多做市商环境下的最优成交费

这些条件保证函数S（N）至少存在一个全局极大值。我们观察到，对于与第5节中相同的一组参数，函数S（N）对于N达到了它的upremum≈ 3，对应于通过HJB方程的解析，在数值上找到的最佳做市商数量。4.4.3关于重量的选择，数值实验表明，当N-→ +∞, 市场订单强度降低，平均买卖价差略有增加，其他参数固定。然而，美元的增加会降低平均最佳买卖价差以及平台的PnL，从而增加总订单流量并降低交易成本。回想一下，理论流量的增加与给予市场参与者的激励金额之间存在权衡。此外，做市商之间的竞争加剧，导致他们的保留效用增加，这对委托人来说是代价高昂的。回想一下，我们将聚合强度设计为代理引用的息差加权和的递减函数。实际上，到货订单的强度主要取决于最佳报价δ，即j∈ {a，b}，和t∈ [0，T）λj（δ：，jt，Qt）=A exp-kσc+$NXi=1δi，jt{δi，jt=δjt}+NXi=1KX`=1H `δi，jt{δi，jt∈K`}!≈ A经验值-kσc+δjt.假设G={i}，$=N。

定理4.3中的最佳引号变成，对于j∈ {a，b}j（Z？t，Qt）=σklogu（t，Qt-)u（t，Qt-iφ（j））+γilog1+σγ墨水！-Nc+ηlogkk+σηN1+ησNXi=1Nk+σγiN！！！。因此，当做市商的数量增加时，与本金所给予的激励相对应的最后一项消失为零，剩下的是，对于j∈ {a，b}j（Z？t，Qt）≈σklogu（t，Qt-)u（t，Qt-iφ（j））+γilog1+σγ墨水！。因此，当没有合约时，它会收敛到给定的价差形式，但具有不同的价值函数。4.4.4在激励量z？的形式上？，j、 j∈ 引理4.1中定义的{a，b}是做市商数量的递减函数。因此，委托人可以向代理人提供的激励数量有限。这可以被看作是一块蛋糕，它的大小增长速度比吃它的人的数量慢。因此，在统一激励和增加做市商数量的情况下，每个做市商减少价差的激励都较少。关于其他做市商的风险规避，增加一个风险规避较小的参与者增加数量z？，j、 j∈ {a，b}。这意味着增加一个风险不利程度较低的参与者，可以提高本金的能力，从而激励其降低平均利差，反之亦然。我们发现了过程Z？，a、 Z？，b、 Z？，由委托人确定，以便为每个做市商建立最佳合同。假设交易所事先为每个做市商的到达指令选择相同的激励是很自然的，因为在实践中，委托人可能不知道每个做市商的风险厌恶。当做市商同时处于最佳出价和最佳问价时，我们从[4，提案4.1]中恢复结果，即条款-日志u（t，Qt-)u（t，Qt-i1）和-日志u（t，Qt-)u（t，Qt-⊕i1）大致分别与Qit成比例-和-Qit公司-.

解释是一样的：交易所为做市商提供激励，使其库存不要太大。一个有趣的区别来自积分？，S、 irdSr公司。如【4】所述，它仍然被理解为风险分担术语。但是，每个Z？，S、 i是γi和其他风险规避γj的加权函数，j 6=i。实际上，当-做市商增加，Z？，S、 IDE锐化。当N的风险厌恶- 1其他做市商增加，Z？，S、 i增加，反之亦然。4.4.5买方成本政策-做市商同时是最佳出价和最佳出价，交易所可以确定如【4】所示的买方成本c的相关值。来自数值计算su（t，q）u（t，q⊕i1）u（t，qi1）≈ 1，对于所有（t，q）∈ [0，T]×ZN。因此，交易所可能会在实践中确定交易成本c，以便通过设置c，平均最佳价差接近一个刻度≈ -第2条-ηNlogk$k$+ση1+ησNXi=1k$+σγi+γiNlog1+σγik$！。当ση/k$和σγi/k$足够小时∈ {1，…，N}，这个方程减少了toc≈Nσk$-打上钩因此，我们找到了一个类似于N=1的公式，并注意到它是做市商数量的递减函数，其中$=N。由于σ和k可以在实践中使用市场数据进行估计，这是一个非常有用的经验法则来确定买方成本c。然而，如果没有一个做市商是最佳出价，另一个做市商是最佳问价，则近似值u（t，q）u（t，q⊕i1）u（t，qi1）≈ 1不再有效。

因此，交易所可以选择保持以前的经验法则，或者监控C（t，q）给出的与时间相关的买方成本≈-第2条-ηNlogu（t，q）u（t，qi1）u（t，q⊕j1）+日志k$k$+ση1+ησNXi=1k$+σγi!+γiNlog1+σγik$.我在哪里-经纪人是最好的提问者，而j-这是最好的出价。5几个市场制造商的存在的影响在本节中，我们将我们的结果与[4]中给出的结果进行比较。5.1一个市场是一个健全的检查，我们希望恢复[4]的结果。我们对参数采用相同的数值，即对于波动率σ=0.3刻度的资产，T=600s。s-1/2（除非另有规定）。市场订单根据第2节所述的强度到达，A=1.5s-1和k=0.3s-1/2. 我们有q=50，γ=0.01，η=1，c=0.5Tick和$=1。我们直接展示了我们模型的结果图1：1个做市商的总价差图2：1个做市商的订单流量图3：1个做市商的订单流量图4：1个做市商的交易所PnL图5：1个做市商的交易成本我们在图1至图5中恢复了在【4】中获得的结果。现在我们来看看案例N≥ 2.5.2两个做市商我们首先从N=2的平均价差开始，以$=。图标题中的括号表示代理人的风险规避。图6：N=2的总利差，[0.01，0.001]图7：N=2的总利差，[0.01，0.01]图8：N=2的总利差，[0.01，0.1]我们可以在图6、7和8中看到，与N=1的情况相比，总利差有所增加。如第4.4节所述，这是由于数量z？j、 j=a，b是N的递减函数。

因此，给予每个做市商的激励不如N=1的情况重要。除此之外，增加一个风险厌恶程度较高的做市商会减少总价差，反之亦然。与N=1的情况相比，这种价差导致总订单流量减少，见图9。为了简单起见，我们只给出了两个风险厌恶程度相同的做市商的结果。不同的风险规避参数也有类似的结果，但对于第二个风险规避参数较高的做市商，订单流量的减少并不重要，反之亦然。这也会对平台的交易成本和PnL产生影响，如图11、12所示。我们可以在图12中看到，由于订单流量减少和总差价增加的混合影响，交易成本增加，见图6、7和9。然而，我们看到交易所的PnL有所增加，这主要是因为每个代理的预订实用程序^yi：=k$σlogu（0，Q）我∈{1，…，N}的重要性低于N=1的情况。图9：N=2的总订单流量，[0.01，0.01]图10：N=2的订单流量，[0.01，0.01]图11：N=2的交易所PnL，[0.01，0.01]图12：N=2的交易成本，[0.01，0.01]5.3五个做市商这个案例旨在说明当我们再次增加做市商数量时会发生什么。抛开简单性不谈，我们仅举例说明做市商的风险规避参数等于0.01的情况。图13：N=5的总价差图14：N=5的总订单流量如预期，我们在图13中获得了更高的总价差，这意味着订单流量减少，见图14。然而，在图16中，与案例n=2相比，平台的PnL有所下降。

这意味着平台吸引有限数量的市场并非最佳选择。图15：N=5的订单流。图16：N=5的交易所PnL。图17：N=5的交易成本。图18：平台PnL随市场做市商数量的变化。我们用图18总结这些数值实验，图18显示了平台的PnL如何随着做市商数量的变化而变化。我们在此强调，重要的不是做市商加入市场的风险规避：这会影响平台的PnL，但不会影响图表的趋势。因此，我们将风险厌恶程度相同的做市商添加到0.01。在图18中，有两个不同的图。橙色的是$=和c，确定了买家成本。红色的是$=和c=Nσk-打上钩如前一节所述。我们可以看到，如果没有最优的做市商成本政策，该平台的最佳做市商数量是atN=2，其他参数是固定的。然而，在最优政策下，鼓励平台添加另一个做市商以增加其PnL。还值得注意的是，在这两种情况下，该平台最多可以加上4个做市商，并且其PnL仍高于N=1的情况。附录A。1任意i的动态规划原理∈ {1，…，N}，任意F-可预测停止时间τ取[0，T]中的值，任何可容许契约向量ξ∈ C、 任意2（N- 1)-尺寸F-可预测过程δ-i、 以δ为界∞, 对于所有δ∈ Ai（δ-i） ，我们定义了ξi，τ，δ，δ-i） ：=Eδiδ-iτ“- 经验值- γiZTτδau{δau=δauiδa，-iu}dNau+δbu{δbu=δbuiδb，-iu}dNbu+QiudSu+KX`=1Ω`δau{δau∈K`}dNau+δbu{δbu∈K`}dNbu!经验值- γiξi.我们还定义了家族Jiτ：=（Ji（ξi，τ，δ，δ-i） ）δ∈Ai（δ-i） 。i的延拓效用-做市商定义为viτ（ξi，δ-i） =ess supδ∈Ai（δ-i） Ji（ξi，τ，δ，δ-i） 。（A.1）引理A.1。

设τ为F-可预测的停止时间，其值为[t，t]。然后，存在一个非递减序列（δn）n∈Nin Ai（δ-i） 使得Viτ（ξi，δ-i） =limn→+∞Ji（ξi，τ，δn，δ-i） 。证据对于（δ，δ）∈ Ai（δ-i） ×Ai（δ-i） ，我们定义δ：=δ1{JiT（ξi，τ，δ，δ-（一）≥JiT（ξi，τ，δ，δ-i） }+δ{JiT（ξi，τ，δ，δ-（一）≤JiT（ξi，τ，δ，δ-i） }。我们有δ∈ Ai（δ-i） 通过定义δ，Ji（ξi，τ，δ，δ-（一）≥ 最大值Ji（ξi，τ，δ，δ-i） ，Ji（ξi，τ，δ，δ-（一）.因此，Jiτ是向上的，所需的结果来自【16，命题VI.I.I p121】。引理A.2。让t∈ [0，T]和τ是F-可预测的停车时间，值为[t，t]。ThenVit（ξi，δ-i） =ess supδi∈Ai（δ-i） Eδiiδ-it“- 经验值-γiZτtδa，iu{δi，au=δauiδa，-iu}dNau+δi，bu{δi，bu=δbuiδb，-iu}dNbu+QiudSu+KX`=1Ω`δi，au{δi，au∈K`}dNau+δi，bu{δi，bu∈K`}dNbu!Viτ（ξi，δ-i） #。证据让t∈ [0，T]和fix an F-可预测的停车时间τ，其值为[t，t]。为了简化旋转，我们定义了所有∈ [0，T]和δ∈ 支洞，T（δ）：=e-γiRTtδa，iu{δi，au=δau}dNau+δi，bu{δi，bu=δbu}dNbu+QiudSu+PK`=1ω`（δi，au{δi，au∈K`}dNau+δi，bu{δi，bu∈K`}dNbu）。首先，根据塔的性质，我们得到了thatVit（ξi，δ-i） =ess supδi∈Ai（δ-i） Eδiiδ-它- Dit，τ（δ）Eδiiδ-iτhDiτ，T（δ）exp- γiξi我.对于所有δ∈ A、 商lδTLδτ不依赖于时间τ之前δ的值。这是通过对积分的定义。ThenEδiiδ-iτhDiτ，T（δ）exp- γiξii=Eτ“-Lδiiδ-iTLδiiδ-iτDiτ，T（δ）exp- γiξi#≤ ess supδi∈Ai（δ-i） Eδiiδ-iτh- Diτ，T（δ）exp- γiξii=Viτ（ξi，δ-i） 。因此，我们得到了thatVit（ξi，δ-（一）≤ ess supδi∈Ai（δ-i） Eδiiδ-第i条- Viτ（ξi，δ-i） 我们接下来证明了逆不等式。设δi∈ Ai（δ-i） 和δi∈ Ai（δ-i） 。我们定义（δiτδi）u：=δiu{0≤u≤τ} +δiu{τ<u≤T}。

（A.2）那么，δiτδi可预测为两个可预测过程之和，δiτδi∈ Ai（δ-i） andVit（ξi，δ-（一）≥ E（δiτδi）iδ-第i条- Diτ，T（δ）Dit，τ（δ）exp- γiξii=E（δiτδi）iδ-它E（δiτδi）iδ-iτh- Diτ，T（δ）exp(-γiξi）iDit，τ（δ）.使用Bayes公式，并注意到l（δiτδi）iδ-iTL（δiτδi）iδ-iτ=Lδiiδ-iTLδiiδ-iτ，我们有（δiτδi）iδ-iτh- Diτ，T（δ）exp- γiξii=Eτ“-Lδiiδ-iTLδiiδ-iτDiτ，T（δ）exp(-γiξi）#=JiT（ξi，τ，δi，δ-i） 。因此我们有vit（ξi，δ-（一）≥ E（δiτδi）iδ-ithDit，τ（δ）JiT（ξi，τ，δi，δ-i） i.因此，我们可以使用Bayes公式和L（δiτδi）iδ-iτL（δiτδi）iδ-it=Lδiiδ-iτLδiiδ-itto最终获得Vit（ξi，δ-（一）≥ = Et公司Eτ“L（δiτδi）iδ-iTL（δiτδi）iδ-iτL（δiτδi）iδ-iτL（δiτδi）iδ-itDit，τ（δ）JiT（ξi，τ，δi，δ-（一）#= Eδiiδ-ithDit，τ（δ）JiT（ξi，τ，δi，δ-i） i.由于之前的不等式适用于所有δi∈ Ai（δ-i） 我们从单调收敛定理和引理A.1推导出存在一个序列（δn）n∈Ai中的Nof控制（δ-i） suchthatVit（ξi，δ-（一）≥ 画→+∞Eδiiδ-ithDit，τ（δ）JiT（ξi，τ，δn，δ-i） i=Eδiiδ-ithDit，τ（δ）Viτ（ξi，δ-i） 我，从而得出结论。A、 2定理3.7的证明我们从一个关于i的延拓效用的可积性的引理开始-代理商定义（A.1）。引理A.3。对于所有δ∈ A和所有我∈ {1，…，N}，过程Vi（ξi，δ-i） 是负数，对于特定 > 0，我们有δ“supt∈[0，T]Vit（ξi，δ-（一）1+#< +∞, Eδ“sup（s，t）∈[0，T]Dis，t（δ）1+#< +∞.证据允许 > 0和δ∈ A、 由于δi的一致有界性∈ Ai（δ-i） ，我们有lδiiδ-iTLδiiδ-它≥ αt，t：=e-kσ（c+δ∞（1+H））（NaT-Nat+NbT-Nbt）-2Ae-kcσ（ekσ（δ∞（1+H））+1）（T-t）≥ α0，T，（A.3），H：=最大值`=1，。。。，KH`。我们有-Vit（ξi，δ-i） =ess infδ∈Ai（δ-i） Eδiiδ-it“exp- γiZTtδau{δau=δauiδa，-iu}dNau+δbu{δbu=δbuiδb，-iu}dNbu+QiudSu+KX`=1Ω`δau{δau∈K`}dNau+δbu{δbu∈K`}dNbu!经验值- γiξi#≤ Eδiiδ-it“eγiδ∞（1+Kω）（NaT+NbT）-RTtQiudSu经验值- γiξi#,带δiiδ-我∈ A.

我们使用了NjT- 新泽西州≤ NJT针对j∈ {a，b}尽管我∈ {1，…，N}，j∈{a，b}，t∈ [0，T]，经验值- γiZTtδju{δau=δjuiδj，-iu}dNju！≤ 经验值γiδ∞新泽西州.此外，由于qi一致有界于q，因此对于所有L>0Eδiiδ-它e-LRTtQiudSu公司≤ eLqσT。因此，使用Holder不等式，我们得到-Vit（ξi，δ-（一）≤ Eδiiδ-it“eγiδ∞（1+Kω）（NaT+NbT）-ξi#Eδiiδ-it“exp- (1 + )γiZTtQiudSu#1+≤ Eδiiδ-it“eγiδ∞（1+Kω）（NaT+NbT）-ξi#e（1+)γiqσT。那么，我们有δiiδ-i“支持∈[0，T]- Vit（ξi，δ-（一）1+#≤ e（1+)γiqσTEδiiδ-i“支持∈[0，T]Eδiiδ-it“eγiδ∞（1+Kω）（NaT+NbT）-ξi#1+#,条件期望中的项是可积的，与t无关∈ [0，T]因此byDoob不等式，我们有eδiiδ-i“支持∈[0，T]- Vit（ξi，δ-（一）1+#≤ Ce（1+)γiqσTEδiiδ-i“eγiδ∞（1+Kω）（NaT+NbT）-ξi#,拿 > 1以及条件（2.8），例如。式中，C>0且γi=γi（1+). 由于H"older不等式，以及点过程强度的有界性Ni，j，对于i∈ {1，…，N}，和j∈ {a，b}，和条件（2.8），右侧由一个独立于t的项从上方限定∈ [0，T]。结论如下。使用相同的参数，我们得到了eδ“sup（s，t）∈[0，T]（Dis，T（δ））1+#≤ CEδ“eγiδ∞（1+Kω）（NaT+NbT）+qγiσT#< +∞其中C>0，使用i的点过程强度的有界性∈ {1，…，N}。使用霍尔德不等式得出结论。我们为大家介绍我∈ {1，…，N}，和所有δ∈ Ai（δ-i） 过程uδiδ-it：=Vit（ξi，δ-i） Di0，t（δiiδ-i） ，t∈ [0，T]，由于引理A.3，它属于（D）类。步骤1：让ξ∈ C是可接受的合同。根据定义，存在纳什均衡^δ（ξ）∈ A、 利用引理A.2的动态规划原理，对所有δi∈ Ai（δ）-i（ξ）），过程Uδii^δ-i（ξ）定义了Pδii^δ-i（ξ）-超级马丁格尔。

我们现在检查过程U^δ（ξ）是一致可积的p^δ（ξ）-鞅。根据定义2.7，控制^δi（ξ）对于-在VIMM意义上的做市商ξi，^δ-i（ξ）=E^δ（ξ）“Uiξi+Xj∈{a，b}ZTδi，jt（ξ）{δi，jt（ξ）=δjt（ξ）}+KX`=1ZTω`{δi，jt（ξ）∈K`}！dNjt+ZTQitdSt！#。因此，对于任何F-可预测停止时间τ取[0，T]中的值，应用supermartingale属性将导致Vimmξi，^δ-i（ξ）≥ E^δ（ξ）Di0，τ^δ(ξ)Viτξi，^δ-i（ξ）≥ E^δ（ξ）“Uiξi+Xj∈{a，b}ZTδi，jt（ξ）{δi，jt（ξ）=δjt（ξ）}+KX`=1ZTω`{δi，jt（ξ）∈K`}！dNjt+ZTQitdSt！#=ViMM公司ξi，^δ-i（ξ）.因此，所有这些不等式都是等式，这证明了，由于过滤是右连续的，（U^δ（ξ）t）t∈[0，T]是P^δ（ξ）-鞅，因此对于任何t∈ [0，T]U^δ（ξ）T=E^δ（ξ）T“Uiξi+Xj∈{a，b}ZTδi，jt（ξ）{δi，jt（ξ）=δjt（ξ）}+KX`=1ZTω`{δi，jt（ξ）∈K`}！dNjt+ZTQitdSt！#。利用引理A.3，我们得出结论：U^δ（ξ）是一致可积的P^δ（ξ）-鞅。由于filtrationf是右连续的，我们推断U^δ（ξ）有一个c^dlág P^δ（ξ）-修改。由于这里所有的概率测度都是等价的，我们可以假设U^δ（ξ）实际上有c^dl圪g路径。