金融学中的列维-伊藤模型

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英文标题：
《L\\\'evy-Ito Models in Finance》
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作者：
George Bouzianis, Lane P. Hughston, Sebastian Jaimungal, Leandro
  S\\\'anchez-Betancourt
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  We present an overview of the broad class of financial models in which the prices of assets are L\\\'evy-Ito processes driven by an $n$-dimensional Brownian motion and an independent Poisson random measure. The Poisson random measure is associated with an $n$-dimensional L\\\'evy process. Each model consists of a pricing kernel, a money market account, and one or more risky assets. We show how the excess rate of return above the interest rate can be calculated for risky assets in such models, thus showing the relationship between risk and return when asset prices have jumps. The framework is applied to a variety of asset classes, allowing one to construct new models as well as interesting generalizations of familiar models.
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中文摘要：
我们概述了一类广泛的金融模型，其中资产价格是由一个n$维布朗运动和一个独立的泊松随机测度驱动的Levy-Ito过程。泊松随机测度与一个$n$维的L趵vy过程相关联。每个模型由一个定价核心、一个货币市场账户和一个或多个风险资产组成。我们展示了如何在此类模型中计算风险资产高于利率的超额回报率，从而展示了资产价格上涨时风险与回报之间的关系。该框架适用于各种资产类别，允许构建新模型以及熟悉模型的有趣概括。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Lévy-Ito_Models_in_Finance.pdf (419.99 KB)

2022-6-25 06:39:57 上传

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关键词：金融学 Mathematical relationship Quantitative Dimensional

Levy Ito金融模型George Bouzianis，Lane P.Hughston，Sebastian Jaimungaland Leandro S’anchez BetancourtDepartment of Computing，Goldsmiths University of London，New Cross，London SE14 6NW，United KingdomDepartment of Statistical Sciences，University of Toronto，Toronto M5S 3G3，CanadaMathematical Institute，University of Oxford OX2 6GG，联合王国银行（United KingdomWe）概述了一大类金融模型，其中资产价格是由n维布朗运动和独立泊松随机测度驱动的L'evy-Ito过程。泊松随机测度与n维L'evy过程有关。每个模型由一个定价机构、一个货币市场账户和一个或多个风险资产组成。我们在模型中展示了如何计算风险资产的超额收益率高于利率，从而展示了当资产价格发生跳跃时，风险与收益之间的关系。该框架适用于各种资产类别，允许构建新模型以及熟悉模型的有趣概括。关键词：资产定价、利率模型、外汇、风险溢价、风险规避、定价核、L'evy过程、L'evy测度、泊松随机测度、Siegel悖论、Vasicek模型。一、 许多作者已经考虑了由L'evy过程驱动的定价模型[1、16、19、22、2、5、26、28、35、41、56、61、75]。我们在这里关注的是一个更广泛的pricingmodels家族，即所谓的Levy-Ito模型。此类模型由布朗运动和泊松随机测度驱动，其中泊松随机测度与n个潜在的L'evy过程相关联。

Levy Ito类足够通用，可以将许多家庭模型作为特例包括在内，例如由Levy流程驱动的模型，但它为创建新模型提供了充分的机会，同时保留了大量的可处理性。对金融中的列维-伊藤模型的系统理论的需求是显而易见的，因为如果资产价格是由列维过程驱动的，那么基于该资产的期权或其他衍生工具的价格过程通常不能用列维模型来表示，但通常可以用列维-伊藤模型来表示，前提是支付行为合理；正如我们所知[9，64]，大多数证券和其他金融资产，包括公司和主权资产，都可以被视为基于与一个或多个简单基础资产相关的现金流的复杂期权。我们在以下材料中的意图是从统一的角度介绍利维-伊藤资产定价模型的理论，在现实世界中进行衡量，并强调超额回报率的作用。我们提供了许多易于处理的列维Ito模型的具体示例，所有这些模型都适用于实施，涵盖各种资产类别，包括股票、利率和外汇，说明了建模框架的灵活性。车辆结构如下所示。在第二节中，我们介绍了L’evyIto微积分的概要。我们采用的方法很严格，但我们尽量避免抽象和财务应用程序不必要的材料。在第三节中，我们提出了由L'evy-Ito过程驱动的风险集理论。我们假设存在形式为（65）的L'evy-Ito定价核（状态价格密度），然后在命题1中，我们推导出L'evy-Ito市场模型中风险资产价格过程的一般形式。

我们对L'evy Ito设置中高于短期利率的超额收益率的性质进行了评论，并且在方程（86）中，我们表明，每单位跳跃强度的超额收益率可以表示为与泊松随机测度相关的L'evy过程的每个容许跳跃向量的随机波动性和随机市场风险价格的乘积。在第四节中，我们在列维-伊藤框架下建立了一个利率风险模型理论，在命题2和命题3中，我们计算出了这种模型中的货币市场账户和贴现债券系统的表达式。由此产生的理论比由布朗运动和纯跳跃L'evy过程驱动的众所周知的利率模型更具普遍性，是的，易于处理，适合实施。作为列维-伊藤利率模型的一个例子，在第五节中，我们将Vasicek模型扩展到列维-伊藤类别，总结在命题4中，概括了[17、18、31、67、79]等的结果。在第六节中，我们展示了所谓的“混沌”利率模型【13、44、71】自然地提升到了列维-伊藤类别。特别是，在命题5中，我们证明了利率L'evy-Ito模型中的pricingkernel可以写成arandom变量的条件方差，该变量允许维纳混沌展开。然后，我们在一类二阶混沌模型中给出了贴现债券价格的显式公式。在第七节中，我们专门讨论了所谓的可分解混沌模型，在命题6中，我们展示了如何将此类模型校准为任意初始利率期限结构。最后，在第八节中，我们考虑了外汇的L'evy-Ito模型，在命题7中，我们给出了L'evy-Ito设置中任意数量货币的汇率矩阵的一般表达式。

最后，我们分析了在多货币情况下，互惠汇率对可以表现出的超额回报率。证明了在由N个布朗运动（N≥ 2，n≥ 2） 人们可以选择风险向量的市场价格，其方式是，对于每一货币对，高于利率差的超额回报率严格为正。在由单一布朗运动驱动的双货币模型的情况下，这一结果是众所周知的西格尔悖论[8，76]，这里我们已经表明，在多货币布朗市场模型中，每个汇率对都可以满足西格尔条件。我们还能够给出满足西格尔条件的多货币列维模型的示例。这使我们推测，只要选择适当的风险规避函数，任何多货币列维伊藤模型都可以满足西格尔条件。二、L'EVY-ITO演算我们首先概述了L'EVY-ITO演算，它是理论的工作马，并给出了典型计算的示例。尽管随后的许多想法都是众所周知的，但要在文献中找到任何一种方法都不容易，因为它提供了应用于金融建模所需的理论主要结果的简明概要。因此，本材料本身可能与本文后面章节讨论的应用程序有关。在L'evy-Ito模型中，金融资产的价格由无因次布朗运动和定义在Rn×R+上的泊松随机测度共同驱动。这里我们写Rn=Rn-{0}和R+表示为非负实数。如果A和集合E的裸子集，那么我们将A-B=A∩Bc其中Bc={ω∈ E：ω/∈ B} 。我们将Rnas称为泊松随机测度的状态空间。

在我们使用的模型类别中，泊松随机测度与预先指定的n维L'evyprocess相关联。也就是说，我们假设存在一个维数为n的潜在L'evy过程，并考虑由该过程确定的泊松随机测度。我们强调，由与L'evy过程相关的泊松随机测度驱动的模型类比由L'evy过程本身驱动的模型类大得多。为简单起见，我们首先讨论布朗运动和泊松随机测度均为一维的情况；然后，可以通过稍微调整符号的类比来构造更高维的情况。当我们对单个风险集的价格动态进行建模时，我们发现对于某些目的而言，一维模型将有效；但是，当我们考虑资产集合时，作为利率和外汇的必要条件，显然需要具有高维状态空间的列维伊藤模型。我们假设读者对L’evy过程的数学理论有一定的了解，如文献[2、4、11、20、31、47、51、55、57、69、70、74、7 7]所述，以及L’evy过程在金融理论中的应用。我们确定了一个概率空间(Ohm, F，P）和let{ξt}t≥0是一维L'evy过程。在我们的随机过程表示法中，卷曲胸罩{·}表示随机变量的索引集。索引空间通常在定义过程时显式指示，但为了简洁起见，可以稍后删除，除非我们希望提请注意索引集。因此，我们现在可以参考过程{ξt}，因为我们已经提到了索引集{t∈ R+}。该公约同样适用于过滤。

通常认为，作为列维过程定义的一部分，该过程具有c\'adl\'ag属性；也就是说，存在一个集合Ohm∈ F带P(Ohm) = 其中{ξt}的样本路径与左极限右连续。让我们为由R+的开集生成的Borel-sigma代数写出B（R）。B（R+）、B（R）和B（R+）的定义类似。众所周知，对于mξt=αt+βWt+ZtZ | x，一维L'evy过程{ξt}允许所谓的L'evy-Ito分解（[74]，定理19.2|∈（0,1）x▄N（dx，ds）+ZtZ▄x|≥1x N（dx，ds）。（1） 这里α和β是常数，{Wt}t≥0是标准的布朗运动，{N（dx，dt）}是一个独立的泊松随机测度。更具体地说，{N（dx，dt）}是R×R+×上的随机测量值Ohm 定义为∈ B（R），t≥ 0和ω∈ Ohm（带Ohm如上）byN（A，[0，t]，ω）={s∈ [0，t]：ξs（ω）∈ A} ，（2）我们为ω设置N（A，[0，t]，ω）=0/∈ Ohm. 因此，对于机会ω的任何结果∈ Ohm, 随机变量N（A，[0，t]）的值测量跳变大小位于集合A中的时间间隔[0，t]中发生的跳变次数。然后，定义与{N（dx，dt）}相关的所谓L'evy测度ν（A）作为∈ B（R）byE[N（A，[0，t]）]=ν（A）t。（3） 对于R上的L'evy度量，我们指的是（R，B（R））上的σ有限度量{ν（dx）}，不一定是有限的，因此ν（{0}）=0和zxmin（1，| x |）ν（dx）<∞, （4） 其中，对于任何集合A，积分被理解为b e接管R∈ B（R）让我们为A的闭包写下A。然后我们说A∈ B（R）在0以下有界/∈\'A.例如，如果0<A<b，则（A，b）和[A，b]在下面有界，如下所示(-b-a） 以及(-b-a] 。我们注意到，如果A在下面有界，那么N（A，[0，t]）<∞几乎可以肯定≥ 0和ν（A）<∞. 这样一个集合的补偿泊松-随机m测度N（A，[0，t]）由N（A，[0，t]）=N（A，[0，t]）定义-ν（A）t。

（5） 如果A在下面有界，那么如果我们让t变化，我们得到一个泊松过程{N（A，[0，t]）}t≥0，速率ν（A）；然后{N（A，[0，t]）-ν（A）t}t≥0是相应的补偿泊松过程。在补偿措施的情况下，通常速记为▄N（dx，ds）=N（dx，ds）- ν（dx）ds，（6），但应注意的是，（1）右侧第三项中关于▄N（dx，ds）的积分通常不能使用（6）拆分为单独的项。相反，术语作为一个整体是通过限制程序定义的（【74】，第120页）。特别是，给定任何递减序列{n}n∈确保∈ R+、<1和n↓ 0，集合{An}n∈由An＝{x:n<x |<1}定义的Nde分别为以下有界b。然后，对于每个t>0，我们设置ztz | x|∈（0,1）xN（dx，ds）=limn→∞ZtZAnx▄N（dx，ds）。（7） 如果对于n的任何给定值，我们使用（6）计算（7）右侧的积分，结果是一个平方可积随机变量Yn∈ L(Ohm, F，P）。然后我们可以证明{Yn}是一个收敛到元素Y的柯西序列∈ L(Ohm, F，P），这是方程（7）左侧积分的定义。从前面我们可以看出，如果我们在(Ohm, F，P），我们用L'evy测度{ν（dx）}确定了布朗运动{Wt}和泊松随机测度{N（dx，dt）}。在（Ohm, F，P）我们的意思是一个过程{Yt}，形式为：Yt=Y+Ztαsds+ZtβsdWs+ZtZ | x|∈（0,1）γs（x）~N（dx，ds）+ZtZ | x|≥1δs（x）N（dx，ds）。（8） 这里各种项中出现的被积函数必须满足一定的条件，以确保相关积分得到很好的定义。更具体地说，我们要求{αt}t≥0，{βt}t≥0，{γt（x）}t≥0，| x|∈[0,1）和{δt（x）}t≥0，| x|∈[1,∞)是可预测的，并且以下内容适用于所有≥ 0:PZt公司|αs |+βs+Z | x |<1γs（x）ν（dx）ds<∞= 1.

（9） 这里我们回顾一下，一个过程{φt}t≥概率空间（Ohm, F，P）过滤{Ft}t≥如果映射φ：R+×，则称0是可预测的Ohm → R相对于所谓的可预测σ-代数P是可测量的，σ-代数是由(Ohm, F，P）。更精确地说，P是由θ：R+×形式的所有映射生成的σ-代数Ohm → R使得（a）对于固定ω∈ Ohm 地图t 7→ θt（ω）是左连续的，（b）对于固定的t∈ R+映射ω7→ θt（ω）是Ft-可衡量的，我们定义的-= σ[0≤s<tFs！。（10） 对于图值过程，如（8）最后两项中出现的过程{γt（x）}和{δt（x）}，我们需要一个更一般的定义。让A∈ B（R）是要定义地图的域R，可以是R本身。可预测的σ-代数被定义为由θ：A×R+×形式的所有映射生成的σ-代数Ohm → r对于固定t∈ R+映射（x，ω）7→ θt（x，ω）是B（A）英尺-可测量，以及（b）固定x∈ A和ω∈ Ohm 地图t 7→ θt（x，ω）是左连续的。任意过程{θt（x）}t≥0，x∈由PA可测量图θ定义：a×R+×Ohm → 据说R是可预测的。如果θ是可预测的，那么过程t 7→ θt（x）适用于每个x∈ A、 对于∈ B（R）我们将P（A，R+）定义为θ：A×R+×形式的所有映射（模等价）的集合Ohm → R使得{θt（x）}是可预测的，条件pZtZAθs（x）ν（dx）ds<∞= 1（11）个t保持≥ 如果这两个过程几乎肯定地与R上的ν×Leb×P重合，则认为这两个过程是等价的R+Ohm. 因此，如果θ和θ′是两个这样的映射，我们说它们是等价的，如果集合{（x，t，ω）∈ R R+Ohm : θ（x，t，ω）6=θ′（x，t，ω）}是关于t oν×Leb×P的被测量值。

我们特别注意到，由于（9），方程式（8）中出现的过程{γt（x）}是在P（A，R+）中，A={x∈ R：| x |<1}。在计算中，人们经常发现用不同的形式写（8）很方便。那么初始条件是隐式的，我们有dyt=αtdt+βtdWt+Z | x|∈（0,1）γt（x）~N（dx，dt）+Z | x|≥1δt（x）N（dx，dt）。（12） 与经典伊藤微积分一样，这种微分形式的含义来自相应的积分表达式。我们继续考虑适用于L'evy-Ito过程的Ito引理的广义版本。首先，我们回顾概率空间上一维半鞅的Ito引理的形式(Ohm, F，P）过滤{Ft}t≥0（Protter【70】，定理32）。定理1。Let{Yt}t≥0成为半马尔蒂格尔人。让地图F:R→ R承认连续的二阶导数，并写出F′（x）和F′（x）作为F atx的一阶和二阶导数∈ R、 ThenF（Yt）=F（Y）+ZtF′（Ys-) dYs+ZtF′（Ys-) d[Y，Y]cs+X0<s≤t{F（Ys）- F（Ys-) - YsF′（Ys-)}. （13） 这里，对于ny进程{Xt}t≥0承认我们设置的左极限XT-= lims公司↑ tXs1（t>0）+X1（t=0），（14），我们写Xt=Xt-Xt公司-对于t≥ 时间积分取区间（0，t）。我们使用符号{[Y，Y]t}t≥0表示二次变化过程，定义为[Y，Y]t=Yt- 2ZtYs公司-dYs公司。（15） 由于二次变量是非减量的，并且具有正确的连续路径，因此[Y，Y]t=(它可以分解为连续部分和不连续部分，我们为连续部分写{[Y，Y]ct}。现在让{Yt}t≥0是表（8）中给出的L'evy Ito过程。然后可以对{F（Yt）}t的表达式进行一些简化≥0