隐含波动率曲面的深度平滑

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英文标题：
《Deep Smoothing of the Implied Volatility Surface》
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作者：
Damien Ackerer, Natasa Tagasovska, Thibault Vatter
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We present a neural network (NN) approach to fit and predict implied volatility surfaces (IVSs). Atypically to standard NN applications, financial industry practitioners use such models equally to replicate market prices and to value other financial instruments. In other words, low training losses are as important as generalization capabilities. Importantly, IVS models need to generate realistic arbitrage-free option prices, meaning that no portfolio can lead to risk-free profits. We propose an approach guaranteeing the absence of arbitrage opportunities by penalizing the loss using soft constraints. Furthermore, our method can be combined with standard IVS models in quantitative finance, thus providing a NN-based correction when such models fail at replicating observed market prices. This lets practitioners use our approach as a plug-in on top of classical methods. Empirical results show that this approach is particularly useful when only sparse or erroneous data are available. We also quantify the uncertainty of the model predictions in regions with few or no observations. We further explore how deeper NNs improve over shallower ones, as well as other properties of the network architecture. We benchmark our method against standard IVS models. By evaluating our method on both training sets, and testing sets, namely, we highlight both their capacity to reproduce observed prices and predict new ones.
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中文摘要：
我们提出了一种神经网络（NN）方法来拟合和预测隐含波动率曲面（IVS）。与标准NN应用程序不同，金融业从业人员同样使用此类模型来复制市场价格并对其他金融工具进行估值。换句话说，低训练损失与泛化能力同样重要。重要的是，IVS模型需要生成现实的无套利期权价格，这意味着任何投资组合都不能带来无风险利润。我们提出了一种方法，通过使用软约束惩罚损失，确保没有套利机会。此外，我们的方法可以与定量金融中的标准IVS模型相结合，从而在此类模型无法复制观察到的市场价格时提供基于神经网络的修正。这让实践者可以将我们的方法用作经典方法之上的插件。实证结果表明，当只有稀疏或错误的数据可用时，这种方法特别有用。我们还量化了观测很少或没有观测的区域中模型预测的不确定性。我们进一步探讨了更深层次的NNs如何优于浅层次的NNs，以及网络体系结构的其他特性。我们将我们的方法与标准IVS模型进行比较。通过评估我们在训练集和测试集上的方法，即，我们强调了它们再现观察价格和预测新价格的能力。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Machine Learning        机器学习
分类描述：Papers on all aspects of machine learning research (supervised, unsupervised, reinforcement learning, bandit problems, and so on) including also robustness, explanation, fairness, and methodology. cs.LG is also an appropriate primary category for applications of machine learning methods.
关于机器学习研究的所有方面的论文（有监督的，无监督的，强化学习，强盗问题，等等），包括健壮性，解释性，公平性和方法论。对于机器学习方法的应用，CS.LG也是一个合适的主要类别。
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Machine Learning        机器学习
分类描述：Covers machine learning papers (supervised, unsupervised, semi-supervised learning, graphical models, reinforcement learning, bandits, high dimensional inference, etc.) with a statistical or theoretical grounding
覆盖机器学习论文（监督，无监督，半监督学习，图形模型，强化学习，强盗，高维推理等）与统计或理论基础
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PDF下载：
--> Deep_Smoothing_of_the_Implied_Volatility_Surface.pdf (4.63 MB)

2022-6-25 06:13:44 上传

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关键词：波动率 Practitioner Quantitative Applications Architecture

隐含波动率的深度平滑化浮出水面，AckererRubszürich，Switzerlanddamien。ackerer@epfl.chNatasa瑞士洛桑TagasovskaSwiss数据科学中心。tagasovska@sdsc.chThibaultVatterDepartment of Statistics哥伦比亚大学纽约分校，USAthibault。vatter@columbia.eduAbstractsurfaces（IVSs）。与标准的神经网络应用不同，金融行业的期权价格是无风险的，这意味着任何投资组合都无法与标准的IVS模型在定量金融中结合，从而在此类模型无法复制观察到的市场价格时提供基于神经网络的校正。这让sPractitioners将我们的方法用作经典方法之上的插件。经验结果表明，这种方法在只有稀疏或错误区域且观测很少或没有观测的情况下特别有用。我们进一步探索了更深层次的NNs如何改进训练集和测试集，即，我们强调了它们产生观察价格和预测新价格的能力。1简介隐含波动率面（IVS）是计算经纪人保证金要求、做市商报价、量化衍生品价格和交易员策略头寸的关键输入。在没有报价的情况下，通常缺乏灵活复制市场价格和对其他工具进行估价的能力。纠正任何标准型号产生的IVS。这让实践者可以在现有方法的基础上插入我们的方法，同时在灵活性和计算复杂性之间进行前所未有的权衡。

这一问题最初是由一家金融机构提出的，该机构愿意改进其现有的解决方案，该方法的一个版本正由一家金融机构在生产中进行测试，其中数千个模型全天不断更新，并用作各种定量工具的输入。第34届神经信息处理系统会议（NeurIPS 2020），加拿大温哥华。arXiv:1906.05065v3【q-fin.PR】2020年10月26日了解金融市场的复杂动态。ML社区继续构建更好的工具并理解深层模型。但利用特定Brid模型的领域专业知识。我们的应用侧重于期权，但同样的方法也可以同样应用于其他金融问题。问题设置和背景背景。在预定日期（到期日）以预定价格（履约价格）购买的商品。给定有限数量的观测，对整个曲面进行归一化。这种结构允许以一致的方式将IVS用作金融衍生品定价的输入，从而实现有效的风险管理。然后值得注意的是，一些常用的模型，如SABR[]和，与实际场景相矛盾。简短的文献回顾。在科学和工业方面，金融应用也受到了影响[，，，]。Deeptrain是一种无套利模式。广泛的特定领域知识已建立在IVS的基础上。在这项工作中，我们将对[]中衍生的IVS使用无套利约束，随后在[]中重新定义，见附录A.1。捐款摘要。我们提出了一种新的方法来校正、插值和外推。数字实验表明，我们的方法恰当地捕捉了标准optionsoft约束的特征，通常有助于降低拟合误差和收敛速度。

类似的结果学习有助于在插值和外推中生成更好的波动率曲面。新颖性和重要性。由于期权和相关衍生工具是活跃的交易所交易合约，因此IVS的模型。这项工作的主要目标是弥合传统可靠、计算效率高的期权定价框架之间的现有差距。这项工作是第一项通过同行评审发布的工作，以使用软约束来指导IVS深度神经网络模型的培训。之前使用的期权价格曲面上的约束要求在每个训练神经网络组件和标准模型组件上进行额外的转换。纸张结构。定价模型、隐含波动率模型、实验以及其他结果可以在在线附录中找到。2背景和目标2.1隐含波动率面π（K，τ）τ>0K≥ 在不丧失一般性的情况下，我们假设初始股价isS，利率和股息收益率δ为常数。用C（·）表示Black-Scholes公式，namelyC（S，σ，r，δ，K，τ）=S-ΔτΦ（d+）- e-rτKΦ（d-), （1） 其中D±=（对数（S/K）+（r-δ)τ)/(σ√τ) ±(1/2)σ√τ.有关此公式的更多详细信息，请参见附录A.2。本文的主要目的是对隐含波动率进行建模，其定义如下。定义2.1隐含波动率σ（k，τ）>0由方程π（k，τ）=C（S，σ（k，τ），r，δ，k，τ），（2）（远期）对数货币量k=对数（k/Se（r-δ)τ). 隐含波动率面由σ（k，τ）表示∈ R和τ>0。解读IVS形状。对于固定的τ>0，σ（k，τ）与k∈ Rde定义了波动性微笑。如果英里呈U形，则原木返回（ST/ST）分布的尾部比尾部厚。返回分布比其他分布厚。

例如，如果微笑的左侧是固定τ的一片曲面，比右侧陡峭，那么原木价格更有可能经历市场条件的重要变化。2.2之后，Aribtrage自由表面梯度大于或等于零，且未来具有严格正值的非零概率。换言之，套利不需要任何成本来实现，而只提供了一种有利的方式，即他们的买入价格面π（K，T）不可能实现这种策略。附录A.3中描述了标准静态套利机会。π（K，T）σ（K，τ）表示这些条件，我们定义σ（K，τ），ω（K，τ）=σ（K，τ）τ的总方差。（3） 命题2.2[48]S>0r=δ=0ω：R×[0，∞) 7.→ Rω满足以下条件：C1）（正）对于每k∈ R和τ>0，ω（k，τ）>0。C2）（到期价值）每k∈ R、 ω（k，0）=0。C3）（光滑度）对于每个τ>0，ω（·，τ）是二次可微的。C4）（τ中的单调性）对于everyk∈ R、 ω（k，·）是非递减的，`cal（k，τ）=τω（k，τ）≥ 0，我们写的地方τ表示/τ.C5）（Durrleman条件），每τ>0和k∈ R、 `但是（k，τ）=1.-kkω（k，τ）2ω（k，τ）-kω（k，τ）ω（k，τ）++kkω（k，τ）≥ 0，我们写的地方驻科部队/k和kkfor公司/(kk） C6）（大额行为）对于每个τ>0，σ（k，τ）对于k是线性的→ ±∞.然后，生成的看涨期权价格面没有静态套利。C1）和C2）是任何合理模型必须满足的必要条件。对于C3），当且仅当看涨期权价格面不存在日历价差（黄油价格）套利[]时，满足的是Merelyasuming C3）、C4）（分别为C5和C6））。

C6）可通过施加σ（k，τ）/| k |<2当k→ ±∞ 为了保证高阶隐含矩的存在，请参见[40，7]。备注2.3r=δ=0C4）–C5）–C6），参数非零，远期对数货币性k在定义2.1.2.3问题公式数据可用性中定义。实际上，可能需要验证市场数据。这可能是因为各种市场数据通常是稀疏的，远离资金，密集的，接近资金。事实上，远远超出预期的通常是围绕资金的合同的更多需求和供应。命题2.2的建模目标σ（k，τ）和（III）以受控方式推广到未观测到的数据区域。3方法学3.1模型和损失函数解释变量和目标变量。在给定时间，我们观察到三联体（σi，ki，τi）∈ i其中σii是市场隐含波动率（目标/响应），和（ki，τi）是对数货币和达到（ki，τi）的时间∈ IC45∪ IC6behavior（参见第3.2节）。隐含波动率模型。我们的总方差和隐含波动率模型由ωθ（k，τ）=ωnn给出k、 τ；θ×ω先验k、 τ；θσθ（k，τ）=pωθ（k，τ）/τ（4）θ={θ，θ}ωnnω先验模型。ωprior:R7→ Rθω先验≡ 1ωθ≡ ωn确保模型泛化符合规定的首选行为。本质上，曲面的倾斜。附录B.1和B.2分别描述了这两种模型。NN型号。ωnn:R7→ R是一个标准的前馈多层神经网络，即ωnn（k，τ；θ）=n+1i=1fWi，bii（k，τ）和fi（x）=gi（Wix+bi）i<n+1α（1+tanh（Wn+1x+bn+1））i=n+1（5）giθ={W，b，W，b，…，α}αωnn[0，α]n1+tanhtake输出值1，通过设置α=1和Wn+1=bb+1=0，这是无nn校正。损失函数。我们通过最小化损失函数L（θ）=L（θ）+Xj=1λjLCj（θ）（6）L（θ）LCj（θ）j=1。

，6{ωθ（k，τ）；（k，τ）∈ R×R+}隐含波动率面，且λiforj=1，6是相应的惩罚权重。请注意，先前模型的一些参数也可以进行校准。我们假设预测误差为均方根误差（RMSE）和平均绝对百分比误差（MAPE）之和，L（θ）=s1/| I | X（σI，ki，τI）∈I（σI- σθ（ki，τi））+1/| i | X（σi，ki，τi）∈I |σI- σθ（ki，τi）|/σi，以惩罚绝对和相对误差。远离货币的IV值可以在不同货币之间平衡分配预测误差。关于映射ωθ的备注3.1（软约束与硬约束）是将它们硬连接到神经网络架构中，如[]中所示。神经网络的灵活性，并可能导致更具挑战性的学习程序，见【46】。3.2无套利条件和合成网格我们解释了如何通过重新定义（6）条件C1–C2）原则上通过神经网络的设计满足来处理命题2.2中的每个约束/条件。映射ωθ是twicegign+1可微的，在这种情况下c3）是可满足的。有效激活函数的一个例子是ln（1+exp（x））驱动的软脉冲。因此，我们设置了LC1≡ LC2≡ LC3≡ 对于其他三个约束，我们控制LC4（θ）=1/| IC45 | P（ki，τi）的o日历套利∈IC45max（0，-`cal（ki，τi）），oLC5（θ）=1/| IC45 | P（ki，τi）的黄油期货套利∈IC45max（0，-`but（ki，τi）），o和LC6（θ）=1/| IC6 | P（ki，τi）的渐近行为∈IC6ωθ（ki，τi）/kk,其中，45=（k，τ）：k∈x： x个∈- (-2kmin）1/3，（2kmax）1/3, τ ∈ TIC6=（k，τ）：k∈6kmin、4kmin、4kmax、6kmax, τ ∈ TT型=exp（x）：x∈对数（1/365），最大值（对数（τmax+1））我们推测，也可以使用带有调整约束条件的ReLU激活函数。kmin=min（Ik）kmax=max（Ik）τmax=max（Iτ）[a，b]xxabIτIkmoneyness inI。请注意，它应该始终是最小（Ik）<0和最大（Ik）>0。

上述转换的动机是为了在货币周围获得更密集的网格，并用于短期到期。上述集合的特定参数选择似乎并不重要，只要它们足够敏感并覆盖感兴趣的区域。请注意，losslc6保证ω是渐近线性的，原则上应定义为在实际中仅与有限货币一起工作，并且对较大但有限的货币值施加渐近条件可能会不必要地约束模型。3.3模型培训培训程序和参数选择分别在附录C.1.4结果附录C.2和C.3中详细描述。对于某些λ，我们总是设置λ=λ=λ=λ≥ 0.4.1数值试验平滑行为。λ=10（k，τ）σ优先于训练数据，而σθ则做得很好。最后一行的图形显示σprior和σθ（在α图形上）。由于σ优先于货币（ATM）期限结构，σθ在区域K上几乎没有修正≈ 另一方面，σθ对σpriorfor无价期权进行了重要修正。λ具有SSVI先验和软约束。事实上，IVS倾向于偏离大额对数货币软约束可以转化为不现实且可能荒谬的样本外预测。损失和收敛。（6） 每层神经元数和惩罚值λ。

对于参数λ=xxλλ，总共50个具有不同