用冯·米塞斯公理解决圣彼得堡悖论

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英文标题：
《Resolution of the St. Petersburg paradox using Von Mises axiom of
  randomness》
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作者：
Andrea Berdondini
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this article we will propose a completely new point of view for solving one of the most important paradoxes concerning game theory. The solution develop shifts the focus from the result to the strategy s ability to operate in a cognitive way by exploiting useful information about the system. In order to determine from a mathematical point of view if a strategy is cognitive, we use Von Mises\' axiom of randomness. Based on this axiom, the knowledge of useful information consequently generates results that cannot be reproduced randomly. Useful information in this case may be seen as a significant datum for the recipient, for their present or future decision-making process. Finally, by resolving the paradox from this new point of view, we will demonstrate that an expected gain that tends toward infinity is not always a consequence of a cognitive and non-random strategy. Therefore, this result leads us to define a hierarchy of values in decision-making, where the cognitive aspect, whose statistical consequence is a divergence from random behaviour, turns out to be more important than the expected gain.
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中文摘要：
在这篇文章中，我们将提出一个全新的观点来解决有关博弈论的一个最重要的悖论。解决方案开发将重点从结果转移到策略的能力，即通过利用有关系统的有用信息，以认知方式进行操作的能力。为了从数学的角度确定策略是否是认知的，我们使用了冯·米塞斯的随机性公理。基于这一公理，对有用信息的了解会产生无法随机复制的结果。在这种情况下，有用的信息可能被视为收件人当前或未来决策过程的重要数据。最后，通过从这个新的角度解决这个悖论，我们将证明，趋向无穷大的预期收益并不总是认知和非随机策略的结果。因此，这一结果引导我们定义了决策中的价值层次，其中认知方面（其统计结果是与随机行为的差异）比预期收益更重要。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> Resolution_of_the_St._Petersburg_paradox_using_Von_Mises_axiom_of_randomness.pdf (375.59 KB)

2022-6-24 11:37:11 上传

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关键词：圣彼得堡悖论 圣彼得堡 彼得堡 米塞斯 Quantitative

1利用冯·米塞斯的随机性公理解决圣彼得堡悖论安德里亚·贝登迪尼摘要：在这篇文章中，我们将提出一个全新的观点，来解决博弈论中最重要的悖论之一。所使用的方法来源于对非遍历系统的研究。这种情况可能会在结果之间产生依赖关系，而这些结果往往极难检测和量化，例如在金融领域。因此，从可能相关的数据中获得的预期收益具有难以确定的统计值，因此不能用于决策目的。因此，在这种情况下，必须找到决策过程中使用的替代参数。解决方案开发将重点从结果转移到策略通过利用系统的有用信息以认知方式运作的能力。为了从数学的角度确定策略是否是认知的，我们使用了冯·米塞斯的随机性公理。基于这一公理，对有用信息的了解会产生无法随机复制的结果。在这种情况下，有用的信息可能被视为收件人当前或未来决策过程的重要数据。总之，这一悖论中的无限行为可能被视为一种能够使预期收益无法用于决策目的的因素。因此，我们不得不用不同的观点来面对这个问题。为了做到这一点，我们将重点从结果转移到策略通过利用系统的有用信息以认知方式运作的能力。

最后，通过从这个新的角度解决这个悖论，我们将证明，趋向无穷大的预期收益并不总是认知和非随机策略的结果。因此，这一结果引导我们定义了决策中的价值层次，其中认知方面（其统计结果是与随机行为的差异）比预期收益更重要。导言圣彼得堡悖论是博弈论中最重要的悖论之一。用于求解的经典解决方案使用实现边际效用概念的特殊效用函数[1]、[2]、[3]。这种方法受到了强烈的批评，因为效用函数试图从数学的角度将社会学行为形式化，这就是为什么它们总是带有主观性成分。此外，许多行为经济学研究强调人们的行为往往是非理性的。因此，解决这一矛盾仍然是一个公开的挑战，正如我们将看到的那样，寻找替代解决方案可能有助于我们在评估战略期间改进决策过程。为了理解本文提出的解决圣彼得堡悖论的方法，我们必须首先解释这种方法的起源。这种方法是为了研究在非遍历系统上运行的策略。特别是，主要应用领域的特点是研究金融市场上的定量交易算法。非遍历性条件可以使结果相互依赖。因此，在这种情况下，数据之间会产生依赖关系，就像在金融领域一样，这些数据很难检测和量化。

为了从数学上确定策略是否是认知策略，我们利用了冯·米塞斯的随机性公理。该公理定义了必须具有序列才能被视为随机的统计特征。公理如下：“将序列定义为随机序列的基本要求在于完全没有任何规则可以成功地应用于改进对下一个数字的预测”。这一公理的含义如下：当我们理解一组数字序列所遵循的规则时，我们可以获得结果，作为对下一个序列数的预测，随着预测数的增加，随机复制的概率趋于零。因此，通过实施有助于提高我们获胜概率的信息的游戏策略获得的结果，会产生无法随机复制的结果。基本上，与实现有用信息的认知策略相比，随机策略获得更好结果的概率随着预测次数的增加趋于零。3该公理实际上是一种统计方法，用于评估获得的结果，而不考虑预期增益的绝对值。事实上，这种方法完全基于这样一个事实，即能够区分结果是通过随机策略获得的，还是通过实现系统所遵循的一组规则的认知策略获得的。通过这种方式，我们在分析一类特殊的零和博弈的策略时得到了一个基本的结果，在这类博弈中，参与者之间是平衡的。平衡是指没有一个球员比其他球员具有隐性优势的情况。

著名数学家丹尼尔·伯努利（DanielBernoulli）将这类特殊的游戏定义为：“数学上公平的机会游戏”。这种类型的博弈在博弈论中扮演着特别重要的角色，因为它代表着金融等各个利益领域中非常常见的情况。如果我们分析通过多次重复圣彼得堡悖论中描述的机会博弈获得的结果，那么在下一段中，我们将证明，通过使用随机策略，可以在倾向于50%的概率下获得更好的利润。在实践中，纯随机博弈策略的结果往往相对于悖论中描述的策略所获得的预期理论收益对称分布。这一结果表明，每次下注失败后的加倍策略不会利用任何有用的信息，因此它是一种完全非认知博弈方法。因此，通过将认知方面作为决策中使用的参数，并证明了策略中的完全缺失，我们可以通过证明博弈方法的非理性来解决悖论。在本文中，我们想介绍认知方面，即通过利用有关系统的有用信息以非随机方式行事的意义，作为改进决策理论的基本元素。事实上，这一悖论有助于让我们理解，对系统有用信息的了解，能够增加我们获胜的概率，总是涉及到预期收益的增加。然而，事实并非如此：趋向无穷大的预期收益并不意味着该策略利用了有关系统的知识，因此是认知的，而不是随机的。

因此，创造了一个价值层次，其中认知方面比决策目的的预期收益更重要。圣彼得堡悖论的解决在这一段中，我们将通过证明每次输掉赌注后的加倍策略是一种非认知策略来解决圣彼得堡悖论，这种策略没有实现可用于提高成功概率的有用信息。为了做到这一点，我们必须定义随机策略，我们将使用随机策略计算获得比悖论中定义的赌博方法更好结果的概率。事实上，如前一段所述，如果所评估的策略是实现有用信息的认知策略，则该概率应趋于零。首先，我们定义了一些参数，这些参数是描述随机参考策略的基础。我们需要的第一个参数是每次下注失败后使用加倍策略获得的游戏预期值EV。如果翻盘次数等于L，获胜概率为50%，第一次下注的值等于1，我们有： 4第二个参数是平均下注AB。通过进行Bn值的L次下注，我们得到：  知道第一次下注B1等于1，并且每次下注失败后都会加倍下注，并且在我们赢得下注时回到值1，我们有：                此时，随机游戏策略的定义如下：给定等于L的翻转次数，将进行L个AB常量值的下注，随机选择每次下注是正面下注还是反面下注。

为了计算与悖论策略的期望值EV相比，这种类型的策略是否可以获得更好的结果，只需使用二项分布公式。   P=获胜概率K=获胜次数L=投掷次数通过使用二项分布公式，给定L的值，我们可以使用上述随机策略获得更好结果的概率。图1显示了从10到200的L值的结果。看看这张图，我们看到概率是如何逐渐趋于50%的。因此，我们有50%的机会得到更好或更差的结果。基本上，悖论中描述的策略趋向于渐近随机策略。因此，加倍策略被证明是一种没有实现有用信息以提高我们获胜可能性的策略。因此，使用认知方面作为评估方法证明了该策略的不合理性。我们在金融领域使用非常相似的方法，将被评估的策略与等效的随机策略进行比较，以分析交易策略产生的结果【7】、【8】。图1：随机策略获得更好结果的概率，给出10到200次L掷的次数。结论在这篇文章中，我们使用圣彼得堡悖论引入了一个与策略认知方面相关的参数，作为帮助我们在所有预期收益被证明是不可靠参数的情况下做出决策的基本元素。这种方法是通过研究非遍历系统发展起来的。

在这种情况下，结果可能是非独立的，因此预期增益成为一个统计值难以确定的参数。因此，它不能用于决策，需要找到新的参数。选择的参数与策略以认知方式运作的能力有关（认知术语表示策略通过利用系统的有用信息以非随机方式运作的能力，能够使我们增加获胜的概率）。为了从数学上确定策略是否是认知的，我们使用了冯·米塞斯的随机性公理。基于这一公理，实现系统有用信息的策略会生成无法随机复制的结果。因此，我们从总下注值的角度将悖论策略与完全随机但等效的策略进行了比较。从这个比较中，我们已经证明了随机策略可以获得更好的结果，随着投掷次数的增加，概率趋于50%。基本上，这种策略倾向于收敛到随机策略，而不是像我们预期的那样从认知策略中分离出来。事实上，如果一个策略在系统上实现了有用的信息，随机获得更好结果的概率趋于零。这一结果表明，每次输掉赌注后的加倍策略并不是一种利用系统有用信息的认知策略，因此，通过将认知方面作为评估参数，我们解决了这一悖论。总之，圣彼得堡悖论告诉我们，趋向无穷大的预期收益并不总是意味着认知和非随机策略的存在。

因此，知识意味着对有用信息的利用，能够使我们增加胜利的可能性，总是意味着预期收益的增加，但事实并非如此；在不了解系统的情况下，也可以获得趋向无穷大的预期增益。因此，从决策方面，我们可以创建一个价值层次，其中知识比预期收益更重要。事实上，在非遍历系统的情况下，胜利的预期可能很难估计，或者如果开发的策略具有高度的过度拟合，则胜利的预期可能是无用的数据。在所有这些情况下，随机获得相同结果的概率的计算成为一个更可靠的参数，因为该数据仅受我们对系统的真实知识的影响，而不受噪声的影响。事实上，统计数据并不代表有用的信息，只有当能够证明它不是以随机方式获得时，它才成为有用的信息。在实践中，为了认为结果有用，随机获得相同结果的概率必须非常低。参考文献【1】保罗·萨缪尔森（1977年3月）。“圣彼得堡悖论：定义、剖析和历史描述”。经济文献杂志。美国经济协会。15  (1):  24–55.  JSTOR 272712。[2] Robert J.Aumann（1977年4月）。“圣彼得堡悖论：对最近一些评论的讨论”。经济理论杂志。14 (2): 443–445. 内政部：10.1016/0022-0531（77）90143-0。[3] 罗伯特·马丁（2004）。“圣彼得堡悖论”。爱德华·萨尔塔。斯坦福哲学百科全书（2004年秋季版）。斯坦福，加利福尼亚州：斯坦福大学。ISSN 1095-5054。检索日期：2006年5月30日。

[4] Daniel Kahneman和Amos Tversky（1979）“前景理论：风险下的决策分析”，《计量经济学》，47（2），263–291。[5] Hersh Shefrin（2002），“超越贪婪和恐惧：理解行为金融学和投资心理学”。牛津大学出版社。[6] Andrea Berdondini，《专业交易员的悖论》（2018年11月20日）。SSRN提供：https://ssrn.com/abstract=3287968.Andrea Berdondini，“冯·米塞斯随机性公理在数值序列描述的非平稳系统动力学预测中的应用”（2019年1月21日）。SSRN提供：https://ssrn.com/abstract=3319864或http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.3319864.[8]Andrea Berdondini，“经济物理学的方法描述，作为财务战略的验证技术”，（2017年5月1日）。SSRN提供：https://ssrn.com/abstract=3184781.电子邮件地址：andrea。berdondini@libero.it