期权的算法做市

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英文标题：
《Algorithmic market making for options》
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作者：
Bastien Baldacci, Philippe Bergault, Olivier Gu\\\'eant
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  In this article, we tackle the problem of a market maker in charge of a book of options on a single liquid underlying asset. By using an approximation of the portfolio in terms of its vega, we show that the seemingly high-dimensional stochastic optimal control problem of an option market maker is in fact tractable. More precisely, when volatility is modeled using a classical stochastic volatility model -- e.g. the Heston model -- the problem faced by an option market maker is characterized by a low-dimensional functional equation that can be solved numerically using a Euler scheme along with interpolation techniques, even for large portfolios. In order to illustrate our findings, numerical examples are provided.
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中文摘要：
在本文中，我们将解决做市商管理单一流动标的资产期权簿的问题。通过使用投资组合的织女星近似值，我们证明了期权做市商看似高维的随机最优控制问题实际上是可处理的。更准确地说，当使用经典随机波动率模型（如赫斯顿模型）对波动率进行建模时，期权做市商面临的问题的特点是低维函数方程，即使对于大型投资组合，也可以使用欧拉格式和插值技术对其进行数值求解。为了说明我们的发现，给出了数值例子。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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2022-6-24 12:28:47 上传

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关键词：Quantitative Applications Mathematical QUANTITATIV mathematica

期权的算法做市*Bastien Baldacci+Philippe BergaultOlivier Guéant§Abstracts在本文中，我们解决了做市商负责单一流动标的资产期权簿的问题。通过使用投资组合的vega近似值，我们证明了期权做市商看似高维的随机最优控制问题实际上是可处理的。更准确地说，当使用经典随机波动率模型（如赫斯顿模型）对波动率进行建模时，期权做市商面临的问题的特点是低维函数方程，即使对于大型投资组合，也可以使用欧拉格式和插值技术对其进行数值求解。为了说明我们的发现，提供了数值示例。关键词：做市，算法交易，期权，随机最优控制。1简介金融市场的电子化始于70年代的证券交易所，现在影响到每一种资产类别。对于通常以集中方式进行交易的资产类别（股票、期货等），交易所和其他全对全交易平台——无论是否基于限额指令簿——现在都实现了完全自动化。对于仍在场外交易（OTC）的资产，电子化是通过引入新的平台实现的，例如单一和多经销商到客户的平台。这种电子化与许多金融行业参与者的交易流程自动化趋势有关：经纪人、银行，还有经常开发自己执行算法的系统资产经理。对于在中央集权市场交易的资产而言，交易自动化如今是巨大的。例如，在现金权益领域，现在绝大多数执行都是使用算法执行的。

对于在交易商市场交易的资产，做市过程的自动化已被提上议事日程数年，越来越多的银行正在为各种资产类别（货币、债券等）开发做市算法。自80年代以来，学术文献中提出了许多做市商模型。在关于做市商的早期文献中，两个主要参考文献是Ho和Stoll的论文【19】和Rossman和Miller的论文【10】。Ho和Stoll引入了一个非常相关的框架来解决做市商面临的主要问题：库存管理。格罗斯曼（Grossman）和米勒（Miller）对捕捉流动性的本质更感兴趣，他们提出了一个非常简单的模型，包括三个时期，涵盖了这两个时期*Bastien Baldacci感谢ERC赠款679836 Staqamof的支持。Olivier Guéant感谢汇丰银行法国分行在欧洲金融研究所（EuroplaceInstitute of Finance）支持下资助的研究性“三月行动、义务与收益模型”（Modélisation des marchés actions，Responsibilities et dérivés），感谢他们对该文件早期版本的支持（标题为“算法造市：股票衍生品案例”）。作者要感谢Lorenzo Bergomi（法国兴业银行）、Bruno Bouchard（巴黎多芬大学）、Rama Cont（牛津大学）、Renaud Delloye（汇丰银行）、Thomas de Garidel（汇丰银行）、Nicolas Grandchampdes Raux（汇丰银行）、Iulia Manziuk（巴黎大学1 Panthéon Sorbonne）、Ben Nasatyr（花旗银行）、Jiang Pu（欧洲金融学院），以及马修·罗森鲍姆（Ecole Polytechnique）就这一主题进行的讨论。

然而，读者应意识到，文本中表达的观点、想法和意见完全属于作者。+法国巴斯蒂安塞德克斯宫91128号萨克雷大道CMAP埃科尔理工学院。baldacci@polytechnique.edu.巴黎大学索邦分校1号，索邦经济中心，106 Boulevard de l\'H^opital，75642 Paris Cedex 13，France，philippe。bergault@etu.univ-巴黎1。fr.§巴黎大学索邦分校，索邦经济中心，106 Boulevard de l\'H^opital，75642 Paris Cedex 13，France，olivier。gueant@univ-paris1.fr通讯作者。做市商和最终客户能够理解均衡时发生的情况，并为有关价格形成过程的重要文献做出了贡献。如果后一篇文章属于一群学者，那么超越简单的沃尔拉斯市场观是极其重要的，这对构建做市算法几乎没有帮助。然而，在25年多之后，前一篇论文为发表关于算法造市的数学文献铺平了道路。关于做市商的新文献的开创性参考文献是Avellaneda和Stoikov[1]的论文，其中回顾了Ho和Stoll提出的动态方法。他们确实展示了如何使用随机最优控制工具解决做市商的报价和库存管理问题。从那时起，人们提出了许多模型，其中大多数模型都是为了解决与Avellaneda和Stoikov相同的单一资产做市问题。例如，Guéant、Lehalle和Fernandez Tapia在[14]对Avellanda-Stoikov随机最优控制问题的arigourous分析中提出，并证明在指数强度函数的情况下，该问题可以简化为线性常微分方程（ODE）系统。

Cartea、Jaimungal和合著者对文献做出了很大贡献，并在初始模型中添加了许多特征：阿尔法信号、歧义厌恶等（见[5、6、7]）。他们还考虑了不同的目标函数：风险调整后的期望值，而不是冯·诺依曼·摩根斯特恩的期望值。上述论文中提出的模型都具有相同的特点：（i）它们对市场结构不可知，但事实上更适合场外交易市场，（ii）它们只处理单一资产市场的做市，以及（iii）它们不处理期权的做市。事实上，Guilbaud和Pham专门为通过有限订单簿交易的资产（如大多数股票）和在具有按比例微观结构的平台上交易的资产（如一些货币对）开发了模型（见[16，17]）。有趣的是，这些模型使做市商能够使用激进的指令，这是股票市场上的一种标准行为，令人惊讶（见[22]）。就多资产做市而言，最近已经开发了模型来解释资产价格变化之间的相关结构。盖恩特将阿维拉内达·斯托伊科夫模型和卡塔·贾伊蒙加尔模型（见[11]、[12]和[13]）扩展到多资产框架，并表明对于一般强度函数，问题归结为求解（先验非线性）常微分方程系统。【2】中使用阶乘方法和【15】中使用强化学习解决了多资产做市商最优报价方程近似解的数值方法相关问题，这两种方法均适用于公司债券市场。最后，就资产类别而言，很少有人试图解决现金世界以外的做市商问题。

衍生工具合约的做市模型实际上在本质上更加复杂，因为它们必须考虑基础资产市场和衍生工具市场上的策略，通常还要考虑许多合约（例如，许多行权和到期日的期权）。El Aoud和Abergel的一篇论文（见[8]）和Stoikovand Saglam的一篇论文（见[23]）中只讨论了期权做市。在前者中，作者考虑由随机波动模型驱动的单一期权市场，并假设头寸总是-对冲。他们为期权提供最优的出价和询价，并关注模型规格错误的风险。在后者中，作者考虑了三种不同的设置，但都只有一种选择：（i）允许在完全市场中连续交易完全流动的基础股票的做市商，（ii）可能不连续交易基础股票的做市商，而是在期权和股票中设定买卖报价，以及（iii）不完全市场中的做市商，由于随机波动和隔夜跳跃，存在剩余风险。在本文中，我们考虑了一个做市商负责一本期权书的情况，其价格由随机波动率模型驱动。我们假设可以在基础资产中进行连续时间交易，因此剩余风险仅为与库存相关的织女星风险。使用常数vegaapproximation，我们表明期权做市商的问题归结为求解Hamilton-Jacobi-Bellman类型的低维函数方程，该方程可以使用简单的Euler进行数值处理。如果买卖价差与刻度大小之比较大，该模型也适用于在限制订单簿中交易的资产。方案以及插值技术。

特别是，尽管资产数量巨大，做市问题还是可以处理的。在第一节中，我们描述了该模型并提出了期权做市商的优化问题。第2节，我们展示了如何在常数vega近似下简化该问题。特别是，我们表明，解决做市商的高维随机最优控制问题归结为解决低维函数方程。在第3节中，我们考虑了一本期权书的例子，该期权书具有多个有效期和到期日，并提供了通过插值技术和显式Euler格式获得的数值结果。2问题描述我们考虑概率空间(Ohm, F、 P过滤（Ft）t∈R+满足通常条件。通过本文，我们假设所有随机过程都定义在Ohm, F、 （Ft）t∈R+，P.2.1市场我们考虑一种资产，其价格动态由以下形式的单因素随机波动率模型描述dSt=uStdt+√νtStdWStdνt=aP（t，νt）dt+ξ√νtdWνt，其中u∈ R、 ξ∈ R*+, （WSt，Wνt）t∈R+是一对具有二次协变量的布朗运动，由ρ=dhWS，Wνidt给出∈ (-1、1）和API，使流程得到很好的定义（特别是，我们假设流程（νt）t∈R+几乎可以肯定地保持正值）。备注1。Heston模型的函数API的经典示例（见[18]），即aP：（t，ν）7→κP（θP- ν） 式中，κP，θP∈ R*+满足Feller条件2κPθP>ξ。备注2。为了简单起见，我们在本文中考虑了一个单因素模型，其中瞬时方差是主要的兴趣变量。关注正向方差的单因素模型也可以得到类似的结果，例如经典的单因素Bergomi模型（见[3，4]）。

此外，值得注意的是，我们的方法可以很容易地扩展到双因素随机波动率模型，如著名的双因素Bergomi模型（见[3，4]），直到要求解的方程维数增加1。假设利率等于0，我们引入了一个等价的风险中性/定价概率度量，在该度量下，价格和波动过程变为（dSt=√νtStdcWStdνt=aQ（t，νt）dt+ξ√νtdcWνt，其中（cWSt，cWνt）t∈R+是另一对布朗运动，这次是在Q下，由ρ=dhcWS，cWνidt给出二次协变量∈ (-1，1），其中AQI使得流程得到了很好的定义。我们认为N≥ 1上述资产的欧洲期权（以下简称标的资产）。为每个人∈ {1，…，N}，第i个期权的到期日用tian表示，我们用（Oit）t表示∈[0，Ti]与第i个选项关联的价格过程。有关参考资料，请参见示例[9]。备注3。在应用中，考虑中的期权始终是看涨期权和/或看跌期权。然而，我们的设置允许考虑任何欧洲支付。在上述单因素模型中，我们知道∈ {1，…，N}，以及所有t∈ [0，Ti]，Oit=Oi（t，St，νt），其中Oi是以下偏微分方程（PDE）的解（0，Ti）×R+）：0=tOi（t，S，ν）+aQ（t，ν）νOi（t，S，ν）+νSSSOi（t，S，ν）+ρξνSνSOi（t，S，ν）+ξνννOi（t，S，ν）。（1） 备注4。期权价格还具有与支付相对应的终端条件。然而，我们将只考虑短期优化问题，其时间范围在所考虑的所有期权到期之前。因此，我们绝不会使用与等式相关的最终条件。

(1).2.2做市商的优化问题我们考虑一个期权做市商，负责在[0，T]期间为上述N个期权提供报价，其中T<mini∈{1，…，N}Ti（见备注4）。就我而言∈ {1，…，N}，我们用Oit表示-δi，bt（z）和doit+δi，at（z）做市商针对与第i个期权的z个合同相对应的交易提出的买卖价格（每份合同），其中（δit（.））t型∈[0，T]：=δi，bt（.），δi，at（.）t型∈[0，T]是F-可预测的，从下到下以给定的常数δ为界∞.此后，我们用A表示一组F-可预测的R2N值映射，这些映射从下面以δ为界∞, 通过滥用语言，我们将这些映射称为容许控制过程。库存过程动力学（qt）∈[0，T]：=（qt，…，qNt）T∈做市商的[0，T]由dqit给出：=ZR*+zNi，b（dt，dz）- Ni，a（dt，dz）, 我∈ {1，…，N}，其中，我∈ {1，…，N}，Ni，b（dt，dz）和Ni，a（dt，dz）是两个右连续的R*+-标记点过程，几乎肯定没有同时跳跃，模拟bid和askside上第i个期权的交易，其各自的强度过程（λi，bt（dz））t∈R+和（λi，at（dz））t∈R+由λi，bt（dz）：=λi，b（δi，bt（z））1{qt-+zei公司∈Q} ui，b（dz）λi，at（dz）：=λi，a（δi，at（z））1{qt--zei公司∈Q} ui，a（dz）与（ei）i∈{1，…，N}RN的规范基础，Q是做市商的授权库存集合，以及（ui，b，ui，a）R上的两个概率度量*+模拟交易规模的分布。Fori公司∈ {1, . . .

，N}，带∧i，带∧i，aare正函数，满足以下经典假设（类似假设见[11，12]：∧i，带∧i，aare两次连续可微。o∧i，带∧i，aare严格递减，其中∧i，b<0，∧i，a<0。olimδ→+∞∧i，b（δ）=limδ→+∞∧i，a（δ）=0。osupδ∈R∧i，b（δ）∧i，b（δ）∧i，b（δ）< 2和supδ∈R∧i，a（δ）∧i，a（δ）∧i，a（δ）< 2、上述条件非常普遍，以允许绝大多数相关形式的强度：最初在【1】中引入并在大多数文献中使用的指数强度，如【2】中所述的逻辑强度，或如【15】中所述的许多苏-约翰逊强度。除了为N个期权报价外，做市商还可以买卖标的资产。我们假设该资产的市场流动性足以确保-套期保值。在应用中，我们总是选择δ∞负数足够大，所以这个下限永远不会有约束力。有关这些过程的构造的更多详细信息，请参见附录A.3。该集合的前沿定义了做市商的风险限额。备注5。实际上，对于一个没有织女星对冲的投资组合，它通常是次优到完美的-由于即期过程和瞬时方差过程之间的相关性，对冲投资组合。然而，为了简单起见，我们在这里假设-套期保值在连续时间内进行。