利用交易成本和价格影响对冲非交易风险

首先，我们将（24）的形式展开式替换为方程（18）（用θc和θγ替换c和γ），并根据θ中的零、一阶和二阶对项进行分组。其次，我们通过执行验证参数证明，在（25）中的极限保持不变的情况下，这种形式的二阶展开是有效的。第一部分（形式解）：将（24）代入（18）并设置与θtovash成比例的项(th+uq+βUh+ηUUh+4 k(qh+bq）=0，h（T，q，U）=-αq+ψ（U）。（47）很容易验证方程（47）的解为h（t，q，U）=f（t）+f（t）q+f（t）q+g（t，U），（48a）f（t）=4kZTt（f（s））ds，（48b）f（t）=u（t- t） （4 k+m（t- t） ）4 k+2 m（t- t） ，（48c）f（t）=-k m2 k+m（T- t）-b、 （48d）g（t，U）=E[ψ（￠UT）| UT=U]，（48e）d￠UT=βdt+ηdZt。（48f）类似地，与θ成比例的分组项给出cth+βUh+ηUUh+2 k(qh+b q）(qh+呃）+γth+βUh+ηUUh+2 k(qh+bq）qh公司-σq- ρσηq嗯-η(呃）= 0，c h（T，q，U）+γh（T，q，U）=0。（49）我们寻求不依赖于c或γ的方程（49）的解，因此，我们将方程（49）方括号中的每个项独立设置为零。因此，将（49）中的第一个方括号设置为零，以h（t，q，U）=λ（t，U）+λ（t，U）q的形式写入h（t，q，U），并将qand qterms设置为独立消失，并获得(tλ+βUλ+ηUUλ+2 kf（λ+Ug）=0，λ（T，U）=0，（50）和(tλ+βUλ+ηUUλ+2 k（2 f+b）λ+2 k（2 f+b）Ug=0，λ（T，U）=0，（51），其中f0,1,2（T）和g（T，U）在方程（48b）至（48e）中给出。根据费曼-卡克公式，方程（50）和（51）的解由λ（t，U）=E给出ZTtf（s）2 kλ（s，~Us）+Ug（美国）ds公司Ut=U, （52）λ（t，U）=-m2 k+m（T- t） E类ZTt公司Ug（s，~美国）dsUt=U.

（53）接下来，将（49）的第二个方括号设置为零，以h（t，q，U）=∧（t，U）+∧（t，U）q+∧（t）q的形式写入h（t，q，U），并将q，q和qterms分别设置为零，然后写入(t∧+βU∧+ηUU∧+2 kf∧-η(Ug）=0，∧（T，U）=0，（54）(t∧+βU∧+ηUU∧+2 k（2 f+b）∧+k∧f- ρ σ η Ug=0，∧（T，U）=0，（55）(t∧+k（2 f+b）∧-σ=0，∧（T）=0。（56）ODE（56）的解为∧（t）=-σ（T）- t） 12 k+6 k m（t- t） +米（t- t） 6（2 k+m（t- t） ）。（57）根据Feynman-Kac公式，方程（54）和（55）的解∧（t，U）=2 kEZTt公司f（s）∧（s，~Us）-kη(Ug（美国）Ut=U, （58）∧（t，U）=kEZTt2 k+m（T- s） 2 k+m（T- t）f（s）∧（s）-kρσηUg（美国）ds公司Ut=U. （59）最后，将与θ成比例的项分组，得到cth+βUh+ηUUh+4 k(嗯+qh）+2 k(qh+b q）(嗯+qh）+cγth+βUh+ηUUh+2 k(qh+呃）qh+2 k(qh+b q）(嗯+qh）-η嗯嗯- ρσηq嗯+γth+βUh+ηUUh+4 k(qh）+2 k(qh+b q）qh公司- η嗯嗯- ρσηq嗯= 0，ch（T，q，U）+cγh（T，q，U）+γh（T，q，U）=0。（60）我们寻求不依赖于c和γ的（60）的解，因此我们将方括号中的三项分别设置为零。进行替换sh（t，q，U）=A（t，U）+A（t，U）q+A（t，U）q，（61a）h（t，q，U）=B（t，U）+B（t，U）q+B（t，U）q，（61b）h（t，q，U）=C（t，U）+C（t，U）q+C（t，U）q，（61c），以获得A0,1,2、B0,1,2和C0,1,2的PDE系统。在引理9（出现在这个证明的末尾）中，我们证明了这些函数是有界的，并且对于U具有有界导数的函数是连续可微的。第二部分：（近似精度）。根据（24）给出的^h，定义^h（t，x，q，S，U；θc，θγ）=-e-θγ（x+qS+^h（t，q，U；θc，θγ））。

（62）那么（25）中的期望极限等于Hψ（t，x，q，S，U；θc，θγ）=^H（t，x，q，S，U；θc，θγ）+o（θ），（63），其中θ的附加幂来自指数泛函的泰勒展开，并注意（62）的指数中出现的θ的附加因子。为简单起见，我们证明了（63）中的近似对于初始状态为x、q、S和u的t=0成立。t 6=0的情况类似。此后，考虑初始状态x、q、S和U是固定的，取θ∈ (0, θ*),  ∈ (0, *)式中θ*, *如假设4 iii）所示。进一步，设νθ，是一个可容许的控制 θ-最佳，特别是hνθ，（0，x，q，S，U；θc，θγ）+ θ≥ Hψ（0，x，q，S，U；θc，θγ）。（64）将伊藤引理应用于过程Gt=^H（t，Xνθ，t、 Qνθ，t、 Sνθ，t、 Uνθ，t；θc，θγ）屈服强度- G=ZT(t+Lνθ，)^H（t，Xνθ，t、 Qνθ，t、 Sνθ，t、 Uνθ，t；θc，θγ）dt- θγσZT^H（t，Xνθ，t、 Qνθ，t、 Sνθ，t、 Uνθ，t；θc，θγ）Qνθ，tdWt公司- θγηZT^H（t，Xνθ，t、 Qνθ，t、 Sνθ，t、 Uνθ，t；θc，θγ）U^h（t，Qνθ，t、 Uνθ，t；θc，θγ）dZt，（65），其中微分算子Lν由Lν=ν给出q- （S+kν）νx+（u+bν）S+σSS+（β+θcν）U+ηUU+ρση苏。检查U^h（t，q，U；θc，θγ）表明，它是一个关于2次q的多项式，由于引理5，系数相对于（t，U）有界。接下来，我们应用假设4 iii）中（19）中的一致界来证明两个随机积分对于非常小的θ都有期望零。θ的依赖性很大∈ (0, θ*) 因此^H（t，x，q，S，U；θc，θγ）q≤ NeθγN（| x |+| q S |+| q |+q+| U |）），^H（t，x，q，S，U；θc，θγ）(U^h（t，q，U；θc，θγ））≤ NeθγN（| x |+| q S |+| q |+q+| U |）。因此，根据假设4 iii），如果θ<Dγn，则两个随机积分sin（65）中的被积函数在[0，T]×上都是平方可积的Ohm 因此没有任何期望。

如果θ*>DγN，然后我们进一步限制θ∈ （0，DγN）。给定^H的显式形式，我们得到了界(t+Lνθ，)^H（t，x，q，S，U；θc，θγ）≤ supν(t+Lν）^H（t，x，q，S，U；θc，θγ）（66）=-θγ^H（t，x，q，S，U；θc，θγ）Xi=3θiPi（t，q，U）。（67）（66）中的最大值在ν+=q^h+θcU^h+b q2 k，经过直接替换和一些繁琐但简单的计算，得到（67），其中，通过引理5，每个Pi（t，q，U），i∈ {3，4，5，6}，是一个关于q的多项式，最多四个，系数有界于t和U（完整表达式见附录C（89））。采用（65）中的期望值，替代Gt的定义，并使用不平等（67），会导致不平等ZT公司-θγ^H（t，Xνθ，t、 Qνθ，t、 Sνθ，t、 Uνθ，t；θc，θγ）Xi=3θiPi（t，Qνθ，t、 Uνθ，t） dt公司≥ E[^H（T，Xνθ，T、 Qνθ，T、 Sνθ，T、 Uνθ，Tθc，θγ）]-^H（0，x，q，S，U；θc，θγ）=Hνθ，（0，x，q，S，U；θc，θγ）-^H（0，x，q，S，U；θc，θγ）。重新排列并回忆起νθ，是 θ-最优，所以我们有θHψ（0，x，q，S，U；θc，θγ）-^H（0，x，q，S，U；θc，θγ）≤  + EZT公司-θγ^H（t，Xνθ，t、 Qνθ，t、 Sνθ，t、 Uνθ，t；θc，θγ）Xi=3θi-3Pi（t，Qνθ，t、 Uνθ，t） dt公司. （68）我们再次应用假设4 iii）中（19）中的统一界限。通过构造，^h在U中具有atmost线性增长。此外，具有有界系数的qappear的零阶、线性和二次依赖性。其次，由于每个π在q中最多为四度，有界系数，因此有一个足够大的N，与θ无关∈ (0, θ*), 因此^H（t，x，q，S，U；θc，θγ）Xi=3θi-3Pi（t，Qνθ，t、 Uνθ，t）≤ NeθγN（| x |+| q S |+| q |+q+| U |）。如果θ*>Dγ与N>N，然后进一步限制θ∈ （0，DγN）和as ∈ (0, *) 和θ<θ*, （19）中的统一界限适用，因此θHψ（0，x，q，S，U；θc，θγ）-^H（0，x，q，S，U；θc，θγ）≤  + θγNC。

（69）最后 ∈ (0, *) 是任意的，我们有limθ↓0θHψ（0，x，q，S，U；θc，θγ）-^H（0，x，q，S，U；θc，θγ）= 0，（70），这是所需的限制。引理9。函数A0,1,2、B0,1,2和C0,1,2是有界的，并且对于U和有界导数是连续可微的。证明Let L=βU+ηUU。将（61）替换为（60）后，函数A0,1,2、B0,1,2和C0,1,2满足PDE的以下系统：tA+LA+4 k（λ+Ug）+2 kf(Uλ+A）=0，tA+LA+2 k（2f+b）(Uλ+A）+2 kf(Uλ+2A）=0，tA+LA+2 k（2f+b）(Uλ+2A）=0，A0,1,2（T，U）=0，（71）tB+磅+2 kf(Uλ+B）+2 k∧（λ+Ug）- ηUλUg=0，tB+磅+2 kf(U∧+2B）+k∧（λ+Ug）+2 k（2f+b）(U∧+B）-ηUλUg公司- ρσηUλ=0，tB+LB+2 k（2f+b）(U∧+2B）+2 kfU∧- ρσηUλ=0，B0,1,2（T，U）=0，（72）tC+LC+4 k（λ）+2 kfC- ηU∧Ug=0，tC+LC+k∧∧+kfC+2 k（2f+b）C- ηU∧Ug公司- ρσηU∧=0，tC+LC+k（λ）+k（2f+b）C- ρσηU∧=0，C0,1,2（T，U）=0。（73）检查表明，在三个系统中的每个系统中，耦合仅在一个方向上，因此可以逐个求解方程。我们还看到，每个单独的方程都是这样的tw+Lw+F+Gw=0，w（T，U）=0。（74）根据Feynman-Kac公式，w的解为w（t，U）=EZTteRstG（右，~Ur）drF（南，~Us）Ut=U, 式中，dUt=βdt+ηdZt。由于函数f0,1,2，λ0,1，∧0,1,2和Ug有界且可对U连续微分。此外，检查表明，每个折扣项G有界且仅为t的函数。因此，每个A0,1,2、B0,1,2和C0,1,2有界，且可通过引理5对U连续微分。6.5. 定理7Fixθ>0并取θ的证明∈ (0, θ).

接下来，当代理人遵循推测的近似策略时，考虑库存和非交易风险因素路径，特别是dq^νt=^νt、 Q^νt，U^νtdt，（75a）dU^νt=β+c^νt、 Q^νt，U^νtdt+ηdZt。（75b）通过引理5，函数^ν可以写成^ν（t，q，U）=F（t）+F（t；θ）q+F（t；θ）Ug（t，U），（76）带Ug（t，U）和UUg（t，U）有界，因此^ν（t，q，U）是在变量q和U中线性增长的Lipschitz。因此，SDEs（75）具有唯一的强解（见Karatzas和Shreve（2012）定理5.2.9）。此外，均匀地选择关于θ的线性增长系数∈ （0，θ），所以Q^νt+U^νt我≤ C eCt，t型∈ [0，T]，对于某些常数C。因此，根据Fubini定理，我们有EhRT^νudui<∞.为了证明^ν是渐近近似最优的，我们继续验证参数，同时跟踪优化误差的大小，类似于定理6的证明。我们还注意到asHψ（t，x，q，S，U；θc，θγ）=-e-θγ（x+q S+hψ（t，q，U；θc，θγ）），h^ν（t，x，q，S，U；θc，θγ）=-e-θγ（x+qs+h^ν（t，q，U；θc，θγ）），我们期望的近似结果等价于hψ（t，x，q，S，U；θc，θγ）=h^ν（t，x，q，S，U；θc，θγ）+o（θ），（77），这是指数函数的泰勒展开式。我们用给定的初始状态x、q、S和U证明了t=0时的精度结果，我们认为这是固定的。t 6=0的一般结果如下所示。给定控制^ν和产生的状态过程X^νt、Q^νt、S^νt和U^νt，定义过程（Gt）t∈[0，T]其中gt=^H（T，X，Q，v，T，S，U，v；θc，θγ），和^H（T，X，Q，S，U；θc，θγ）=-e-θγ（x+qs+^h（t，q，U；θc，θγ）。这里，^h是定理6方程（24）中给出的hψ的近似值。

应用伊藤引理G givesGT- G=ZT(t+L^ν）^H（t，X^νt，Q^νt，S^νt，U^νt；θc，θγ）dt- θγσZT^H（t，X^νt，Q^νt，S^νt，U^νt；θc，θγ）Q^νtdWt- θγηZT^H（t，X^νt，Q^νt，S^νt，U^νt；θc，θγ）U^h（t，Q^νt，U^νt；θc，θγ）dZt=-θγZT^H（t，X^νt，Q^νt，S^νt，U^νt；θc，θγ）Xi=3θiMi（t，Q^νt，U^νt）dt公司- θγσZT^H（t，X^νt，Q^νt，S^νt，U^νt；θc，θγ）Q^νtdWt- θγηZT^H（t，X^νt，Q^νt，S^νt，U^νt；θc，θγ）U^h（t，Q^νt，U^νt；θc，θγ）dZt，（78），其中每个Mi（t，Q，U），i∈ {3，4，5}，是一个q次多项式，最多4次，系数为t和U的一致有界函数（有关显式表达式，请参见附录C中的（90））。我们继续证明θ∈ （0，θ）两个随机积分都有零期望，Fubini定理可以应用于黎曼积分的期望。首先，我们在底层流程上构造适当的边界。Γν的线性增长条件与Ug表示ν（t，q）≤ ^ν（t，q，U）≤ ν（t，q），其中ν（t，q）=C（1+| q |）和ν（t，q）=-ν（t，q）对于某些常数C>0。此外，过程（Qνt）t∈[0，T]和（QνT）T∈[0，T]是确定性的且满足qνT≤ Q^νt≤ Qνt。同样，存在过程（Sνt）t∈[0，T]，（SνT）T∈[0，T]，（UνT）T∈[0，T]和（UνT）T∈[0，T]这样就是νT≤ S^νt≤ Sνtand Uνt≤ U^νt≤ Uνt，几乎可以肯定（见Karatzas和Shreve（2012）提案5.2.18）。因此，存在sc>0和C>0，使得| S^νt |≤ C1+最大值0≤t型≤T{| Wt |}和| U^νt |≤ C1+最大值0≤t型≤T{Zt}.接下来，确定MW=max0≤t型≤T{| Wt |}和MZ=max0≤t型≤T{Zt}。

这些界限为X^νt | X^νt |提供了以下界限≤ |x |+Zt | S^νt+k^ν（S，Q^νS，U^νS）|ν（S，Q^νS，U^νS）| ds≤ |x |+ZT | S^νt | |ν（S，Q^νS，U^νS）| ds+kZT |ν（S，Q^νS，U^νS）| ds≤ |x |+T CC1+兆瓦+ k T C，其中Cis为常数。上的一致界Ug（t，U）和UUg（t，U）表示^h在uan中最多呈线性增长，因此| h（t，Q^νt，U^νt）|≤ C（1+MZ）和|U^h（t，Q^νt，U^νt）|≤ C、 其中，Cand Care常量。同时应用上述边界可提供-θγC（1+MW+MZ）≤ |^H（t，X^νt，Q^νt，S^νt，U^νt；θc，θγ）|≤ eθγC（1+MW+MZ）。（79）我们可以选择与θ无关的常数Ci∈ （0，θ），因此^H（t，X^νt，Q^νt，S^νt，U^νt；θc，θγ）（Q^νt）≤ Ce2θγC（1+MW+MZ），^H（t，X^νt，Q^νt，S^νt，U^νt；θC，θγ）(U^h（t，Q^νt，U^νt；θc，θγ））≤ Ce2θγC（1+MW+MZ），其中C=max{（QνT），（QνT）}。因为这两个不等式的右侧在[0，T]×上是可积的Ohm, （78）中的随机积分具有零期望。接下来，如上所述，Mi，i∈ {3，4，5}，是q次多项式，最多四次，系数是t和U的一致有界函数。因此，Xi=3θiMi（t，Q^νt，U^νt）≤ θC，（80），其中Cis是一个不依赖于θ的常数∈ (0, θ). 这个界和（79）一起允许我们将富比尼定理应用于（78）中的黎曼积分。将这一点与（78）的rhs上的随机积分具有零期望的结果结合起来，我们得到了[H^ν（T，X^νT，Q^νT，S^νT，U^νT；θc，θγ）]-^H（0，x，q，S，U；θc，θγ）=-θEγZT^H（t，X^νt，Q^νt，S^νt，U^νt；θc，θγ）Xi=3θiMi（t，Q^νt，U^νt）dt公司（81）利用界（79），我们进一步得到θH^ν（0，x，q，S，U；θc，θγ）-^H（0，x，q，S，U；θc，θγ）≤ θγCT E[EθγC（1+MW+MZ）]。（82）根据定理6，我们有limθ↓0θHψ（0，x，q，S，U；θc，θγ）-^H（0，x，q，S，U；θc，θγ）= 0 .将上述与（82）结合表示Limθ↓0θHψ（0，x，q，S，U；θc，θγ）-H^ν（0，x，q，S，U；θc，θγ）= 0，（83）根据需要。6.6.

命题8的证明证明分三部分进行。（i） 我们证明了（36）给出的局部一致逼近；（ii）我们证明（37）中的控制是可接受的；（iii）最后，我们证明了控制（37）在（38）的意义上近似最优到二阶。第一部分：（局部一致逼近）：当代理持有N个非交易风险因子单位时，最优控制的反馈形式由方程（12）以闭合形式给出。用v表示此函数*（t，q，N；c，γ）。当代理具有ψ（U）形式的暴露时，近似最优控制的反馈形式在等式（33）中。由于引理5，等式（33）中的ν和ν对U的依赖性仅通过Ug（t，U）。表示（33）右侧的前三项Ug（t，U）替换为, 由^v（t，q，; c、 γ）。写入v*和^v asv*（t，q，; θc，θγ）=2 k（v（t；θ）+v（t；θ）q+v（t；θ）) , （84）^v（t，q，; θc，θγ）=2 k（^v（t；θ）+^v（t；θ）q+^v（t；θ）) . （85）我们接下来显示limθ↓0θ（vi（t；θ）-^vi（t；θ））=0，对于每个i=0，1，2，在t中均匀。因此，limθ↓0θ（v*（t，q，; θc，θγ）-^v（t，q，; θc，θγ））=0，在（t，q，).为了证明这一点，我们研究了viand^vi所满足的常微分方程的θ依赖性。收敛结果来自于关于这些常微分方程解的参数的连续性和可微性（参见Chicone（2006）定理1.3）。（12）、（33）和（34）的检查表明，v（t；θ）=2 h（t；θ）+b和^v（t；θ）=2 f（t）+b+2θγ∧（t）。函数hand fboth满足形式x=F（x；θ）和x（T）=-α，其中F（x；θ）=σθγ-4 k（2 x+b），F的ODE对应θ=0。当θ↓ 0，F（x；θ）→ F（x；0）在x中均匀分布，因此h（t；θ）→ f（t）在t中均匀分布∈ [0，T]。这也包括v（t；θ）→ 2 f（t）+b均匀分布在t中∈ [0，T]。

根据L\'Hopital法则，我们有limθ↓0θ（v（t；θ）-^v（t；θ））=limθ↓0(θv（t；θ）-θ^v（t；θ））=2 limθ↓0(θh（t；θ）-γ∧（t））。（86）接下来，从（11c）开始，对于θ>0，h（t；θ）具有连续的混合二阶导数（wrt t和θ）。我们这样写道t型(θh）=θ(th）=σγ-k（2小时+硼）θ手θh（T；θ）=0。我们还有t∧=σ-k（2 f+b）∧和∧（T）=0，因为h→ t为θ时呈漏斗状↓ 0，我们有θh→ γ∧在t中一致。因此，limθ↓0θ（v（t；θ）-^v（t；θ））=0，在t中均匀。对（12）、（46）和（84）的检查表明，vand v满足ODS电视=-u -2k（2 h+b）v，v（T）=0，tv=θγρση-2k（2 h+b）v，v（T）=θc。我们希望明确表示对θ的依赖关系。为此，对（29b）、（30b）和（33）的检查表明，我们可以写^v+^v = f+θc + θcλ+θγ∧=f+θc + θcλ + θ γ Λ+ θ γ~Λ ,其中引入的函数满足ODEtf=-u -2k（2 f+b）f，f（T）=0，t∧=-2k（2 f+b）（1+異λ），異λ（T）=0，t∧=-k∧f-2k（2 f+b）∧，λ（T）=0，t∧=ρση-2k（2 f+b）∧，∧（T）=0。因此，我们有t^v=-u -2k（2 f+b）f- θ γk∧f+2k（2 f+b）∧,^v（T）=0，t^v=θγ ρ σ η -2k（2 f+b）（c+c∧+γ∧）,^v（T）=θc。类似于我们在上面证明^v=v+o（θ）的方式，我们可以对^vand^v证明相同的情况：首先，重复参数以表明相关常微分方程的rhs收敛到适当的极限，因此limθ↓0vi（t；θ）-^vi（t；θ）=0，接下来重复参数以显示limθ↓0θvi（t；θ）-θ^vi（t；θ）=0。所有限值可在t中统一取值∈ [0，T]。第二部分（可接受性）：在反馈表中，候选交易策略isv*（t，q，Ug（t，U））=2 k（v（t；θ）+v（t；θ）q+v（t；θ）Ug（t，U））。（87）这与（76）中的反馈策略形式相同（时间相关系数不同，但对于固定θ，它们是有界的）。