金融学中的列维-伊藤模型

首先，我们可以分离连续项和跳跃项，并使用伊藤引理的连续版本中的熟悉公式。然后，我们可以将过程跳跃的有限和重新表示为泊松随机测度的积分，将小跳跃和大跳跃的贡献分开。结果是F（Yt）=F（Y）+ZtαsF′（Ys-) +βsF′（Ys-)ds+ZtβsF′（Ys-) dWs+ZtZ | x|∈（0,1）γs（x）F′（Ys-)~N（dx，ds）+ZtZ | x|∈（0,1）[F（Ys-+ γs（x））- F（Ys-) -γs（x）F′（Ys-)] N（dx，ds）+ZtZ | x|≥1[F（Ys-+ δs（x））- F（Ys-)] N（dx，ds）（16）由（16）给出的伊藤公式版本适用于任何L'evy伊藤过程和任何连续二次可微函数F。对于财务建模，我们需要进一步的假设。这涉及（16）的倒数第二项中隐含的小跳跃的有限和。关键是，对于金融应用程序（以及其他应用程序），我们通常需要引入包含局部鞅的构造。这意味着我们需要确保（16）中下一个到最后一个项中小j umps上的泊松随机测度的积分可以替换为补偿泊松随机测度的积分。简言之，我们希望{F（Yt）}本身是一个L'evy Ito过程有必要和充分的条件。首先我们观察到被积函数{γs（x）F′（Ys-)} 属于P{(-1，1），R+}。这确保了倒数第二个期限（16）的整数几乎肯定是有限的。实际上，如果我们乘以一个ny过程{ηt（x）}∈ P{(-1，1），R+}具有左连续适应过程{Xt}，则结果{Xtηt（x）}也位于P{(-1，1），R+}。因此，为了确保倒数第二项中的Poissonrandom测度可以得到补偿，有必要且有效地假设F和{Yt}一起为{F（Ys-+ γs（x））- F（Ys-)} ∈ P{(-1，1），R+}。

（17） 这种情况的影响是缓和小跳跃的影响，使f（Ys）的积分-+ γs（x））-F（Ys-) 很好地定义了补偿泊松随机测度。对于（17）来说，如果（a）F是有界的，或者（b）{γt（x）}是局部有界的，在这个意义上，对于所有的t>0，它保持p“sup0≤s≤tsup0≤|x |<1 |γs（x）|<∞#= 1.（18）从建模角度来看，假设（18）没有不合理的限制性，因为它简单地表示过程{F（Yt）}中的j ump对潜在L'evy过程中的小跳跃不太敏感。有了条件（17），进一步的简化会得到伊藤引理的形式，然后采用以下形式。定理2。Let{Yt}t≥0是形式（8）的L'evy Ito过程，让映射F:R→ Radmit一个连续的二阶导数，并假设（17）成立。ThenF（Yt）=F（Y）+ZtαsF′（Ys-) +βsF′（Ys-)ds+ZtβsF′（Ys-) dWs+ZtZ | x |<1[F（Ys-+ γs（x））- F（Ys-) - γs（x）F′（Ys-)] ν（dx）ds+ZtZ | x|∈（0,1）[F（Ys-+ γs（x））- F（Ys-)]~N（dx，ds）+ZtZ | x|≥1[F（Ys-+ δs（x））- F（Ys-)] N（dx，ds）。（19） 这是在Applebaum【2】、定理4.4.7以及池田和渡边【47】、定理5.1中证明的伊藤引理的版本。接下来，我们将以这种形式使用伊藤引理，在不作进一步评论的情况下做出必要的假设。我们观察到，如果{Yt}是一个L'evy-Ito过程，如果F是连续两次可微的，那么我们发现{F（Yt）}是一个L'evy-Ito过程。更详细地说，我们有（Yt）- F（Y）=ZtAsds+ZtBsdWs+ZtZ | x|∈（0,1）Cs（x）~N（dx，ds）+ZtZ | x|≥1Ds（x）N（dx，ds），（20），其中我们定义为αsF′（Ys-) +βsF′（Ys-)+Z | x |<1[F（Ys-+ γs（x））- F（Ys-) - γs（x）F′（Ys-)] ν（dx），Bs=βsF′（Ys-) , Cs（x）=F（Ys-+ γs（x））- F（Ys-) ,Ds（x）=F（Ys-+ δs（x））- F（Ys-) .

（21）特别地，它是定理2 t的结果，对于所有t≥ 0它保持不变PZt公司|As |+Bs+Z | x |<1Cs（x）ν（dx）ds<∞= 1.（22）注意，在计算中，以不同的形式写出（19）可能很有用，我们有df（Yt）=αtF′（Yt-) +βtF′（Yt-)dt+βtF′（Yt-) dWt+Z | x |<1[F（Yt-+ γt（x））- F（Yt-) -γt（x）F′（Yt-)] ν（dx）dt+Z | x|∈（0,1）[F（Yt-+ γt（x））- F（Yt-)]~N（dx，dt）+Z | x|≥1[F（Yt-+ δt（x））- F（Yt-)] N（dx，dt）。（23）示例1。作为构建定价模型的一个步骤，我们考虑了求解formdZt=Zt的随机微分方程的问题-utdt+Z | x|∈（0,1）Γt（x）~N（dx，dt）+Z | x|≥1.t（x）N（dx，dt）, （24）给定过程{ut}t≥0，{Γt（x）}t≥0，| x|∈（0,1）和{t（x）}t≥0，| x|∈[1,∞)作为输入，以及严格正的初始值Z。我们假设{ut}是可预测的，因此pZt |us | ds<∞= t为1（25）≥ 0，{t（x）}∈ P{(-1，1），R+}，和{t（x）}是可预测的。我们还假设p“sup0≤s≤tsup0≤|x |<1Γs（x）<∞#= 1（26）和Pinf0≤s≤tinf0≤|x |<1Γs（x）>-1.= 1，Pinf0≤s≤tinf1≤|x个|<∞s（x）>-1.= t为1（27）≥ 后两个条件确保{Zt}不会跳到负值或任意接近零的toa值；鉴于（26）和（27）的第一部分确保t{t（x）}是局部有界的，因此我们可以应用伊藤公式来获得lo g Zt=utdt+Z | x |<1对数（1+Γt（x））- Γt（x）ν（dx）dt+Z | x|∈（0,1）对数（1+Γt（x））~N（dx，dt）+Z | x|≥1日志（1+t（x））N（dx，dt）。（28）则（24）的解为zt=ZexpZtusds+ZtZ | x |<1对数（1+Γs（x））- Γs（x）ν（dx）ds×经验值ZtZ | x|∈（0,1）对数（1+Γs（x））~N（dx，ds）+ZtZ | x|≥1日志（1+s（x））N（dx，ds）.

（29）最后，我们注意到，在应用程序中，用替代但等效的形式zt=Zexp编写（29）通常很方便Ztusds-ZtZ | x |<1eγs（x）- 1.- γs（x）ν（dx）ds×经验值ZtZ | x|∈（0,1）γs（x）~N（dx，ds）+ZtZ | x|≥1δs（x）N（dx，ds）, （30）式中，γt（x）=log（1+Γt（x））和δt（x）=log（1+t（x））。示例2。接下来，我们考虑在L'evy-Ito框架中指数鞅的构造。为此，我们不看（24），而是看稍微修改的方程dzt=Zt-Z | x|∈（0,1）Γt（x）~N（dx，dt）+Z | x|≥1.t（x）~N（dx，dt）, （31）不同之处在于没有漂移项，我们在两个积分中使用补偿泊松随机测度。这就提供了一种可能性，我们可以把{Zt}变成局部鞅，甚至鞅。| x |的处理∈ （0，1）积分与前一个示例中的积分相同。为了在| x |中定义补偿项≥ 1集成我们需要ZtZ | x|≥1|s（x）|ν（dx）ds<∞= 1，（32）对于所有t≥ 作为（32）的结果，我们可以将（31）写入格式dzt=Zt--Z | x|≥1.t（x）ν（dx）dt+Z | x|∈（0,1）Γt（x）~N（dx，dt）+Z | x|≥1.t（x）N（dx，dt）.（33）但我们看到（33）的形式为（24），ut=-Z | x|≥1.t（x）ν（dx）。（34）根据实施例1中的方程式（29），该解的形式为zt=ZexpZtZ | x|∈（0,1）对数（1+Γs（x））~N（dx，ds）+ZtZ | x |<1对数（1+Γs（x））- Γs（x）ν（dx）ds×经验值ZtZ | x|≥1日志（1+s（x））N（dx，ds）-ZtZ | x|≥1.s（x）ν（dx）ds）.

（35）接下来，我们观察到{t（x）}也令人满意ZtZ | x|≥1 |日志（1+s（x））|ν（dx）ds<∞= t为1（36）≥ 0，则可以为| x |的随机整数引入一个补偿器int≥ 1，并且{Zt}的表达式可以放入对称形式Zt=ZexpZtZ | x|∈（0,1）对数（1+Γs（x））~N（dx，ds）+ZtZ | x |<1对数（1+Γs（x））- Γs（x）ν（dx）ds×经验值ZtZ | x|≥1日志（1+s（x））~N（dx，ds）+ZtZ | x|≥1.日志（1+s（x））- s（x）ν（dx）ds.（37）但（36）在我们施加的条件下满足，因为| log（1+s（x））|≤日志1+inf0≤s≤tinf1≤|x个|<∞s（x）1(s（x）≤ 0) + s（x）1(s（x）>0），（38），然后是（27）和不等式对数（1+x）≤ x代表x>-1、然后我们可以用zt=Zexp的形式写出（37）ZtZ | x |>0log（1+∑s（x））~N（dx，ds）+ZtZx对数（1+∑s（x））- ∑s（x）ν（dx）ds,（39）式中，∑t（x）=1（| x |∈ [0，1]）t（x）+1（| x |≥ 1) t（x），（40）和（31）采用压缩形式dzt=Zt-Z | x |>0∑t（x）~N（dx，dt）。（41）因此{Zt}是一个局部鞅，并且由于{Zt}是严格正的，因此确保它是一个鞅的有效条件是，对于所有t≥ 0.解决方案（39）也可以写为zt=ZexpZtZ | x |>0σs（x）~N（dx，ds）-ZtZx公司eσs（x）- 1.-σs（x）ν（dx）ds, （43）式中σt（x）=log（1+∑t（x）），（44）和thusdZt=Zt-Z | x |>0eσs（x）- 1.~N（dx，dt）。（45）我们观察到，在纯跳跃L'evy-Ito过程的情况下，波动性以两种不同的形式出现。我们称{σt（x）}t≥0指数波动率和{∑t（x）}t≥0动态灵活性。我们对动态波动率施加的条件（32）转化为指数波动率的类似条件，即PZtZ | x|≥1.eσs（x）- 1.ν（dx）ds<∞= 1.（46）自ν（[1，∞)) < ∞, 这种情况可以通过使用标识来简化eσs（x）- 1.= 1（σs（x）>0）（eσs（x）- 1） +1（σs（x）<0）（1- eσs（x）），（47），因此在（46）的位置，我们可以写ZtZ | x|≥1eσs（x）ν（dx）ds<∞= 1.

（48）因此，我们要求L'evy测度满足一种指数矩条件。这种情况通常出现在列维资产定价模型中，因此在列维Ito模型中出现类似情况也就不足为奇了。注意，在（36）中，我们也有ZtZ | x|≥1 |σs（x）|ν（dx）ds<∞= 1.（49）III.风险资产我们首先对资产定价进行一些一般性评论，然后介绍一类风险资产的列维-伊藤模型。让(Ohm, F，P）是具有过滤{Ft}t的概率空间≥0满足通常条件，其中P是实际度量。我们在P下为关于Ft的条件期望写Et[·]。随机变量之间的等式和内质通常被理解为几乎肯定地保持P。我们为Ft可测R值随机变量空间编写MFTF。价格过程由半鞅建模，以固定基础货币单位计价。特别是，我们假设价格过程是c\'adl\'ag。根据[14]的定义，我们假设存在所谓的定价核，即半鞅{πt}t≥0，t满足（i）πt>0≥ 0，（ii）E[πt]<∞ 要塞≥ 0和（iii）lim inft→∞E[πt]=0。定价内核具有定义属性t，如果Anaset的价格为{St}t≥0提供单个随机无负现金流XT∈ mFTat timeT使得πtxt是可积的，如果资产的价值完全来自于该现金流，则其在任何时候的价值t≥ 0由t=1{t<t}πtEt[πTXT]给出。（50）请注意，当现金流发生时，资产价值降至零，并在此后保持该价值。Jobert&Rogers【53】指出，若定价运营商是线性的，并且满足了一些合理的一致性条件，这些条件施加了一种温和的无偏差形式，那个么它就是形式（50）。

更一般地，对于提供非负股息流的资产，我们引入了一个随机度量（dt）在R+上，其性质为∈ B（R+）在A期间支付的总股息由（A） 。我们要求（A） <∞ 几乎可以肯定，对于任何有界集A，那么对于任何具有值过程（St）t的资产≥0和股息（dt），定价核心必须确保*t） t型≥0，定义单位*t=πtSt+Ztπs（ds），（51）是鞅。那么如果所谓的横截性条件→∞【πtSt】=0（52）是令人满意的，我们说资产的价值完全来自股息流，计算表明st=πtEtZ∞tπs（ds）. （53）如果一项资产在时间T从现金流x中获得其价值，我们有（dt）=XTδT（dt），其中δT（dt）表示与单位质量a T时间T相关的狄拉克量度。在这种情况下，利用总偏差值（51）的鞅性质，将（53）减少到（50），这是一个直接的FORWAR d练习。对于许多应用，我们认为可以方便地假设存在价值为{Bt}t的单位初始化货币市场资产≥0使BT=expZtrsds公司, （54）对于某些特定的短期利率{rt}t≥0令人满意PZt | rs | ds<∞= 1，（55）对于t>0。在这种情况下，定价核必须是f形式πt=ρtBt，（56），其中{ρt}t≥0是一个严格正鞅，一般资产不支付股息的价格取形式st=Btψtρt，（57），其中{ψt}t≥0是鞅。如果资产属于有限责任类型，则{ψt}为严格正。不支付股息的风险资产的一个例子是外汇市场账户，其价值以基础货币单位报价。我们现在可以引入一个由n维布朗运动和一个独立的n维泊松随机测度驱动的L'evy-Ito市场模型。

此后，市场过滤将以标准方式由这些过程产生。市场由一个货币市场账户、一个定价核心和一个或多个风险资产组成，所有这些都由列维伊藤过程建模。短期利率是一个外部特定的可预测过程，假设定价核满足形式为dπt=-πt-rtdt+κt·dWt+Z | x |>0∧t（x）~N（dx，dt）. （58）这里是可预测的向量值过程κ：R+×Ohm → Rn可以被解释为风险的布朗市场价格，并被认为是PZtκsds<∞= 1.（59）可预测过程{∧t（x）}可以解释为在泊松随机测度的n维状态空间中x型跳跃的跳跃风险的市场价格。Weassume，对上一节中的讨论有一个明显的轻微概括，即{∧t（x）}∈ P{Bn，R+}，其中Bn表示单位球在Rn中的内部。因此，我们有ZtZ | x |<1∧s（x）ν（dx）ds<∞= 1，（60），其中| x |=nXα=1（xα）。（61）为了确保我们可以应用伊藤公式，我们假设P“sup0≤s≤tsup0≤|x |<1 |∧s（x）|<∞#= t为1（62）≥ 0，为了确保定价核不会突然下降到负值或任意接近于零的值，我们假设p“sup0≤s≤tsup0≤|x个|<∞所有t的∧s（x）<1#=1（63）≥ 作为确保{ρt}为martinga le的第一步，我们需要ZtZ | x|≥1∧s（x）|ν（dx）ds<∞= 1（64）适用于所有t≥ 然后，可以使用示例1和2的方法计算出满足这些条件的定价核的随机方程的解，我们得到πt=exp-Ztrsds公司-Ztκs·dWs-Ztκsds×经验值-ZtZ | x |>0λs（x）~N（dx，ds）-ZtZx公司e-λs（x）- 1+λs（x）ν（dx）ds, （65）其中映射λ：Rn×R+×Ohm → 此处出现的R由λt（x）=-日志1.- ∧t（x）. （66）注意λt（x）>0当且仅当∧t（x）>0。

我们观察到（6.2）和（64）确保了（65）中出现的积分是明确的，几乎可以肯定是明确的。特别是，我们发现{λt（x）}∈ P{Bn，R+}。它也适用于PZtZ | x|≥1e级-λs（x）ν（dx）ds<∞= 1（67）和PZtZ | x|≥1 |λs（x）|ν（dx）ds<∞= 1（68）适用于所有t≥ 然后可以检查（63）和（66）是否表示p“sup0≤s≤tsup0≤|x个|<∞λs（x）<∞#= 1（69）适用于所有t≥ 根据（56），由{ρt}满足的动力学方程为ρt=-ρt-κt·dWt+Z | x |>0∧t（x）~N（dx，dt）, （70）由此得出ρt=exp-Ztκs·dWs-Ztκsds×经验值-ZtZ | x |>0λs（x）~N（dx，ds）-ZtZx公司e-λs（x）- 1+λs（x）ν（dx）ds, （71）我们观察到{ρt}是一个局部鞅。然后，对于所有t>0的情况，施加鞅性质的条件是E[ρt]=1。鞅性质在（58）处定价核动力学的初始规格中对{κt}和{λs（x）}施加了进一步的条件。我们现在考虑一种典型的无股息支付的有限责任风险资产，其价格为{St}t≥0在具有定价核{πt}，so{πtSt}t的L'evy Ito市场中≥0是一个严格的正鞅。写出ψt=πtStlet我们假设{ψt}t的动力学≥0采用公式dψt=ψt-βt·dWt+Z | x |>0ψt（x）~N（dx，dt）, （72）对于一些可预测的向量值过程{βt}，这样pZtβsds<∞= 对于一些可预测的映射值过程{ψt（x）}∈ P{Bn，R+}。我们假设P“sup0≤s≤tsup0≤|x |<1 |ψs（x）|<∞#= t为1（74）≥ 0，为了确保t{ψt}不会突然下降到负值或r位非常接近于零的值，我们假设pinf0≤s≤tinf0≤|x个|<∞ψs（x）>-1.= t为1（75）≥ 为了确保{ψt}的动力学对于大跳跃是明确的，我们要求ZtZ | x|≥1 |ψs（x）|ν（dx）ds<∞= t为1（76）≥ 根据这些假设，它允许{ψt}采用ψt=Sexp的形式Ztβs·dWs-Ztβsds×经验值ZtZ | x |>0βs（x）~N（dx，ds）-ZtZx公司eβs（x）- 1.- βs（x）ν（dx）ds.

（77）这里我们使用了π=1的事实，并且我们设置了βt（x）=log1+ψt（x）. （78）我们特别注意到{βt（x）}∈ P{Bn，R+}和所有t的f≥ 0它保持不变PZtZ | x|≥1eβs（x）ν（dx）ds<∞= 1（79）和PZtZ | x|≥1 |βs（x）|ν（dx）ds<∞= 1（80）和所有t≥ 0它保持不变Pinf0<s<tinf0≤|x个|<∞βs（x）>-∞= 1.（81）在这个阶段，我们可以通过取商（57）得出资产价格的明确表达式。结果如下：St=SBtexpZt（βs+κs）·dWs-Ztβs+Ztκsds×经验值ZtZ | x |>0（βs（x）+λs（x））~N（dx，ds）×经验值-ZtZx公司eβs（x）- 1.- βs（x）ν（dx）ds×经验值ZtZx公司e-λs（x）- 1+λs（x）ν（dx）ds. （82）定义σt=βt+κ和σt（x）=βt（x）+λt（x），我们得出结论{St}取形式St=SexpZt（rs+λsσs）ds+Ztσs·dWs-Ztσsds×经验值ZtZ | x |>0σsN（dx，ds）-ZtZx公司e-λs（x）（eσs（x）- 1) - σs（x）ν（dx）ds. （83）这是列维-伊藤模型中资产价格的一般形式。输入过程{rt}、{λt}和{σt}不受定义所需条件的约束。引理1。写入∧t（x）=1- e-λt（x）和∑t（x）=eσt（x）- 1，我们有ZtZx∧t（x）∑t（x）ν（dx）<∞= 1.（84）证明。我们需要证明这一点ZtZ | x |<1∧t（x）∑t（x）ν（dx）+ZtZ | x|≥1(1 - e-λt（x））（eβt（x）+λt（x）- 1） ν（dx）<∞= 1.（85）由于P{Bn，R+}中的{∧t（x）}和{∑t（x）}ar e，Cauchy-Schwartz不等式意味着（85）中方括号中的第一项几乎肯定是有限的。然后，作为（69）和（79）的推论，第二项几乎肯定也是确定的。利用（84）对（83）进行简单的重排后，我们得到如下结论：命题1。