越小。例如，当δ=0.5时，Raticarival介于0.6%和1.3%之间。对于δ=0.95，我们观察到比率在0.9%和1.15%之间。经济和金融网络中的风险依赖中心度15（a）（b）（c）（d）图3：图a）显示了每个节点风险依赖中心度Ri与平均风险依赖中心度E（Ri）之间的比率分布，假设ζ=1。图b）和c）显示了循环率和传递率的类似分布。图d）显示了假设ζ=1计算的每个节点Ri的循环性cian和风险相关中心性之间的比率分布。所有数据均基于1000个随机生成的ER网络ΓER（n；p），密度在0.1到0.9.16之间。p.BARTESAGHI、M.BENZI、G.p.CLEMENTE、R.GRASSI和E。

在图4中，我们显示了风险依赖中心度Ri、循环率Cian和传递率Tias密度函数的相应行为，但假设外部风险水平较低，ζ=0.1。同样，所有数字均基于1000个随机生成的ER网络ΓER（n；p），δ在0.1和0.9之间变化。关注风险依赖的中心度比率（Ri），我们观察到，低风险框架（ζ=0.1）中节点之间的标准偏差低于高风险框架（ζ=1）。例如，当密度等于0.1时，比率的标准偏差从0.20（ζ=0.1）变为0.37（ζ=1）。从现象学的角度来看，这种行为可以通过以下事实来证明：当网络高度风险暴露时，节点之间的差异往往会增强。此外，ζ=0.1时的IE（Ci）模式非常奇特。在这种情况下，当网络非常稀疏时，节点显示出类似的循环性，而当密度在0.5左右时，观察到更大的差异。经济和金融网络中的风险依赖中心度17（a）（b）（c）（d）图4：图a）、b）、c）和d）分别显示了在外部风险较低（ζ=0.1）的情况下计算的比率Ri、CiE（Ci）、TiE（Ti）和Cirire的分布。所有数据均基于1000个随机生成的ER网络ΓER（n；p），密度在0.1和0.9之间变化。最后，在图5中，我们将重点放在推理上，并将风险依赖中心度的循环发生率作为外部风险ζ的函数进行报告。在稀疏网络的情况下（图5（a）），当外部风险较低时，我们发现感染仍在较大的部分18 P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.Estradaci在节点周围循环，而只有较低比例的风险倾向于传递到其他节点。

这是因为，对于稀疏且ζ较小的矩阵，矩阵ζA=I+ζA+ζA+O（ζ）是强对角占优的。如前所述，当外部风险较高时，我们有一个循环性的平均发生率，即风险依赖中心。相反，当考虑非常密集的网络时，外部风险对推理的影响非常小。在这种情况下，当ζ增加时，CIAN和Ri平均以相同的速率增加。然而，对于ζ的极低值，铱的下降行为是显而易见的。（a） （b）图5：图中报告了每个节点Ri的循环性Cian和风险依赖中心度之间的比率分布，分别使用密度等于0.1（图a）和0.9（图b）的生成ERgraphs计算不同的ζ。这两个图都基于1000个随机生成的ER网络ΓER（n；p）。在下文中，我们提供了迄今为止观察到的行为的详尽证据。让我们从理性主义的高密度模式开始（见图3（d）、4（d）和5（b））。该比率的渐近行为可以解释为附录中定理a.1的结果，其中我们推导出了完整图的三个风险相关中心度量的闭合表达式。实际上，作为δ→ 1，ER网络接近一个完整的功，对于ζ增加，推理接近1/n，如a.1所示。尽管如此，这个结果还是可以推广的。事实上，对于denseenough的ER网络，以下属性适用于任何ζ。定理5.1。设ΓER（n；p）是一个具有n个节点和概率的Erd"os Rnyi随机图。如果图的边缘密度为δ>（对数n）/n和p（1- p） >（log n）/n，则对于经济和金融网络中的任何节点iRISK依赖中心性19（5.1）limn→∞nCiRi=1，与ζ无关。证据让我们像往常一样考虑λ>λ≥ ··· ≥ λ在连通图中。

在ER图中，已知光谱间隙（λ- λ)  事实上，正如【51】所证明的，limn→∞λnp=1，而λ和λngrow比limn慢→∞λnε=0和limn→∞λnnε=0，每ε>0.5。那么，如果np（1- p） >（logn），除最大特征值外，所有特征值都在区间Pnp（1）内具有高概率- p）[-2+o（1），+2+o（1）]（见[82]和[57]）。因此，（5.2）limn→∞CiRi=limn→∞ψ1，ieζλ+Pnk=2ψk，ieζλkψ1，i~ψT~eζλ+Pnk=2ψk，i~ψTk~eζλk=ψ1，iPnj=1ψ1，j。ER图的边密度是δ=p。在[26]中，证明了对于np>（log n），存在一个正常数C，使得以下不等式成立（5.3）~ψ-√n个~∞< C√nlog nlog（np）slog nnp，简单地说，这意味着当n→ ∞. 那是limn→∞√nψ1，对于每个节点i，i=1。因此，结果立即如下。值得指出的是，当ER网络的密度非常低时，相对于密度较大的ER网络，比率的标准偏差非常大（如图3（d）所示）。正如我们之前所证明的，这个比率对值n的收敛性-1仅当图形的密度相对较大时才放置。现在让我们分析当大型图的边密度非常小时会发生什么。在这种情况下，我们观察到，在[0，1]范围内，作为外部风险的函数，推理的衰减速度较慢（见图5（a））。这一事实可以很容易地证明如下。通常，该比率的分子和分母都可以表示为以下类型的有限系列：C（ζ）i=Q（ζ）=1+aζ+·····+akζk+···········································································································································。

ESTRADAwhere Ak计算从节点i开始和结束的长度为k的闭合走行数，Bk计算从i开始到任何节点j 6=i结束的长度为k的所有开放走行数。让我们考虑dζQ（ζ）Q（ζ）+L（ζ）=L（ζ）Q（ζ）- L（ζ）Q（ζ）[Q（ζ）+L（ζ）]=2abζ+···+2abkζk+1+···-b+2bζ+abζ+···+bakζk+···[Q（ζ）+L（ζ）]然后，对于某些ζ<1的情况，前面表达式的分子为负，这意味着比率（ζ）Ri（ζ）随ζ单调递减。例如，让我们对多项式Q（ζ）和H（ζ）进行二阶近似。然后，我们得到q（ζ）H（ζ）=1+ζki1+ζki+ζ（ki+P2，i），其中P2，iis是从节点i开始的长度为2（楔形）的路径数。在ER图中（ki）=（n- 1） p和E（P2，i）=（n- 1） p- （n）- 1） p.因此，Q（ζ）H（ζ）≈1+ζ（n- 1） p1+ζ（n- 1） p+ζ（n- 1） p=1+？kζ1+？kζ+？kζ，其中？k=（n- 1） p是平均度数。该有理函数的一阶导数为dζQ（ζ）H（ζ）=\'kζ-\'\'k“k”- 1.ζ+4？k2+2'kζ+'kζ,对于任何k都是负值≥ 1和0≤ ζ ≤ 1如图6所示。此外，该导数的绝对值随着'k的减小而增大，这意味着对于较低密度，函数ci（ζ）Ri（ζ）的衰减较慢。在本节结束时，我们想重点关注RIAN和CIAN两个主要中心性指标所产生的排名，以及它们之间的相似性。特别是，我们感兴趣的是确定不同的中心性指标是否提供类似的排名，或者针对何种类型的网络。为此，我们在表1中显示了不同图形密度和各种ζ值的风险依赖中心度Ria和循环性Cif之间的斯皮尔曼相关系数。平均而言，我们观察到两个中心性度量之间存在强的正单调依赖关系。正如所料，随着密度的增加，这两个度量趋向于完美单调性。

值得注意的是ζ的行为。在低风险框架（ζ=0.1）中观察到较高的依赖性，而在分析高风险环境时，轻微的减少是显而易见的，这再次提供了一个经验证据，证明节点之间的差异在压力条件下会增加。此外，经济和金融网络中的这种风险依赖中心性21-1001100-50比率的一阶导数0.505000-100-80-60-40-200图6：0≤ ζ ≤ 1和参数“k”≥ 1.结果与前面讨论的Cion Riasζ消失的较高发生率一致。为简洁起见，我们不报告RIA和Ti之间的斯皮尔曼相关性。然而，在所有情况下，系数都大于0.9999。表1:CIAN和Riin ER图之间的Spearman相关系数，在不同密度和不同ζ值下具有100个垂直度。密度0.1 0.3 0.5 0.7 0.90.1 0.9947 0.9967 0.9971 0.9994 0.9998ζ0.5 0.9844 0.9950 0.9966 0.9994 0.99981.0 0.9813 0.9950 0.9966 0.9994 0.99986。现实世界金融网络分析。在本节中，我们进行了一些实证研究，以评估拟议方法的有效性。我们考虑两种不同的网络。在第一个数据集中，我们收集了2001年1月至2017年12月期间的数据集每日收益，其中包括2017年底标普100指数的102只主要美国股票成分。数据已从彭博社下载。已使用每月阶梯式六个月窗口分割收益。这意味着第一个六个月宽样本窗口的数据用于构建22 P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.ESTRADA的第一个网络。

重复该过程，将窗口向前滚动一个月，直到数据集结束，总共获得199个网络。第一个网络表示为“1-2001”，涵盖2001年1月1日至2001年6月30日期间。后者（“7-2017”）涵盖2017年7月1日至2017年12月31日期间。因此，对于每个窗口，我们有一个网络Γt=（Vt，Et）（t=1，…，199），其中资产是节点和链接，通过计算每对资产的经验回报之间的相关系数ttρi，jb进行加权。请注意，资产的数量可以随时间变化。事实上，如上所述，我们已经考虑了2017年底标普100指数的102项资产构成。其中一些资产在某些特定时期内没有可用的信息。因此，在每个窗口中，我们只考虑其观测值足够大的资产，以确保对相关系数进行显著估计。然而，本文的目的不是处理替代估算方法的影响。因此，在这段时间内，199个网络中的节点数量从83个到102个不等。然后，我们遵循[65，72]中提出的方法，使用基于距离stdi，j:tdi，j=p2（1）的非线性变换-tρi，j）。距离矩阵Dt=[tdi，j]i，j∈Vt，含元素0≤tdi，j≤ 2，成为图Γt的加权邻接矩阵。如[72]所述，我们提取最小生成树Tt。这是一个简单的连接图，它用nt连接图的所有ntnodes-1条边，使得所有边权重的总和sptdi，j∈Tttdi，jis最小值。如【72】所示，这个最小生成树作为整个相关矩阵的强约简代表，承载着关于集合相关性的基本信息。

此外，节点中心性的研究和树随时间的演化分析是投资组合选择问题中的两个关键问题（见[72，75，77]）。据《福布斯》杂志报道，第二个数据集由1999年美国顶级企业网络组成。网络结构如下所示。首先，我们考虑一个两部分工作，其中一组节点由公司组成，另一组节点由此类公司的首席执行官（CEO）组成。由于一个首席执行官可以在多个公司任职，我们将此二部图投影到公司空间。这样，如果nodesrepresent公司和两个公司共享至少一个董事，它们就会通过一条边连接在一起。我们考虑该网络的两个版本，第一个版本使用两家公司共享的董事人数作为边缘权重，第二个版本使用第一个版本的二进制版本。我们将分别将其称为加权网络和二进制网络。该网络有824个节点，由814个节点组成的一个巨大组件组成。我们选择了giantcomponent及其二进制和加权邻接矩阵。有关此网络的全面描述，请参见，例如，[20]。通过计算总可通信性，研究了由这两个数据集导出的网络，ζ变化的每个节点的循环性和传递性（0，1）步骤0.01.6.1：资产网络。从资产树Tt开始，我们通过使用风险依赖的中心性RIA和测试不同的ζ值来衡量每个节点的相关性。我们在图7中考虑了每个资产的排名分布。通过根据interval（0，1），步骤0.01。

这些结果涉及第一个网络“1-2001”，即经济和金融网络中的风险依赖中心23，即基于2001年1月1日至2001年6月30日期间数据的网络。我们观察到，根据ζ的不同值，一些节点显示出显著的可变性。事实上，当ζ增加时，一些资产在排行榜上已经攀升了20多个位置。例如，亚马逊（图7中的节点7）分别在低风险和高风险情况下从66位移动到41位。反之亦然，Exelon Group（图7中的节点32）将其排名从15降低到46。另一方面，当外部风险非常高时，网络中最中心的节点仍然非常中心。事实上，对于ζ的不同值，前6名是相当稳定的。顶级资产只交换了一点点位置，保留了它们的核心作用。例如，联合技术公司（图7中的节点编号79）位于排名靠前的位置，与ζ无关。10 20 30 40 50 60 70 80资产编号01020304050607080排名位置图7：图报告了基于Ri的节点相对于ζ的排名分布。对于每个分布，结果集由计算的可选值ζ的Ric排名给出。结果涉及网络T，即第一个窗口1中的资产树- 2001年。如果我们考虑2007-2008年全球金融危机期间（见图9和图10），我们观察到排名的波动性有所增加。在冲击期间，节点的中心性更多地受到ζ值的影响。特别是，为了捕捉排名的波动性，我们在图8中报告了每种资产排名的标准偏差，计算结果为不同的ζ。在冲击期，结果证实了更高的平均波动率以及正偏态分布，因为更多的资产的排名受到ζ值的高度影响。