利用交易成本和价格影响对冲非交易风险

由于S和U是相关的，代理人可以通过倾向于在交易资产中的头寸来减少风险敞口，从而抵消期权价值的随机变化4.1。最优交易策略的闭式近似虽然定理7中给出的交易策略近似涉及一些复杂的表达式，但它清楚地表明了动力学的每个组成部分是如何影响代理的跨越速度的。在本节中，我们通过另一个简单控制来近似最优控制过程，该控制具有更易于计算的闭合形式表达式。使用引理5，可以以闭合形式计算最优控制的近似值，但是，它涉及对有理函数的几个一维积分的计算。相反，我们在线性Payoff情况下采用最优策略（允许使用闭合形式表达式，见定理2），为非线性情况提供近似值。我们让v*当代理具有X个非交易风险因素单位的线性敞口时，最优策略的反馈形式，由V*（t，q，X；θc，θγ）=2 k（θc X+h（t；X，θ）+（2 h（t，θ）+b）q）。（35）以下两个结果总结了我们对最优交易策略的闭合形式近似。命题8（最佳交易速度的封闭近似）。以下近似在（t，q，U）中局部一致成立：v*（t，q，Ug（t，U）；θc，θγ）=^ν（t，q，U；θc，θγ）+o（θ）。（36）设ν是由νt=v给出的控制*（t，Qνt，Ug（t，Uνt）；θc，θγ）。（37）则ν是可容许的。通过关系hν（t，x，q，S，U；θc，θγ）=-e-θγ（x+qs+hν（t，q，U；θc，θγ）），因此ν是二阶渐近近似最优的：hψ（t，q，U；θc，θγ）=hν（t，q，U；θc，θγ）+o（θ）。

（38）证明见附录。这一命题表明，代理人可以通过在时间t内交易来近似最佳交易速度，就像她持有Ug（t，Ut）单位的非交易风险因素，以及与之前一样，这些单位的价值将在t之前支付。这种近似是合理的，因为期权的delta在当地代表代理持有的底层风险和回报敞口方面的等效股份数。这种封闭形式的近似方法适用于交易速度，但通过对Ug（t，U）表示N，在线性支付情况下，存货和价值函数的闭合形式表达式。时间t的库存位置取决于U到时间t的整个路径，该路径由qt=Q+Ztνsds给出。因此，即使νtdepends在进程U上仅通过其在时间t的值，库存也不具有此属性。4.2. 代理人库存头寸模拟在本节中，我们考虑一种特定形式的敞口ψ，并研究代理人的最优交易策略。风险敞口以N个欧洲看涨期权的形式存在于U上，K=U。对于较小的δT值，期权的到期日为T+δT。这确保了支付函数ψ在T附近连续可差两次。我们对价值函数和最优交易速度的近似要求我们在Bachelier动力学下计算期权的价值及其增量。初步计算表明，方程（28）中的g及其导数由g（t，U）=Nη给出√T+δT-t（zΦ（z）+φ（z）），（39a）Ug（t，U）=NΦ（z），（39b）z=U-Kη（T+δT-t）-+βη（T+δT-t） ，（39c），其中Φ和φ分别为标准正态累积分布和密度函数。4.2.1. 交叉价格影响的影响我们从γ=0的情况开始，观察参数c对代理人交易速度的影响。

当γ=0时，我们不应用命题8来近似交易速度，因为（12）中的许多数量都未定义为γ=0。然而，可以在极限意义γ下计算它们→ 相反，应用定理7以及计算λ的引理5表明，对于小c，最佳交易速度可近似为^νt=2 k（f（t）+（2 f（t）+b）Qt）+c（2 k+m（t-t） （）-1.Ug（t，Ut）。（40）有趣的是，如果我们强制代理商以零库存完成，则采用限制α→ ∞,然后交叉价格影响的影响消失（回忆m=2α- b） 代理人根据一项资产的最优交易计划行事。这是因为代理交易对流程U的净影响仅取决于库存的净变化，这通常与-c Qif代理必须具有QT=0。如果就交易策略而言，对U的总影响是相同的，那么基于U的交易影响就不会有额外的好处。我们模拟了价格过程的几种路径，同时考虑了代理自身交易的交叉影响，并绘制了产生的库存路径。如图2所示。我们看到了不同的行为，这取决于期权是否以金钱为目的。随着期权到期日的临近，如果代理人可以相对确定其资金将到期，那么她开始采取一种策略，该策略基本上模仿了Almgren和Chris（2001）中的风险中性最优清算计划。0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.810 0.2 0.4 0.6 0.8 1-4-20240 0.2 0.4 0.6 0.8 178910111213图2：5条模拟U路径的代理最佳库存位置随时间的变化。左侧面板显示代理的库存位置。中间的面板显示代理的交易速度。右侧面板显示了非交易风险因素的价格。

根据UT的最终值选择颜色（较大值为红色，较小值为蓝色）。其他模型参数为u=0、β=0、σ=1、η=1、ρ=0.5、b=10-2，c=10-3，k=10-3，γ=0，α=0.05，N=100，δt=10-另一方面，如果代理相信期权最终会变成金钱，那么她会选择一个不为零的目标库存水平。如果UTI充分大于K且t充分接近t，则Ug（t，Ut）等于N，即持有的期权数量，直至到期。这可以通过扩展和重新排列（40）得到^νt=f（t）2 k-m（Qt-厘米Ug（t，Ut））2 k+m（t- t） 。（41）（41）中右侧的第二项的作用是使库存Qtend为cUg（t，Ut）/m–回想一下dQt=νtdt。随着战略越来越接近T，这种影响的程度也越来越大。对于图2中的参数选择，c/mis的值约为0.01，我们可以看到，在时间T，现金库存路径接近该值乘以N。在交易期开始时，代理人开始购买股票，这对增加期权价值施加了很小的压力。一旦不可交易风险因素的路径开始发展，她会更新她分配给期权的到期概率，无论该期权到期与否。图2仅显示了少量路径，但一些值的一般分布也很有趣，尤其是终端库存的分布。图3显示了总库存的分布以及终端库存与非贸易风险因素终端值的散点图。0 0.2 0.4 0.6 0.8 10500100015002000250030006 8 10 12 1400.20.40.60.811.2图3：代理行终端库存的分布和终端库存对非交易风险因素终端价值的依赖性。参数与图2中的参数相同。

模拟次数isM=10000.4.2.2。风险规避的影响在这里，我们将c=0设置为仅考虑风险规避的影响。我们直接应用命题8计算封闭形式的近似最优交易速度。图4右面板中显示的U路径与前一示例中未受影响的路径相同。也就是说，两个布朗运动的实现是相同的，但由于交叉价格影响，实际路径是不同的。在这个例子中，差异的大小是难以察觉的。在本例中，风险规避的一般效果是以渐进的方式在交易资产集中做空头寸，然后在交易期的一段时间内回购该头寸，并以接近零的库存结束。当支付为看涨期权且两种资产具有正瞬时相关性时，风险厌恶型代理人预计会出现这种情况。短期头寸倾向于减少总体持有量（包括交易资产和期权）的可变性。如果我们将图4中的结果与图2中的结果进行比较，我们会发现风险规避的影响与交叉价格影响的影响相反。积极的交叉价格影响参数促使代理人在交易资产中获得多头头寸，而风险厌恶总是会激励做空。此外，代理人希望卖空的金额取决于她对期权最终是否会变成金钱的可能性的估计。如果期权很可能以金钱收场，那么她将获得更大的空头头寸。如果U的走势使代理人非常确信期权将到期，那么她将提前停止空头头寸的收购，并在交易期结束时以零库存为目标进行交易。

这两个极端相反0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2-1.5-1-0.500 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1-0.500.511.50 0.2 0.4 0.6 0.8 178910111213图4：5条模拟U路径的代理最佳库存位置随时间变化。左侧面板显示代理的库存位置。中间的面板显示代理的交易速度。右侧面板显示了非交易风险因素的价值。根据UT的最终值选择颜色（较大值为红色，较小值为蓝色）。除c=0和γ=10外，其他模型参数与图2中的参数相同-3。-0.25-0.2-0.15-0.1-0.05 0010020030004005006 8 10 12 14-0.25-0.2-0.15-0.1-0.050图5：代理行终端库存的分布和终端库存对非交易风险因素终端价值的依赖性。参数与图4中的参数相同。模拟次数isM=10000。通过比较图4中以最高点和最低点结束的两条价格路径，可以看到结果。其余路径具有中间行为。同样值得注意的是，库存头寸的变化在交易期的中间点最大。4.2.3. 风险规避和交叉价格影响的同时效应当交叉价格影响和风险规避的影响存在时，考虑策略的行为是有意义的，因为这些影响往往相互对立。图6显示了当存在交叉价格影响和风险规避时的交易策略和相关库存路径。我们看到发生的抵消效应组合，即0.0.2 0.4 0.6 0.8 1-4-3-2-1010 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20-1001020300 0.2 0.4 0.6 0.8 178910111213图6：5条模拟U路径的代理最佳库存位置随时间变化。左侧面板显示代理的库存位置。中间的面板显示代理的交易速度。

右侧面板显示UT的值。根据UT的最终值选择颜色（较大值为红色，较小值为蓝色）。除c=10外，其他模型参数与图2中的参数相同-3和γ=2·10-3.-0.2 0.2 0.4 0.6 0.80500100015006 8 10 12 14-0.500.51图7：代理商终端库存的分布和终端库存对UT的依赖性。参数与图6中的参数相同。模拟次数为M=10000。代理人在大部分交易期间获得空头头寸以降低风险，但与其清算该头寸，不如在到期前获得多头头寸，如果她确信期权将在货币中到期。两个扩展参数的抵消作用也会导致有趣的行为，即代理库存随时间的分布。许多交易预期收益和风险或交易惩罚的算法在交易期的终点具有最低的方差（由于代理知道他们的库存是什么，所以在时间0时方差将为零）。由于各种原因，如交易目标已被收购或即将被收购，或由于非零库存头寸在夜间不受欢迎，通常预计交易期结束时会出现较低的差异。图8显示了代理库存的样本平均值和标准偏差随时间的变化。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-3-2-1010 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81图8：交易期间代理库存的样本平均值和标准偏差。参数与图6中的参数相同。模拟次数为M=10000.5。结论我们解决了经纪人暴露于无法直接交易的风险因素的问题。代理人可以交易与风险因素相关的资产，以减少风险敞口。

此外，代理人的交易会对交易资产的近期和未来价格以及非交易风险因素的未来价值产生影响。当对因子的敞口为线性时，我们求解代理人的价值函数和最优交易策略的封闭形式。这种封闭形式由几个术语组成，这些术语说明了代理人如何交易两种资产头寸组合的风险和回报。当非交易风险因素的敞口具有非线性依赖性时，我们导出了代理人价值函数的近似值，该函数在交叉价格影响和风险规避参数较小时成立。此外，通过对这种扩展近似的观察，我们可以断言，代理人有一个简单的交易策略（以封闭形式），这也是最优策略的近似值。考虑到当因子风险敞口为线性且将非线性风险敞口解释为写在非交易风险因子上的欧式期权时的最佳交易策略，代理人应在时间t进行交易，就好像她持有的非交易风险因子的多个单位等于期权的deltaat时间t。扩展参数，交叉价格影响和风险规避，以质的不同方式影响最佳交易策略，导致多头或空头头寸，取决于哪种影响更强。校对附录A：第3节（线性曝光）6.1的校对。命题1的证明HJB方程的终端条件形式和系数表明，我们使ansatz H（t，x，q，S，U）=-e-γ（x+qs+nu+h（t，q））。将表达式代入HJB方程，以获得满足h（t，q）的方程：th+supνν qh公司-kν+uq+b qν-σγq+（β+cν）N-ηγN- ρσηγN q= 0，（42）受终端条件h（T，q）=-αq。

上确界在ν处获得*=2千(qh+b q+c N）。（43）将最优控制代入方程（42），写出以下非线性PDE：th+uq-σγq+βN-ηγN- ρσηγN q+(qh+b q+c N）4 k=0。（44）再次，根据系数的形式和h的终端条件，我们提出以下形式：h（t，q）=h（t）+h（t）q+h（t）q。（45）将此形式替换为方程（44），并按q的类似幂分组，得到以下方程组：h（t）+βN-ηγN+4 k（h（t）+c N）=0，（46a）h（t）+u- ρσηγN+2 k（h（t）+c N）（2 h（t）+b）=0，（46b）h（t）-σγ+4 k（2 h（t）+b）=0，（46c），受终端条件h（t）=0、h（t）=0和h（t）=-α. 方程（46c）是非耦合的，属于Riccati类型，可以显式求解。可以检查（11c）给出的解，可以将其替换为方程（46b），并且可以检查（11b）给出的方程的解。6.2. 定理2的证明给出了命题1中候选解的显式形式，将方程（45）中的h插入到（43）中，使得ν*（t，q）=2 k（c N+h（t）+（2 h（t）+b）q）。假设4 ii）（回忆：2α- b>0）表示手兔有界，因此ODEdQν*t=ν*tdt有一个针对所有t的解决方案∈ [0，T]。要证明（13）给出的解是简单而乏味的。解Qν*它是确定性的，因此它是有界的，所以是ν*t=ν*（t，Qν*t） ，thusRT（νu）du<+∞. 因此，由于相关HJBequation的解是经典的，反馈形式策略是可接受的，因此该策略确实是我们寻求的，命题1中的解确实是值函数。6.3.

命题3的证明将t=κt代入方程（13）并执行一些初等代数以获得qν*κT=ζk（φ-- φ++4ω+c Neωk（κ-1） T型- e-ωk（κ+1）Tφ++φ-e-2ωkT-ζk2ωφ+e-ωkκT+φ-e-ωk（2-κ） Tφ++φ-e-2ωkT- 1.+ Qφ+e-ωkκT+φ-e-ωk（2-κ） Tφ++φ-e-2ωkT.回想一下，ω=qkγσ和φ±=ω±αb、 我们假设2α-b>0。当我们限制κ∈ （0，1），如T→ ∞ 上面每个分数的分子和指数项都变为零，分母变为ω+α-b> 0。剩下的唯一一个术语giveslimT→∞Qν*κT=ζk2ω=u-γρσηNγσ，根据需要。类似地，作为k↓ 0分子接近零，分母接近α- b/2>0。还有一个术语givinglimk→0Qν*κT=limk→0ζk2ω=u-γρσηNγσ。附录B：第4节（非线性暴露）的证明本节中的三个主要证明（定理6和7以及命题8）都分为多个部分。每个证明的主要组成部分是执行近似定位论证。这些步骤是通过将伊藤引理应用于值函数的候选近似，其中底层过程由最优控制的候选近似控制。然后，所需的近似结果相当于限制相对于最优性的误差大小，并表明该误差以适当的速率趋于零。定理6中的验证表明，我们的候选值函数近似精度高达二阶。定理7和命题8中的验证表明，就我们两个候选控制的性能标准而言，置信近似精确到二阶。结合这些结果意味着，这些性能基准也可以精确到值函数的二阶。6.4. 定理6的证明分两部分进行。