多做市商环境下的最优成交费

由于我们稍后将推导的最优合约自然会导致有界利差，这实际上不会失去一般性，前提是选择的边界足够大。作为一个直接的结果，强度为λ（0）的Na和Nbare Poisson过程换句话说，Pis只是OhmC上的唯一度量值Ohm2ndt使那里的正则过程变成具有规定强度的齐次泊松过程。δ的规定值见引理A.5∞.做市商管理价差和库存流程。对于i-第三个代理，即以Ni、b为代表的已完成的BIDDORDER，将其库存增加一个单位，反之，对于ask订单。它导致对做市商库存流程的以下定义：=Ni，bt- 镍、at、t∈ [0，T]，i∈ {1，…，N}。备注2.3。给定强度的形式（2.1），i-只有当经纪人报价的价差为δi，b=δb，或δi，a=δa时，他才会看到自己的库存发生变化。这种报价分别称为最佳出价价差和最佳要价价差。（2.1）中定义的术语q是一个关键的绝对库存，对于每个代理都是相同的。假设i-做市商在出价方超过此阈值，则λi，b（δ，q）=0，他只能收到订单，要求将其库存减少到q.2.1.3概率度量的变化根据我们的技术假设，我们为任何δ∈ 一种新的概率测度Pδ(Ohm, F） 式中，S遵循（2.2）和▄Nδ，i，at：=Ni，at-Ztλi，a（δar，Qt）dr，~Nδ，i，bt：=Ni，bt-Ztλi，b（δbr，Qt）dr，t∈ [0，T]，i∈ {1，…，N}，（2.4）是鞅。该概率度量由相应的Doléans Dade指数δt=exp定义NXi=1Xj∈{a，b}Ztlogλi，j（δjr，Qr）a！dNi，jr-Zt公司λi，j（δjr，Qr）- A.博士, （2.5）其中Q：=（Q，…，QN）>。

通过直接应用It^o公式，以及δa和δb的一致有界性，该局部鞅满足了[18]中给出的Novikov型准则，因此是一个鞅。备注2.4。通过定义，补偿聚合点过程Nδ，at：=Nat-Ztλ（δar）dr，~Nδ，bt：=Nbt-Ztλ（δbr）dr，t∈ [0，T]也是Pδ下的鞅。因此，我们可以用dPδdP=LδT来定义测量的Girsanov变化（参见示例[12，TheoremIII.3.1]）。特别是，所有概率测度Pδ都由δ索引∈ A是等效的。注释A。s、 几乎可以肯定的是，可以毫无歧义地使用。在整篇文章中，我们在概率测度Pδ下写出了关于f的条件期望的Eδt。因此，i-做市商由点过程（Ni，at）t表示∈[0，T]（分别为Ni，bt）T∈强度（λi，a（δat）T）的[0，T]）∈[0，T]（分别为λi，b（δat）T∈[0，T]），而ask（resp.bid）市场订单的总到达量由点过程（Nat）T表示∈[0，T]（分别为Nbt）T∈强度（λ（δat）T）的[0，T]）∈[0，T]（分别为λ（δbt）T∈[0，T]）。2.1.4解释首先，我们对（2.1）中强度的形状进行了评论。购买（或出售）市场订单到达的强度取决于市场接受者支付的每笔交易相对于有效价格的额外成本。该额外成本是当前以最佳出价（或最佳ask）交易的做市商施加的价差δb（或δa）与交易所收集的交易成本c>0之和。此外，根据经典金融经济学的结果，单位时间内的平均交易次数是利差与波动率之间比率的递减函数（见[3]、[13]、[19]）。订单到达的强度还取决于市场流动性，即所有市场参与者所报的价差。

因此，i-做市商的权重为常数H`、`∈ {1，…，K}。稍后将选择该常数。目前，请注意它是`的递减函数。因此，较小的排列对应较高的权重，反之亦然。回想一下，在我们的模型中，我们做了一个近似值，即我们只能有大小为1的订单。因此，强度的增加表明我们可以发送更大的订单（许多1号订单对应一个大订单）。此类重量取决于开口盖NK`:`∈ {1，…，K}o，在第2.1.1小节中介绍。可以选择几种形式（例如，第一个勾号周围的较薄间隔），在本文中，我们使用以下定义k`：=(` - 1） 刻度，min（`刻度，δ∞), ` ∈ {1，…，K}。（2.6）注意，我们可以选择K=1，这将导致唯一区域K=[0，δ∞]. 在这种情况下，所有δ6=mini=1，…，对到货订单强度的预测是相同的，。。。，Nδi.使用较大数量的间隔K，以便根据做市商价差的价值增加处罚。我们将看到，在最佳情况下，由于PnL过程的形式和强度，覆盖对主剂和药剂的PnL都没有影响。备注2.5。方程（2.6）表明，开放覆盖不是扩散向量的动态函数。因此，我们添加了指示符函数1{xi6=x}，以确保坐标x不与权重$+H `关联∈ {1，…，K}，但仅限于美元。除此之外，从数值的角度来看，填充开放覆盖使模型更易于处理。

否则，在每个时间-步骤中，应再次计算相应的面积。2.2做市商问题2.2.1代理商的PnL流程首先，我们定义了-做市商做市时的做市商δ∈ A asP Lδ，it：=ZtXj∈{a，b}δi，js{δi，js=δjs}+KX`=1ω`δi，js{δi，js∈K`}！dNjs+ZtQisdSs，t∈ [0，T]。（2.7）第一个积分对应于现金流过程，而另一个积分代表的是-th agent和ω`∈ (0, 1), ` ∈ {1，…，K}是随着`增加而向零递减的权重。当做市商接近最佳价差时，他将从报价中获得越来越多的报酬。当报价的价差偏离最佳价差时，此类报酬会减少。这促使代理商通常报价较低的价差，并表明订单可能会根据代理商在订单簿中的位置在代理商之间进行拆分。这种形式的激励尤其适用于某些市场，因为市场上有数百家做市商，必须通过平台选择市场参与者。一些客户需要这样的选择，他们要求特定数量的做市商，以确保交易所的竞争。此外，良好的外部排名吸引了平台上的新客户。为此，选择标准是做市商提供的价格质量。此外，我们假设代理没有部分执行。因此，如果两个做市商的价差最大，那么他们都是完全执行的，从这个意义上说，他们接受了全部交易。备注2.6。虽然做市商在特定区域进行交易时，与最佳出价-询问相比，会获得部分价差的报酬，但在hid库存流程中不会反映这一点。

事实上，ω`δi，jac这一术语仅适用于现金流程：做市商如果没有以最佳出价报价，其库存就不会移动。2.2.2最佳反应函数（2.7）表示在没有交易所合同的情况下，代理人的PnL。按照委托代理法，交易所提出了由金融时报确定的薪酬ξ-每个做市商的可测量随机变量，以及其PnL流程。这些措施旨在通过减少做市商的利差，创造一种激励因素，吸引平台上的流动性。我们将证明可容许契约集的一个表示定理。考虑到他们的合同，代理面临着一场随机差异博弈，因为他们价差的相对排名直接影响到他们的订单是否得到执行。由于我们稍后将寻找这个博弈的纳什均衡，我们认为-做市商是扩散向量δ的函数-i被N- 1其他代理人。所以，在其他做市商的行动下，每个代理都会最大化其PnL，以获得其所谓的最佳反应函数。通过表示γi>0，i的风险厌恶-th做市商，并使用CARA实用程序函数UI（x）：=-e-γix，x∈ R、 剩下的最大化问题如下vimm（ξi，δ-i） ：=supδi∈Ai（δ-i） EPδiδ-我用户界面ξi+Xj∈{a，b}ZTδi，jt{δi，jt=δjtiδj，-it}+KX`=1ZTω`{δi，jt∈K`}！dNjt+ZTQitdSt,式中Ai（δ-i） ：={δ：δiδ-我∈ A} 。为了确保这个量不会退化，因为∈ {1，…，N}，我们假设对于所有δ∈ AEδhexp- γξii<+∞, 对于某些γ>max（γ，…，γN）。（2.8）我们称之为RN-价值英尺-满足（2.8）契约的可测随机变量ξ。

可集成性条件确保做市商的问题得到很好的确定（即支持仍然是确定的）。当N个做市商同时做市时，我们正在寻找代理之间相互作用产生的纳什均衡。我们现在提供了此类均衡的适当定义2.2.3纳什均衡马纳什均衡是一组可接受的控制措施，使得每个做市商在委托人提供的合同下没有从其当前头寸中转移的利息。它通过以下定义正式化。定义2.7。对于给定的合同ξ，N个代理的纳什均衡是一组动作^δ（ξ）∈ 尽管如此，我∈ {1，…，N}ViMM（ξi，^δ）-i（ξ））=EP^δ（ξ）“Uiξi+Xj∈{a，b}ZTδi，jt（ξ）{δi，jt（ξ）=δjt（ξ）}+KX`=1ZTω`{δi，jt（ξ）∈K`}！dNjt+ZTQitdSt！#。（2.9）我们为任何契约ξ引入所有相关纳什均衡的集NA（ξ）。这个集合特别重要，因为它将被强制为非空的，以确保至少存在一个纳什均衡。现在我们来谈谈交易所的签约问题。2.3交易所最优合约问题在我们的框架内，对于市场中出现的每个市场订单，交易所都会得到c>0的固定金额的补偿。正如[4]中所述，由于我们的工作时间间隔很短，因此我们采用与资产价格相关的cindependent。交易所的目标是在时间间隔[0，T]内，最大限度地增加NaT+NBT组合市场订单的总数。由于到达强度仅由做市商控制，合同向量ξ旨在增加这些强度，这是利差的递减函数。

因此，交易所将在时间T向每个做市商支付该合同，其PnL的形式，使用CARA效用函数，由下式给出- 经验值- ηc（NaT+NbT）- ξ·1N,其中η>0表示本金的风险规避参数。我们现在对交易所提供的一套可接受合同提供了适当的定义。首先，我们需要确保汇率问题不会恶化。因此，我们假设，对于所有δ∈ A和我∈ {1，…，N}。EδhexpηNξii<+∞, 对于某些η>η。（2.10）由于Na和Nbare点过程具有有界强度，该条件与H"older\'sinequality一起确保了交换问题得到了很好的定义。我们还假设做市商只接受其最大效用ViMM（ξi，^δ）的合同ξisuch-i） ，取纳什均衡^δ∈ NA（ξ）高于阈值Ri<0。该值称为i的保留实用程序-，并导致以下定义。定义2.8。可接受合同集C定义为RN集-价值，英尺-可测随机变量ξ：=（ξ，…，ξN）>，因此对于所有i∈ {1，…，N}，（2.8）和（2.10）保持不变，所有代理的参与约束在NA（ξ）中至少满足一个纳什均衡（然后该均衡自动非空）。我们将在验证定理4.3中看到，在一组可容许合约中，统一可积性类型论证需要这样一个条件，代理的参与约束至少满足ξ生成的一个零平衡。由于我们预计参与约束将对任何最优合同ξ具有约束力，代理在ξ产生的可能不同的纳什均衡之间是不同的。

这意味着我们可以使用与经典委托-代理文献中使用的相同的约定，委托人有足够的议价能力来施加给代理人他希望他们使用的均衡。因此，他的优化问题写为ve：=supξ∈Csup^δ∈NA（ξ）E^δ（ξ）- 经验值- ηc（NaT+NbT）- ξ·1N. （2.11）现在我们已经正确地定义了斯塔克伯格博弈的两个问题，我们可以着手解决做市商问题。在解决这两个步骤的问题之前，我们首先概述了我们采取的方法。2.4 Stackelberg博弈简而言之，每个做市商都有一个优化问题，这取决于N- 1其他代理人，以及委托人提供的合同。因此，解决-代理人的问题是通过搜索每个做市商的最佳反应函数，给定一组动作δ-其他探员。因此，每个代理人所报的利差将取决于委托人给予的激励，以及对手的利差。如前所述，做市商同时确定报价，因此他们必须在反应函数之间达成平衡。为了解决这个问题，我们将利用[5]中给出的纳什均衡的等效定义，并在下一节中回顾。特别是，纳什均衡的存在与多维SDES系统的解之间存在直接联系。关键的一点是，对于（2.1）中特定的权重选择，纳什均衡的存在性和唯一性是直接的，因为有两个重要的事实。首先，指示函数1{δi，j=δj}，和{δi，j6=δj}的使用对代理的哈密顿量起到解耦作用。其次，只有在限制特定形式合同的情况下，才能实现这种效果。此限制将在第3节中解释和评论。

目前，请注意，它可以显式计算做市商问题的唯一纳什均衡。考虑到可接受的合约至少产生一个纳什均衡，委托人通过选择给予每个做市商的激励来解决他的优化问题，作为其相关HJBequation的结果。这明确提供了代理的最佳报价，并解决了两步Stackelberggame。3解决做市商问题我们从解决做市商问题开始-面临交易所提出的任意可接受合同的做市商。本节主要介绍定理3.7。首先，我们将委托人提出的某种形式的合同介绍给-th代理。此FT-可测量的随机变量以特定BSDE的终端条件的形式出现，尽管我们不使用此理论来解决问题。然后，我们证明这是唯一可以向市场制造商提出的合同形式。然后，根据这种特定形式，我们得出每个代理的最佳响应，其他操作是固定的。3.1准备工作为了简化符号，让我们定义R：=RN×RN×R，B∞:= [-δ∞, δ∞].定义3.1。修复一些i∈ {1，…，N}。对于任何（di，d-i、 zi，q）∈ B∞×B2（N-1)∞×R×ZN，其中我们有zi：=（zi，j，a）j=1，。。。，N、 （zi，j，b）j=1，。。。，N、 zS，i, 和di：=（di，a，di，b），i的哈密顿量-代理人由HI（d）确定-i、 zi，q）：=supdi∈B∞hi（di，d-i、 zi，q），（3.1），其中hi（di，d-i、 zi，q）：=NX`=1Xj∈{a，b}γ-1i1-经验值-γizi，`，j+di，j{di，j=djidj，-i} +KXk=1ωkdi，j{di，j∈Kk}！！！λ′，j（dj，q）。正如在每一个随机控制问题中，这样的数量是特别重要的。它是自然地从It^o的公式应用到e-γiYt，对于i=1。

，N其中Y由（3.3）定义。然后，将该数量最大化将得到i-考虑到其他经纪人所报的价差，市场做市商。图的形式（hi）i=1，。。。，n要求（3.1）中的最大化器是d的函数-i、 zi和q。这表明对哈密顿向量的固定点有一个正确的定义高（d-i、 zi，q）i=1，。。。，N、 定义3.2。对于每个（z，q）∈ RN×ZNa哈密顿量的不动点由矩阵δ定义？（z，q）∈ MN，2（R），对于任何1≤ 我≤ Nδ？i（z，q）∈ argmaxδi∈B∞hi（δi，δ？-i、 zi，q）。（3.2）对于每个（z，q）∈ RN×ZN，我们用O（z，q）表示所有固定点的集合。我们需要以下长期技术假设。假设3.3。至少存在一个Borel–可测量映射δ？：RN×ZN-→ MN，2（R），因此对于每个（z，q）∈ RN×ZN，δ？（z，q）∈ O（z，q）。相应的地图集由O表示。备注3.4。我们将看到，在特定情况下，zi，j，a=zi，a，和zi，j，b=zi，bfor all（i，j）∈{1，…，N}，对于任何（z，q），O（z，q）中存在唯一的固定点∈ RN×ZN。该规范用于推论3.9，其中明确提供了纳什均衡。我们现在定义了一系列流程，这些流程代表了给代理商的合同形式。定义3.5。给定y∈ RN和R-有值可预测过程Zi：=（Zi，j，a，Zi，j，b，ZS，i）j=1，。。。，N、 对于i∈ {1，…，N}，我们引入了RN族-有值过程（Yy，Z，^δ）^δ∈由固定点映射^δ表示∈ O、 谁的i-对于i，th坐标由给出∈ {1，…，N}和t∈ [0，T]Yi，y，Z，^δT：=Yi+NXj=1ZtZi，j，ardNj，ar+Zi，j，brdNj，br+ZS，irdSr+γiσ（ZS，ir+Qir）-你好^δ-i（Zr，Qr），Zir，Qr!dr.（3.3）我们说Z：=（Zi）i=1，。。。，如果Yy，Z，δt为（2.8），（2.10）且所有δ∈ A、 Eδ支持∈[0，T]经验- γiYi，y，Z，^δt< +∞.鉴于这种特殊的合同形式，这种条件确保做市商的问题不会恶化。