分位数套期保值问题的一种数值格式

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英文标题：
《A numerical scheme for the quantile hedging problem》
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作者：
Cyril B\\\'en\\\'ezet, Jean-Fran\\c{c}ois Chassagneux, Christoph Reisinger
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider the numerical approximation of the quantile hedging price in a non-linear market. In a Markovian framework, we propose a numerical method based on a Piecewise Constant Policy Timestepping (PCPT) scheme coupled with a monotone finite difference approximation. We prove the convergence of our algorithm combining BSDE arguments with the Barles & Jakobsen and Barles & Souganidis approaches for non-linear equations. In a numerical section, we illustrate the efficiency of our scheme by considering a financial example in a market with imperfections.
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中文摘要：
我们考虑非线性市场中分位数套期保值价格的数值近似。在马尔可夫框架下，我们提出了一种基于分段常数策略时间步（PCPT）格式和单调有限差分近似的数值方法。我们将BSDE参数与Barles&Jakobsen和Barles&Souganidis方法相结合，证明了算法的收敛性。在数值部分，我们通过考虑一个存在缺陷的市场中的金融例子来说明我们的方案的有效性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computational Engineering, Finance, and Science        计算工程、金融和科学
分类描述：Covers applications of computer science to the mathematical modeling of complex systems in the fields of science, engineering, and finance. Papers here are interdisciplinary and applications-oriented, focusing on techniques and tools that enable challenging computational simulations to be performed, for which the use of supercomputers or distributed computing platforms is often required. Includes material in ACM Subject Classes J.2, J.3, and J.4 (economics).
涵盖了计算机科学在科学、工程和金融领域复杂系统的数学建模中的应用。这里的论文是跨学科和面向应用的，集中在技术和工具，使挑战性的计算模拟能够执行，其中往往需要使用超级计算机或分布式计算平台。包括ACM学科课程J.2、J.3和J.4（经济学）中的材料。
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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PDF下载：
--> A_numerical_scheme_for_the_quantile_hedging_problem.pdf (671.43 KB)

2022-6-25 05:12:40 上传

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关键词：套期保值 分位数 Applications Quantitative Mathematical

分位数套期保值问题的数值格式Cyril B'en'ezet*, Jean-Fran,cois Chassagneux*, Christoph Reisinger+2019年3月5日摘要我们考虑非线性市场中分位数套期保值价格的数值近似。在马尔可夫框架下，我们提出了一种基于分段常数策略时间步（PCPT）格式和单调有限差分近似的数值方法。我们将BSDE参数与Barles&Jakobsen和Barles&Souganidis方法相结合，证明了算法的收敛性。在数值部分，我们通过考虑一个存在缺陷的市场中的财务示例来说明我们的方案的有效性。关键词：分位数套期保值，BSDEs，单调近似模式1引言在这项工作中，我们研究了在可能存在一些缺陷的市场中，欧洲未定权益分位数套期保值价格的数值近似。量化套期保值问题是一类更广泛的近似套期保值问题的特例。它包括确定投资组合的最低初始捐赠，使其能够以给定的成功概率p对冲欧洲债权，案例p“1对应于（超级）复制的经典问题。这种方法在F¨ollmer和Leuert[19]的工作中广受欢迎，他们在特殊环境下提供了一种封闭形式的解决方案。第一个PDE特征由[8]介绍在一个可能不完全的市场环境中，投资组合受到限制。自这项工作以来，考虑了各种扩展：跳跃动力学[25]；百慕大案【6】和美国案【16】；至非马尔可夫环境【7，15】；以及有限数量的分位数约束[9]。除【6，9】外，上述所有工作都具有理论性质。

lackof为这些问题建立的数值方法是我们研究的明确动机。*法国巴黎迪德罗大学数学与LPSM研究所，索菲·日尔曼研究所，8 placeAur\'elie Nemours，75013 Paris，France(benezet@lpsm.paris, chassagneux@lpsm.paris)+牛津大学数学研究所，牛津伍德斯托克路，OX2 6GG，英国（克里斯托夫。reisinger@maths.ox.ac.uk)我们现在更详细地介绍了分位数套期保值问题以及本文介绍和研究的新的数值方法。关于完全概率空间pOhm, F、 Pq，我们考虑一个d维布朗运动pWtqtPr0，T，由pFtqtPr0表示，T是自然过滤。我们假设所有的随机性都来自布朗运动，并假设F“FT.Letu：Rd尼Rd，σ：Rd尼MdpRq，其中MdpRq是具有实项的d^d矩阵集，f:r0，T s^Rd^R^Rd尼R是Lipschitz连续函数，具有Lipschitz常数L。对于表示可预测平方可积过程集的pt，x，yq P r0，T s^Rd^R和νP H，我们考虑以下随机微分方程的解pXt，x，y，νq：Xs“x`zstupXuq du`zstσpXuq dWu，Ys“yzstfpu，Xu，Yu，νuq duzstνudWu，s P rt，T s。在我们正在考虑的金融应用中，X通常代表风险资产的对数价格，控制过程ν是风险资产的投资金额，函数f是非线性的，可以考虑模型中的一些市场缺陷。一个典型的金融示例，将在n数值部分如下：示例1.1。潜在的差异X是一个一维布朗运动，具有常数漂移uP R和波动率σa0。有一个固定的借贷利率R和一个有RěR的借贷利率R。

在这种情况下，函数f由以下公式给出：fpt，x，y，zq“'ry'σ'1uz'pR'rqpy'σ'1zq'。分位数对冲问题对应于以下随机控制问题：对于pt，x，pq P r0，T s^Rd^r0，1s findvpt，x，pq：“inf！yě0：DνP H，P'Yt，x，y，νTěgpXt，xTq'P）。（1.1）本文的主要目的是设计一个数值程序，通过离散[8]中首次导出的相关非线性偏微分方程来近似函数v。推导该偏微分方程的一个关键点是，通过引入一个表示条件成功概率的新控制过程，可以将上述问题重新表述为经典的随机目标问题。为此，对于αP H，我们表示pt，P，αs：“p`zstαsdWs，tdsdt，并通过At，pα集，使得Pt，p，α¨p r0，1s。问题（1.1）可以重写为vpt，x，pq：“inf！yě0：Dpν，αq p pHq，Yt，x，y，νtěgpXt，xTq1tPt，p，αta0u”（详情参见[8]中的命题3.1）. 在我们的框架中，上述奇异随机控制问题允许用非线性期望表示，由反向随机微分方程（BSDE）、vpt、x、，pq“infαPAt，pYαt（1.2），其中pYα，Zαq是解决方案玩具αs”gpXt，xTq1tPt，p，αta0uzTsfps，Xs，Yαs，Zαsq ds'TsZαsdWs，tdsdt。文章[7]对前面的表示进行了调整，并证明了一般设置中控制问题的动态编程原理。在马尔可夫设置中，这自然会导致r0中v的以下PDE，t q^Rd^第1季度：“'BtИ'Supaprdfat，x，Д，DД，DДq”0“（1.3）其中对于pt，x，yq P r0，T s^Rd^R`，q：“qxqp'P Rd` 1和A：“AxxAxpAxpJApp'P Sd` 1，AxxP Sd，表示：'pt，x，y，q，Aq，we DEFINEFAPΞ：'f pt，x，y，zpx，q，aqq，aqq\'Lpx，q，A，Aq，（1.4）带zpx，q，Aq：“qxσpxq\'qpa，（1.5）Lpx，q，A，Aq：“upxqJqx\'Tr”σpxqσpxqJAxx‰`A | App ` aJσpxqJAxp。

（1.6）（1.3）中的偏微分方程公式并不完全正确，因为上确界部分可能退化，需要使用半极限松弛来进行严格的数学计算。我们参考了[8]，其中它是在更一般的上下文中获得的。我们将在第2节开头给出的“自然”PDE公式（1.3）中使用替代PDE公式。此外，值函数v在p变量中持续满足以下边界条件：vpt，x，0q“0和vpt，x，1q”V pt，xq on r0，T s^p0，8qd，（1.7）其中，V是或有债权的超级复制价格，支付gp¨q。还知道，V具有T^T的不连续性。通过定义，最终条件为d^r0，1s q px，pqThnigpxq1pa0P R\'，但连续获得的值是通过换算得到的，即vpt'，x，pqr`。第“pgpxq在Rd^r0，1s，（1.8）上，从现在起，我们将在t”t处处理此终端条件。为了设计近似v的数值格式，我们使用以下策略：1.将控制α取其值的集合绑定并离散化。2.考虑相关的分段常数策略时间步（PCPT）控制过程的方案。3、使用单调有限差分格式，在时间和空间上近似1得出的CPT解。&2、【23】首先分析了政策在时间上分段恒定的受控扩散过程的近似值；在【24】中，该程序与离散过程的马尔可夫链近似结合使用，以构建相关Bellman方程的完全离散近似方案，并推导其收敛阶。

最近，通过使用Krylov的原始概率技术，在[22]中显示了从[23]到收敛顺序的改进。使用偏微分方程的纯粘性解参数，在[3]中导出了此类近似的误差界，对于控制近似方案，误差界弱于[23]中的误差界，但对于完全离散方案，误差界有所改善。在【27】中，使用【3】中介绍的切换系统近似，证明了广义格式的收敛性，其中线性偏微分方程在不同网格上逐段时间求解，并且在时间间隔结束时使用可能的非单调高阶插值进行控制优化。[27]中的分析扩展到跳跃过程和非线性预期，见[17]。我们的第一个贡献是证明步骤1中构建的近似值。和2。以上是分位数套期保值问题的收敛性，与上述工作中考虑的设置相比，分位数套期保值问题有很大的新困难。为此，我们严重依赖（2.1）中公式的比较定理，并利用近似序列的单调性。主要的新困难来自于PDE的非线性形式，包括无界控制，尤其是p变量的边界。为了特别处理后者，我们依赖于BSDE的一些精确估计来证明方案的一致性，包括强边界条件（见引理2.2和引理2.3）。我们的第二个贡献是在步骤3中设计单调方案。并证明其收敛性。这里的主要困难来自于新项的非线性，新项来自于梯度中BSDE的驱动因素，再加上（1.6）中给出的扩散算子的简并性，以及p中域的有界性。

尤其需要仔细分析边界条件的一致性（见第3.4节）。据我们所知，这是这一非线性市场规范中分位数Hedging问题的第一种数值方法。在线性市场环境中，使用双重方法，[6]将线性偏微分方程的解与芬奇Legendretransforms相结合，以解决百慕大分位数套期保值问题。由于非线性的存在，他们的方法不能直接适用于这里。非线性设置的对偶方法会对f参数施加一些凸性假设，并且需要求解完全非线性的偏微分方程。注意，这里只要求f在py，zq中是Lipschitz连续的。我们认为，替代我们的方法的一个有趣的选择是将[5]的工作扩展到我们这里考虑的非线性市场环境。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们推导了与第1项相关的控制近似和PCPT方案并证明其一致性。在第3节中，我们提出了一种单调有限差分近似，该近似可收敛到半离散PCPT格式。在第4节中，我们给出了一个具体应用的数值结果，并分析了观测到的收敛性。最后，附录包含了一些更长、更具技术性的证明，并收集了本文中使用的有用的背景结果。符号diagpxq是尺寸为d的对角矩阵，其对角线由x给出。让我们用S表示半径为1的Rd\'1中的球体，用d表示向量集ηP，其第一分量η“0。对于向量ηP SzD，我们表示η：“ηPη，…，ηd\'1qJP Rd。

通过扩展，我们表示，对于ZASzD，Z：“tηP Rd |ηP Zu。我们用BC表示：“Lpr0，t s，CpRd^r0，1sqq，即函数u的空间，这些函数在时间上本质上是有界的，并且相对于它们的空间变量是连续的。这里考虑的Cpr0，t s^Rdq中的收敛是局部一致收敛。2离散时间模式的收敛在本节中，我们设计了一个分段常数策略时间步（PCPT）收敛于1.2中定义的值函数v的模式。[5]之后，已在[10]中证明，函数v相当于以下PDE的粘度解（见[10]中的定理3.1和3.2））：Hpt、x、Д、BtД、DД，Dхq“0（2.1）in p0，T q^Rd^p0，1q，其中H是连续运算符hpΘq”supηPSHηpΘq，（2.2）其中pt，x，y，bq p r0，T s^Rd^R，q：“^qxqp˙p Rd\'1 and a：”AxxAxpAxpJApp˙PSd\'1，andΘ：“pt，x，y，b，q，Aq，we de de de定义ηpΘq“pηq'''b'fpt，x，y，zpx，q，ηqq'Lpx，q，a，ηq'，用于ηp SzD。（2.3）还回顾了（1.5）和（1.6）中L和z的定义.这种表示及其性质是证明收敛性的关键。松散峰值，它是通过将集合t1u^rdo“紧化”到单位球面S来获得的。比较定理如[10]中的定理3.2所示。正如引言部分所述，我们将在以下假设下工作：pHq（i）函数b，σ是L-Lipschitz连续的，g是有界的，Lg是Lipschitz连续的。（ii）函数f是可测量的，对于所有的t P r0，t s，f pt，¨，¨，¨q是L-Lipschitz连续的。对于所有pt，x，zq P r0，T s^Rd^Rd，函数yTh~nfpt，x，y，zq正在减小。此外，fpt，x，0，0q“0。（2.4）在上述Lipschitz连续性假设下，映射Szd QηTh~nHηpΘQ p rex通过设置连续趋向于S，对于所有ηp D，HηpΘQ”App，请参见[10]中的备注3.1。备注2.1。

（i） 在pHq（ii）中，单调性假设不是一个限制，因为在Lipschitz框架中，经典变换vpt，x，pq：“eλtvpt，x，pq表示λlargeenough允许达到该设置；详情见【10】中的备注3.3。（ii）条件（2.4）是一个合理的财务建模假设：它表示，在初始财富为零的市场上起步，不进行投资将导致财富过程的零价值。（iii）因为f是递减的，g是有界的，所以很容易看到| V | g |，其中是超级复制价格。2.1离散控制集为了引入近似（2.1）–（1.8）的解v的离散时间方案，我们首先对控制集S进行离散化。让pRnqně1b是SzD闭子集的递增序列，使得dně1Rn“S。（2.5）对于ně1，让vn:r0，T S^Rd^r0，1sИR是以下PDE的唯一连续粘度解：Hnpt，x，Д，Bt，DД，DДq“0，（2.6）满足边界条件（1.7）-（1.8），见推论6.1。在上面算子hn自然由hnpΘq给出：“supηPRnHηpΘq。（2.7）命题2.1。函数vn在Cpr0，T s^Rdq.Proof.1中收敛到v。对于nan，我们观察到vn是（2.6）as RnARn的超解。使用命题6.1的比较结果，我们得到vněvn。同样，使用比较原理（[10]，定理3.2），我们得到vněv，对于所有ně1。对于所有pt、x、pq P r0、T s^p0、8qd^r0、1s，let:vpt、x、pq“limj~n8sup”VNP、y、qq:něj和}ps、y、qq'pt、x、pq}j*，（2.8）vpt、x、pq“limj~n8inf”vnps、y、qq:něj和}ps、y、qq'pt、x、pq}j*。

（2.9）从上述讨论中，回顾vand v是连续的，我们有věvěvěv，这表明v和v满足边界条件（1.7）-（1.8）。为了证明这个定理，只要证明v是（2.1）的粘性子解，v是粘性上解（后面跟的一样，所以省略了）。然后，比较原理（[10]，定理3.2）暗示了v“v”v，并且从[12]，注释6.4中可以看出，收敛vn~nv as n~n8是每个紧集上的均方根。使用[1]中的定理6.2，我们得出v是p0，tq^p0，8qd^p0，1q上的hpt，x，ν，Bt，DД，DДq”0的子解，其中hpΘq“limj~n8inf“HnpΘq:něj和}Θ}j*。在下一步中，我们证明了H”H，这是命题的证明。2.让我们用Pn:SΘSn表示闭集Sn上的最近邻投影。从（2.5）中，我们得到了所有ηP S的limn~n8Pnpηq“η。我们还得到了hpΘq”HηPΘqf或一些ηP argmaxηPSHηPΘ当S是紧的时，q。现在让我们引入ηn：“Pnpηqand by continuous of H，we have HηnpΘqΘHpΘq。we还观察到HηnpΘqdHnpΘqdHpΘq。这证明了HnpΘq`OHpΘq对于所有Θ的收敛性。由于H是连续的，我们使用Dini定理得出结论，在紧子集上的收敛是一致的，从而导致“H.l2.2从现在开始，我们定义了ně1和相关的离散控制集。对于pt、x、yq Pr0、T s^Rd^R`、q P Rd` 1和P Sd` 1，表示Ξ：“pt、x、y、q、Aq，我们定义了fnpΞq”supaPRnFapΞq：“'f pt，x，y，zpx，q，aqq'Lpx，q，A，aq。根据附录中推论6.1的证明，我们很容易观察到vnis也是在r0，T q^Rd^p0，1q（2.10）上具有相同边界条件（1.7）–（1.8）的'BtИ'Fnpt，x，ν，DД，DД，DДq”0的唯一粘度解。上述PDE是以更经典的方式编写的，我们将在后继中主要考虑这种形式。