利用交易成本和价格影响对冲非交易风险

此外，最优库存水平是确定的，由qν给出*t型=ζk（φ-- φ++4ω+c Neωkt- e-ωkt`（T）-ζk2ω`（T- t） `（t）- 1.+ Q`（T- t） `（t）（13）`（t）=φ+eωkt+φ-e-ωkt和ζ、ω和φ±如命题1所示。证明见附录。定理2中的最优交易策略显示了资产S的交易如何受到资产U敞口的影响。在无交叉影响的简单情况下（c=0），交易策略与单一资产情况相同，只是漂移修改为u- γρσηN。该修正表示预期收益来源和风险来源之间的权衡。持有Qt库存意味着代理人的财富以uQt的速度增长，但同时由于s和U之间的协变量，存在ρσηN Qt形式的风险贡献。这种漂移修正有一个有趣的结果，当u=0和Q=0时，可以最清楚地说明这一结果。如果代理人没有非交易风险因素敞口（N=0），并且如果她没有对交易资产的未来价值进行投机（u=0），那么她没有理由收购任何股份，并且在整个交易期内最优持有零头寸。当ζ=0时，这在等式（13）中变得明显。然而，如果她在美国持有线性头寸，那么她在交易资产中持有非零头寸，因为她有能力部分对冲美国的风险。交易策略中的这种定性差异说明了考虑交易和非交易风险因素之间相互作用的重要性。虽然从问题的表述或决定最优策略的方程的显式形式来看可能不明显，但如果交易周期较长，代理倾向于并试图持有特定的交易资产库存水平。

任何偏离这一立场的行为都是由代理人必须支付的各种形式的摩擦和罚款造成的。例如，如果代理商交易过快，临时价格影响会给代理商带来更大的成本，而终端库存罚款意味着代理商在交易期结束时倾向于较低的库存水平。为了表述代理所需的长地平线位置的概念，我们引入了一个称为相对时间的量。作为t∈ [0，T]，交易期内的任何瞬间都可以表示为T=κT表示κ∈ [0, 1]. 我们称κ为相对时间。命题3（长期或无摩擦头寸）。确定相对时间κ∈ （0，1）并设t=κt。ThenlimT公司→∞Qν*κT=u-γρσηNγσ=limk→0Qν*κT.（14）证明见附录。我们在图1中用数字说明了最优策略。只要T足够大，（14）中的第一个等式告诉我们，代理希望将该库存头寸保持在0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1.5-1-0.500.511.50 1 2 3-1.5-1-0.500.511.5图1：代理随时间的最优库存头寸。在左侧面板中，交易周期的长度在T=0.5处结束，在右侧，它在T=3处结束。其他模型参数为u=0、β=0、σ=1、η=1、ρ=0.5、b=10-2，c=10-3，k=10-2, γ = 1, α = 0.05. 当代理暴露于一股非交易风险因素（N=1）时，使用实心曲线。虚线表示没有非交易风险因素敞口（N=0）时的Almgren-Chriss策略。命题3的长地平线水平（所有实心曲线在右侧面板中接近）由Q=-0.5.尽可能长。例外情况是在交易期的开始和结束时。这种行为反映在这样一个事实上，即我们需要在比例中排除κ=0和κ=1。

代理人倾向于这一立场，因为它在所有可能的库存水平上实现了回报与风险的最大化。对于交易资产中的固定库存水平q，瞬时预期回报为uq。然而，该头寸使代理人面临ρσηN q+σq形式的瞬时风险水平（代理人也面临ηN形式的瞬时风险，但代理人无法控制该数量）。将收益和风险的差值按γ进行缩放，然后对q进行最大化，得到与方程（14）相同的表达式。因此，这是交易资产中平衡瞬时风险和回报的最佳头寸。（14）中的第二个等式告诉我们，如果可以进行无摩擦交易，这是代理可以持有的最佳头寸。这两个限制之间的等价性表明，代理人试图朝着无摩擦的最优库存水平进行交易，但由于交易中存在摩擦，因此无法这样做。4、非线性风险在本节中，代理人暴露于ψ（U）形式的非贸易风险因素，我们可以将其解释为持有以非贸易风险因素为基础的欧式未定权益。性能标准、值函数和相关的HJB方程分别与（6）、（7）和（8）相同。非线性payoff阻止我们分离U与其他变量之间的依赖关系，因此我们提出了ansatzHψ（t，x，q，S，U；c，γ）=-经验值{-γ（x+qs+hψ（t，q，U；c，γ））}。（15） 我们展示了函数Hψ和Hψ对c和γ的显式依赖性，因为这两个参数用于展开近似，我们将在下面讨论。为了清晰起见，我们还明确了对ψ的依赖关系。

将该ansatz代入（8）得到以下hψ方程：thψ+uq-γσq+（β- γρσηq）Uhψ+ηUUhψ-γ η(Uhψ）+supννqhψ+cνUhψ+b qν- kν= 0，hψ（T，q，U；c，γ）=ψ（U）- αq.（16）上式中的上确界为我们提供了最优策略的反馈形式，在ν处达到*（t，q，U；c，γ）=2 k(qhψ+cUhψ+bq）。（17） 将ν的这个值代入方程（16）得到thψ+uq-γσq+（β- γρσηq）Uhψ+ηUUhψ-γ η(Uhψ）+4 k(qhψ+cUhψ+b q）=0。（18） 很容易检查，如果ψ（U）=N U，则该方程及其终端条件由hψ（t，q，U；c，γ）=h（t，q）+N U求解，这也给出了hψ=h（如命题1所示）。对于payoffψ的一般形式，我们无法找到解方程（16）的闭合形式表达式，但如果我们考虑模型参数c和γ的较小值，我们可以获得渐近意义上的近似解。可以合理地假设交叉价格影响因子c小于临时和永久价格影响因子。事实上，一只股票的交易对另一只股票价格的影响应该远远小于其自身价格的影响。因此，参数c是我们可以进行渐近展开的一种选择。我们还对风险规避参数γ进行了展开。为此，我们通过引入一个展开参数θ并进行替换c 7，同时对每个量进行展开→ θc和γ7→ θ γ.假设4。

我们做出以下技术假设来证明扩展的有效性。i） ψ∈ 所有四个导数都有界的C（R）。ii）2α- b>0。iii）给定初始状态x、q、S和U，存在正常数θ*< 1.*, C、 andD满足以下一致有界条件：对于每个θ∈ (0, θ*) 和 ∈ (0, *), 如果ν是容许控制，使得hν（0，x，q，S，U；θc，θγ）+ ≥ Hψ（0，x，q，S，U；θc，θγ），则ZTeD（| Xνt |+| QνtSνt |+| Qνt |+（Qνt）+Uνt |）dt≤ C（19） 假设4 i）消除了对普通欧式期权支付的考虑，因为它们不是两次连续可区分的（即使在较弱的意义上，二阶导数也没有界）。然而，通过使用正规化版本的支付，可以避免这种复杂性，例如，假设到期日为T的期权在时间T+δT到期，δT任意小。这个条件确保了下面展开式中的许多项相对于U具有有界导数，并允许我们更容易地进行某些增长估计。假设4 ii）的原因与线性支付的情况相同。它确保扩展中的条款对所有t∈ [0，T]。最后，假设4 iii）可以解释为关于容许控制空间的有界性/连续性的条件。它指出，一个特定的指数矩在一组充分接近最优的控制上一致有界。在证明近似的有效性时，这个不等式允许我们限制误差的大小，关键是可以选择常数C，使其不依赖于θ（尽管它可能依赖于θ*).

回想一下，如果ψ是线性的，那么最优控制是确定性的，并且我们可以为所有最优控制找到一个关于θ的局部一致的界。在定理之前，我们引入了一个引理，它有助于证明许多相关量是可微且有界的。这个引理涉及函数g（t，U）=E[ψ（UT）| UT=U]，（20），其中过程U=（UT）t∈[0，T]满足SDEdUt=βdt+ηdZt。（21）该函数在我们近似值函数和我们的候选近似最优交易策略中起着重要作用。我们注意到Ug（t，U）测量g对下层U变化的敏感性，因此其解释类似于期权的“delta”。在下面的讨论中，直接将该衍生工具解释为期权的“delta”是有帮助的，尽管它们并不完全相等，因为（28）中的预期是在物理度量而不是等效的风险中性度量下进行的。此外，当交易没有交叉影响时，上述过程U是一个与U路径相等的有效过程。引理5（未来选项Delta）。假设ψ满足假设4 i）（ψ∈ C（R）具有高达四阶的有界导数）。ThenEh公司Ug（s，~Us）~Ut=Ui=Ug（t，U）， t型≤ s≤ T（22）此外，如果函数f:R 7→ R是可积的，那么ZTtf（s）Ug（s，~美国）dsUt=U= Ug（t，U）ZTtf（s）ds。（23）最后，（22）和（23）中的表达式对uw具有高达三阶的导数，这些导数是有界和连续的。验证写入g（t，U）表示进程的转移密度▄U。

Letp（z；t，t，U）=p2πη（t- t） 经验值-（z）- U- β（T- t） ）2η（t- t）,因此（t，U）=E[ψ（￠UT）| UT=U]=Z∞-∞ψ（z）p（z；t，t，U）dz=z∞-∞ψ（x+U）p（x；t，t，0）dx。莱布尼兹积分规则可以用来区分上述表达式，因为ψ的导数是有界的，我们写道Ug（t，U）=Z∞-∞dψdU（x+U）p（x；t，t，0）dx=Z∞-∞dψdU（z）p（z；t，t，U）dz=EdψdU（▄UT）▄UT=U.这个最终表达式是Doob鞅，它显示了第一个断言。第二个主张来自富比尼定理。第三项权利要求是将第一项和第二项权利要求应用于修改后的支付，将ψ替换为dψ/dU、dψ/dU或dψ/dU。这个引理中的第一个主张表明Ug（t，~Ut）是一个鞅，因此期权未来的delta的期望值等于当前的delta。第二种主张指出，当f≡ 1、除了在以下许多方面提供方便的边界外Ug（t，~Ut）在下面的复杂表达式中被简化——这激发了命题8。定理6（值函数的渐近逼近）。方程（15）中的函数hψ允许以下近似：i）展开式：hψ（t，q，U；θc，θγ）=^h（t，q，U；θc，θγ）+R（t，q，U；θ），^h（t，q，U；θc，θγ）=h（t，q，U）+θ（c h（t，q，U）+γh（t，q，U））+θch（t，q，U）+cγh（t，q，U）+γh（t，q，U）,（24）使Limθ↓0θR（t，q，U；θ）=0。

（25）ii）零阶和一阶项：函数h、h和hm可以取为ash（t，q，U）=f（t）+f（t）q+f（t）q+g（t，U），（26a）h（t，q，U）=λ（t，U）+λ（t，U）q，（26b）h（t，q，U）=∧（t，U）+∧（t，U）q+∧（t）q，（26c），其中m=2α- b、 f（t）=4 kZTtf（s）ds，（27a）f（t）=u（t- t） （4 k+m（t- t） ）4 k+2 m（t- t） ，（27b）f（t）=-k m2 k+m（T- t）-b、 （27c）g（t，U）=E[ψ（￠UT）| UT=U]，（28）λ（t，U）=EZTtf（s）2 kλ（s，~Us）+Ug（美国）ds公司Ut=U, （29a）λ（t，U）=-m2 k+m（T- t） E类ZTt公司Ug（s，~美国）dsUt=U, （29b）∧（t，U）=2 kEZTt公司f（s）∧（s，~Us）-kη(Ug（美国）Ut=U, （30a）∧（t，U）=kEZTt2 k+m（T- s） 2 k+m（T- t）f（s）∧（s）-kρσηUg（美国）ds公司Ut=U, （30b）∧（t）=-σ（T）- t） 12 k+6 k m（t- t） +米（t- t） 6（2 k+m（t- t） ），（30c），其中过程▄U=（▄Ut）t∈[0，T]满足SDEdUt=βdt+ηdZt，（31）iii）二阶项：函数h，h和hm可以取为ash（T，q，U）=A（T，U）+A（T，U）q+A（T，U）q，（32a）h（T，q，U）=B（T，U）q+B（T，U）q，（32b）h（T，q，U）=C（T，U）q+C（T，U）q（32c），其中每个A0，U 1,2、B0,1,2和C0,1,2是有界的，并且对于toU是连续可微的。证据见附录A。价值函数的分解值得进行一些讨论，但当我们考虑它们如何影响近似最优的交易速度时，这些表达式背后的许多直觉变得更加清晰。下一个定理证明了这一点。这个定理的直接顺序是库存过程变得随机。定理7（最优交易速度的渐近逼近）。设^ν为反馈控制，由^ν（t，q，U；θc，θγ）=ν（t，q）+θ（cν（t，U）+γν（t，q，U）），（33）给出，其中ν（t，q）=2 k（f（t）+（2 f（t）+b）q，（34a）ν（t，U）=2 k(Ug（t，U）+λ（t，U）），（34b）ν（t，q，U）=2 k（λ（t，U）+2∧（t）q）。（34c）则^νt=^ν（t，Q^νt，U^νt，θc，θγ）是容许控制。

通过关系h^ν（t，x，q，S，U；θc，θγ）=-e-θγ（x+qs+h^ν（t，q，U；θc，θγ）），对于二阶渐近最优：hψ（t，q，U；θc，θγ）=h^ν（t，q，U；θc，θγ）+o（θ）。证明见附录。为了讨论（34）中数量的解释，我们假设Ug对所有t和U都是积极的。如果Ug是负面的，除非代理人的行为也被适当改变（即，出售而不是购买）。零阶项，我们用ν表示，有一个清晰的解释。该术语表示当交易风险因素和非交易风险因素之间没有交叉价格影响时，风险中性代理的最佳交易速度。该术语的反馈形式与无风险规避的单一资产的最优执行计划中出现的术语相同。观察（26a）中的值函数的零阶项是这样一个最优交易计划的值与Bachelierdynamics下的预期未来收益ψ之和。这又是由于缺乏风险规避，并且在这个限度内，S和U之间没有任何互动。最佳交易速度中的修正项ν是由于交叉价格影响，包含两个组成部分。术语Ug（t，U）直接产生于代理人的交易对期权当前价值的影响。由于我们假设g是相对于U的一个递增函数，这个术语的作用是使代理提高交易速度。购买更多的股票往往会增加价格过程，从而增加期权的价值。随着g的增加，第二个分量λ（t，U）为负值，如（29b）所示，这导致购买股票的速度减慢。

该术语源于代理人希望完成接近零的库存，以避免终端清算罚款。由于她知道，她现在购买的任何股票都将在未来部分变现，因此她希望避免在S中累积大量头寸，从而导致昂贵的往返交易。λ（t，U）的值是对预期平均未来期权delta的度量，该delta由代理人预计在未来清算的速度加权。通过将交易速度降低这一数量，代理可以平衡现在买入和增加期权价值的好处，同时知道自己必须在未来卖出并降低期权价值，这两种交易都会因临时价格影响而产生成本。表达式（34c）中因风险规避而导致的交易速度有两个组成部分。term2∧（t）q的作用是使代理的库存接近于零（请注意∧始终为负）。这一术语的出现是因为代理人希望避免库存风险，这使她面临交易资产价格St的风险。术语∧（t，U）具有不确定符号，因此可能导致更多或更少的购买。从（30b）的被积函数中可以看出，它来自两个风险源。第一个与持有非零库存时库存风险和被动收益之间的权衡有关。如果u6=0，则代理人有动机持有非零库存，并从S的趋势价格中获益，但这也会使代理人在持有库存时因意外的价格变化而面临风险。如果f（t）量化了期望的交易速度，从而从价格漂移中获益，则被积函数（30b）中的第一项量化了与未累积风险头寸相关的修正。∧中的第二个风险来源是与持有期权和交易资产中的非零头寸相关的风险。