多做市商环境下的最优成交费

此外，给定系数的可积性条件，过程Yy，Z，^δ^δ∈Oare定义良好，且e-γiYi是Pδ下的一致可积过程，对于每个δ∈ A、 而我∈{1，…，N}。链接可容许向量契约ξ∈ C对于（3.3）中定义的流程，我们定义了以下集合。定义3.6。我们将Ξ定义为随机变量集Yy，Z，^δTwhere（y，Z，^δ）范围为RN×Z×O，并且-γiyi≥ Rifor any i公司∈ {1，…，N}。因为通过定义，所有有界可预测过程都包含在Z中，所以它显然是非空的。为了证明这些集合的相等性，我们将问题归结为表示某些（y，Z）的任何合同ξias Yi，y，Z，^δt的问题∈ RN×Z和一些^δ∈ O、 按照[17]的方法，我们推导出做市商效用函数的动态规划原则，然后通过确定系数来证明这些集合的相等性。3.2合同表示以下定理为做市商问题提供了解决方案，并对可接受合同集进行了完整描述。定理3.7。任何合同向量ξ=Yy，Z，^δTwith（y，Z，^δ）∈ RN×Z×O导致代理的唯一纳什均衡，如下所示^δ（Zt，Qt）t型∈[0，T]。相反，任何可接受的合同ξ∈ 对于某些（y，Z），C的形式为ξ=Yy，Z，^δt∈ RN×Z和acertain^δ∈ O、 在下一个推论中，我们将自己限制在可接受契约的子集上，在该子集下，每个代理都至少拥有自己的保留效用，并且我们可以明确得出他们的最佳响应。为此，我们引入以下集合：=Yy，Z，^δT：（^δ，y，Z）∈O×RN×Z，s.t.适用于所有（i、j、k）∈{1，…，N}×{a，b}，e-γiyi≥Ri，Zi，j，k=：Zk.子集Ξ的主要兴趣是以下结果。引理3.8。假设，对于（z，q）∈ RN×ZN，我们有zi，`，j=zjfor all（i，`）∈ {1，…，N}和j∈ {a，b}。

我们定义Γi，j（z）：=-zj+γilog1+σγik$！，z∈ 注册护士。此类条件用于明确提供推论3.9中代理的最佳响应。定理3.7证明，这种契约至少产生一个均衡。我们还介绍了函数 : RN×ZN-→ MN，2（R）定义人，对于i∈ {1，…，N}，j∈ {a，b}，（z，q）∈ RN×ZNi、 j（z，q）：=(-δ∞) ∨ Γi，j（z）∧ δ∞, 如果Γi，j（z）<，j（z），-q<q<q，对于所有\'6=i(-δ∞) ∨ω\'Γi，j（z）∧ δ∞, 如果ω\'Γi，j（z）∈ K`，-q<q<q，用于`∈ {1，…，K}，0，否则。（3.4）然后，将O（z，q）减少至单吨（z，q）o。证明见附录，并根据哈密顿量（3.1）的标准计算得出。特别地，它导致了（3.1）的最大化子的存在性和唯一性。现在，我们可以以所宣布的推论作为结论。推论3.9。对于任何可接受的合同Yy，Z，^δT∈ Ξ在委托人的影响下，存在一个唯一的平衡，由（Zt、Qt）t型∈[0，T]，其中 定义见（3.4）。这一结果表明，在最佳情况下，每个做市商的效用函数对应于其保留效用，也就是说，N个代理接受其合同的数量。此外，它使我们能够明确描述做市商问题的唯一纳什均衡。We在本节末尾对可接受合同的形式发表一些评论（3.5）。3.3关于补偿形状的建议和可收缩变量。在本节中，我们想强调对由（y，Z，^δ）控制的“平滑”合同ξ=（ξ，…，ξN）>的类Ξ和Ξ的一些解释∈ RN×Z×O，其形式为ξi=yi+NXj=1ZTZi，j，ardNj，ar+Zi，j，brdNj，br+ZS，irdSr+γiσ（ZS，ir+Qir）- 你好^δ-i（Zr，Qr），Zir，Qr!dr.注意，这些合同根据交易数量和资产的有效价格编制索引。

该平台观察到做市商的利差，但并非可收缩变量，因为依赖做市商的合约在实践中是不现实的，见【4】。从数学上讲，允许合约依赖价差将对应一个最佳问题。为完整起见，我们计算了附录A.7中第一个最佳问题的解决方案，并表明其与此处考虑的问题不同交易所对补偿Yi进行校准，以确保在i的水平Rio内保留效用约束-对于做市商，我们参考第4节了解更多详情termRTZS，Irdsr是向做市商提供的与效率价格有关的补偿术语SRTZI、j、ardNj、ar、andRTZi、j、brdNj、BRA表示对-第j个做市商在询价方或报价方进行的交易数量termRTHi公司^δ-i（Zr，Qr），Zir，Qrdr是i-由他的最大化问题引起的代理。委托人预计代理人将从他的最大化战略中获利。因此，他从代理人的工资中扣除相应的金额。这就是为什么该术语在补偿ξi中出现负号的原因。o术语rtγiσ（ZS，ir+Qir）dr是一种补偿，用于平衡代理人对有效价格和存货的风险规避。从表示的角度来看，子集Ξ意味着我们对-做市商仅在总订单上处理Na和Nb，以及有效价格S。此外，我们将自己限制在可接受合同的子集，其中每个代理的投标和任务到达订单的激励是相等的。因此，我们不会先验地将一个市场制造商与另一个市场制造商进行比较。

然而，在市场风险部分，即itdSt，进行了区分∈ {1，…，N}。该假设有效期至本文结束（附录除外）。实际上-代理人仅是其自身库存流程、总订单流量和有效价格的函数。从实践的角度来看，这似乎是合理的，因为这意味着平台不需要监控交叉激励Zi，j，aor Zi，j，bfor j 6=i，这在实践中是很难做到的。除此之外，交易所对受市场接受者发出的市场指令驱动的部分代理给予同样的激励，但在由做市商调整报价的有效价格驱动的部分，可以区分风险规避参数。从技术角度来看，这种简化能够获得哈密顿量的执行点的显式公式，而在一般框架中并非如此。我们还将在下一节中看到，这一限制极大地简化了计算，以明确得出委托人向每个做市商提供的最佳激励。4解决校长的问题∈ {1，…，N}，^yi：=-γilog(-Ri）。根据定理3.7和推论3.9，当交换问题（2.11）仅限于Ξ中的合同时，它就归结为控制问题eve：=supy≥^ysupZ∈ZE公司（Z，Q）- 经验值- ηc（NaT+NbT）- Yy，Z，（Z，Q）T·1N.

（4.1）推论3.9作为控制过程Z的函数，提供了药剂的最佳反应∈ 委托人的Z。给出这样的响应，交换解（2.11），其中ξ∈ Ξ，分两步进行o由于效用函数的形式，关于Y的优化确保满足代理的reservationutility约束。o关于Z的优化∈ Z是通过求解与重新表述的控制问题相关的经典Hamilton–Jacobi–Bellman方程来完成的。它对应于S上的激励指数和第i个做市商的库存过程之和的二次变化，与S进行积分，并通过其风险规避进行加权。在本节中，^δ是来自推论3.9的代理问题的唯一纳什均衡。本节以验证论点结尾，以确保价值函数与（2.11）一致，并对做市商之间的政策转换和结果的物理解释发表了一些评论。4.1效用约束饱和注意，推论3.9中做市商的最优响应不依赖于y。委托人PnL的指数线性框架能够直接说明该目标函数在y的所有坐标中都明显下降，这意味着参与约束下的最大化在^yeVE=eηy·1NsupZ时实现∈ZE公司（Z，Q）”- 经验值- ηc（NaT+NbT）- Yy，Z，（Z，Q）T·1N#.因此，我们剩下一个关于Z的最大化问题∈ Z、 这就是一个标准的随机控制问题，状态变量为Q，Na，nb和Yy，Z，（Z，Q）。4.2约化交换问题的HJB方程我们在本节中研究与随机控制问题ve=supZ对应的HJB方程∈ZE公司（Z，Q）- 经验值- ηc（NaT+NbT）- Yy，Z，（Z，Q）T·1N.

（4.2）为了简单起见，我们定义了任何映射v:[0，T]×ZN-→ (-∞, 0），任意x∈ R、 安义县∈ {1，…，N}，和任意（t，q）∈ [0，T]×ZNv（T，q⊕ix）：=v（t，q，…，qi-1，qi+x，qi+1，qN），v（t，qix）：=v（t，q，…，qi-1，qi-x、 qi+1，qN）。我们还确定了映射V+（t，q）：=v（t，q⊕i1）i=1，。。。，N、 和V-（t，q）：=v（t，qi1）i=1，。。。，N、 对于（t，q）∈ [0，T]×ZN，以及设置Q：={-qq} 。与（4.2）相关的HJB方程为tv（t，q）+Hq、 V+（t，q），V-（t，q），v（t，q）= 0，（t，q）∈ [0，T）×QN，v（T，q）=-1，q∈ QN，（4.3），其中Hq、 p、m、v:= HS公司q、 五+ 血红蛋白q、 p，v+ 哈q、 m，v, with，for any（q，p，`）∈ QN×RN×{a，b}HSq、 五= SUPZ公司∈RNvNXi=1ησγizS，i+qi+ησkzSk！，H类`q、 p，v= supz公司`∈RNXi=1λi`:,`（z，q），qeη（新西兰`-c） pi- vL`（z，q）,其中`（z，q）:=1+ηNXi=1γ-1i1-经验值-γiz+i、 `（z，q）1{i、 `（z，q）=i（z，q）}+KXj=1ωji、 `（z，q）1{i、 `（z，q）∈Kj}！！！。我们现在提供与（4.3）的解决方案相对应的最佳激励。引理4.1。假设δ∞足够大，以便验证引理A.5的条件。对于任何（t，q），给出了PDE（4.3）中出现的上确界中的最优值∈ [0，T]×QN，byz？，a（t，q）：=Nc+ηlogv（t，q）Pi∈Gv（t，qi1）+ηlogk$k$+ση卡（G）1+ησNXi=1k$+σγi！！,zb（t，q）：=Nc+ηlogv（t，q）Pi∈Gv（t，q⊕i1）+ηlogk$k$+ση卡（G）1+ησNXi=1k$+σγi！！,zS、 i（q）：=-NXj=1ui，jγjqj，我∈ {1，…，N}，其中为所有（i，j）∈ {1，…，N}ui，j：=-ηκYk∈{1，…，N}\\{i，j}γk，如果i 6=j，ui，i：=κYj公司∈{1，…，N}\\{i}γj+ηXj∈{1，…，N}\\{i}Yk∈{1，…，N}\\{i，j}γk,带κ-1： =NYi=1γi+ηNXj=1Yk∈{1，…，N}\\{j}γk和G：=我∈ {1，…，N}：γi=maxj∈{1，…，N}γj.优化器z？，A和z？，只显示时间函数和代理的库存。

此外，它们非常相似，与最优激励z？具有共同的性质？，a、 z呢？，b对于[4]中的单个做市商案例：例如，对于小库存，它们是风险规避参数γi的递减函数。然而，对做市商数量及其风险规避的依赖性由术语ηlogk$k$+σηCard（G）1+ησNXi=1k$+σγi！！表示！！。这是N和$的递增函数，这意味着当我们增加做市商和$的数量时，这一术语会减少平均价差。还请注意，最佳z？，SDE依赖于所有风险规避和代理人库存过程的加权组合。第5节对此进行了详细讨论，我们还将在其中介绍我们的数值结果。4.3变量变化和验证理论取代引理4.1给出的最优解，PDE（4.3）归结为tv（t，q）+v（t，q）CS（q）- v（t，q）CXj∈{a，b}v（t，q）Pi∈Gv（t，qiφ（j））1{φ（j）qi>-q} 哦！k$∑η=0，（t，q）∈ [0，T）×QN，v（T，q）=-1，q∈ QN，（4.4）其中，我们定义C：=经验-kσc1.- $-$ηlogk$k$+ησ卡G1+ησNXi=1k$+σγi！！+$NXi=1γ-1ilog1+σγik$！！！σηk$+ση1+ησNXi=1k$+σγi！，CS（q）：=NXi=1ησγ像质计-NXj=1ui，jγjqj+ησNXi=1NXj=1ui，jγjqj！。引理4.2。（4.4）存在唯一的有界解，也是负的。（4.4）的解将使用下一节中的验证参数链接到值函数（4.2）。请注意，如果代理具有不同的风险规避参数，则一个做市商同时是bestbid和best ask。事实上，当做市商在某个时间同时是单一的最佳出价和最佳出价时，t∈ [0，T），HJB方程简化为以下线性PDE0=tu公司- u（t，q）~CS（q）+~Cu（t，q）⊕i1）1{qi<q}+▄Cu（t，qi1）1{qi>-q} ，其中u：=(-五）-k$∑η、~CS（q）：=（k$）/（ση）CS（q）和~C：=（k$）/（ση）C。

由于其他存货在-做市商报价时，我们得到了一个类似于[4]中的三对角矩阵，由qi索引∈ Q、 我们强调，这种形式仅在固定时间t有效。我们得出以下验证定理，这导致交易所向每个做市商提出的唯一最优合同的描述。定理4.3。假设δ∞≥ ∞, 如引理A.5所定义，设v为引理4.2给出的（4.4）的唯一解。那么，对于任何我∈ {1，…，N}，i-试剂由ξ？给出？，i： =^yi+ZTZ？，ardNar+Z？，brdNbr+Z？，S、 irdSr+σγi（Z？，S，ir+Qir）- 你好（Z？r，Qr），Z？r、 Qr码!dr，（4.5）其中任何r∈ [0，T]，Z？，Sr：=z？，S（r，Qr-), Zar：=z*a（r，Qr-), Zbr=z？，b（r，Qr-), 我们注意到Z？r:=Zar，Z？，br，Z？，Sr公司. 此外，最优平衡由下式给出（Z？r，Qr）r∈[0，T]，见推论3.9.4.4讨论4.4.1转换政策我们想在交易期开始时确定哪个做市商是最好的做市商。Forany（i，j）∈ {1，…，N}这样i 6=j，i-做市商在泰晤士报有最好的询价∈ [0，T]当且仅当- Zat+γilog1+σγik$！<-Z在+γjlog1+σγjk$！。从γilog开始1+σγik$是γi的递减函数，我们得出以下结论：-当且仅当γi=maxj时，市场制造商排名第一∈{1，…，N}γj，我们有v（t，Qt）Pj∈Gv（t，Qtj1）！k$∑η=v（t，Qt）v（t，Qti1）！千美元∑η。我们现在确定ask端的两个代理何时进行切换。N- 1其他markermakers（回想一下，j 6=i）将把他们的报价放在[0，δ]的公开封面中∞]. 假设i、 a（Z？t，Qt）∈ Ku，对于一些u∈ {1，…，K}。

然后i、 a（Z？t，Qt）>j、 a（Z？t，Qt）<==> -Zat+γilog1+σγik$！>ωu- Z在+γjlog1+σγjk$！！，（4.6）可重写为logu（t，Qt-)u（t，Qt-i1）！>k$σlogk$k$+ση1+ησNXi=1k$+σγi！！+c+kN$ωu（ωu- 1） σγilog1+σγik$+kN$σγj（ωu- 1） log1+σγjk$！。不等式的右侧是$的递增函数和ωuan的递减函数以及波动率σ。这些结果对于投标方来说是完全对称的。下面，前面的方程式表明，当第i个做市商持有充足的负库存时，做市商之间会发生转换。这是因为他愿意吸引投标订单，意味着将库存恢复到零。因此，他建议在出价方降低价差，在询价方提高价差，以阻止询价订单。对称结论对投标方有效。4.4.2关于做市商的数量由于价值函数v通过CS（q）和C隐式地取决于做市商的数量，我们无法直接将其最大化到N。然而，通过使用其他假设并在渐近设置下工作，我们在本节中表明，做市商的最佳数量是有限的。第5节将给出N的数值计算。我们使用N作为下标，以强调函数对做市商数量的依赖性。让我们定义n（0，Q）=c（NaT+NbT）- Yy，Z？，（Z？，Q）T·1N。当做市商的库存均值恢复为零时，研究Qt=0时vn（t，Qt）的行为是合理的。

在这种情况下，记录v（t，q）PNi=1v（t，qi1）= 日志v（t，q）PNi=1v（t，q⊕i1）≈ 0和Z？，jt=Qt→0Nc+ηlogk$k$+σηN1+ησNXi=1k$+σγi！！！，j∈ {a，b}。通过接受期望，我们获得（Z？，0）hvN（0，Q）i=E（Z？，0）“ZT- BN公司λaNa（Z？t，0），0+ λbNb（Z？t，0），0+ WN（Z？t）dt#。其中bn=ηlogk$k$+σηN1+ησNXi=1k$+σγi！！，WN（Z？t）=NXi=1欣(（Z？t，0）-^yiT.为了简单起见，假设所有风险规避参数γi的大小相同（即γi=γ，对于所有i），因此nxi=1HiN（Z？t，0），Z？t、 0个=Xj=a，bNσk$+σγλjNj（Z？t，0），0,BN=ηlogk$k$+σηN1+Nησk$+σγ！！，λjNj（Z？t，0），0= A经验值-kσc（1- $) - $-Nγlog1+σγk$+ηlogk$k$+σηN1+Nησk$+σγ！！！！！。我们看到λjNj（Z？t，0），0→N→+∞0.这意味着，平均而言，具有可比风险规避能力的做市商数量过多，将降低市场上可用的流动性，从而降低平台的收益。最后，确定做市商的（相同）保留效用为^yi=k$σlogwN（0，Q）, 其中，wn（0，Q）是做市商的价值函数，当ξ=0且每个代理人具有相同的风险规避参数时。我们得到了wn（Z？t）=Nσk$+σγXj=a，bλjNj（Z？t，0），0-k$σηlogwN（0，Q）!.由于当T足够大时，最优做市商解具有平稳行为，因此我们使用关于TwN（T，Qt）的泰勒展开近似值函数wn≈ 1+2^CN（T- t） ，其中^CN≈ 2σk$+σγA经验值-kσ（c+$Nγ对数（1+σγk$）. 因此，我们得到了wn（Z？）≈ 2Aσk$+σγN exp-kσc+$Nγ对数（1+σγk$）×经验值k$σc+ηlogk$k$+σηN1+Nησk$+σγ！！-千美元ση.我们最终设置（N）=WN（Z？）- 2λaNa（Z？，0），0BN。这个函数对于N是可微的，我们得到S（0）>0。通过降低指数，limN→+∞S（N）=0。此外，由于计算简单但繁琐，我们得到了Limn→0+S（N）N> 0。