金融学中的列维-伊藤模型

即使在布朗酶中，这个论点也很重要，所以我们首先考虑这一点。然后，我们看一个模型，该模型涉及agiven L'evy过程的n个相同副本（该示例基于匿名审阅者的建议）。接下来，我们构造了一类N-货币Merton型模型，即带高斯跳的复合泊松模型。最后，我们考虑由方差gamma过程的N维代数化驱动的N货币模型。在这些例子的基础上，我们得出这样一个结论，即Siegel条件可以在一大类L’evy Ito模型中得到满足。几何布朗运动模型。在布朗情形下，我们让{Fijt}表示由N个独立布朗运动族驱动的N种货币（i=1，…，N）之间的一组交换率。货币i的定价内核被视为f形式πit=πiexp-rit公司- λi·Wt-λi·λit, （177）其中，Ri是货币i的利率，λiis是i的每个值的向量，单位为Rn，{Wt}是取Rn值的布朗运动。点表示Rn中各因子之间通常的内积。由（170）可知，fijt=Fijexp（rj- ri）t+Rijt+σij·Wt-σij·σijt, （178）式中σij=λj- λi和Rij=σij·λj。因此，问题是我们是否可以选择λi因子（i=1，…，N），这样对于所有i，j（i 6=j），一个λj- λi· λj>0。（179）答案是肯定的，如下结构所示。设λi（i=1，…，N）是N个不同向量的集合，每个向量的长度相同，因此对于所有i，对于某些长度L>0的向量，我们有λi·λi=lf。然后对于每对i，j（i 6=j），我们有λi·λj=Lcosθij，（180），其中θij是两个向量之间的角度。我们假设N个等长向量是不同的，因此对于每对i，j（i 6=j），θij6=0。因此，我们看到每一对的cosθij<1，这导致了结果（179）。

因此，我们证明了N-货币几何布朗运动模型的存在性，对于每个货币对，Siegelcondition都成立。更一般地说，我们已经证明，对于任何N≥ 2可以构造非平凡的无套利外汇模型，其性质是N（N）中的每一个的超额收益率都是正的-1） 汇率。一份独立的、完全相同的法律程序副本。作为另一个示例，设{Xit}，i=1，N、 是L'evy进程{Xt}的N个独立相同副本的集合。我们假设{Xt}允许指数矩，因此我们可以在包含原点的一些非平凡区间中形成α的L'evy exponentψ（α）=tlog E[exp（αXt）]（181）。然后我们形成一组N个独立定价核{πit}，形式为πit=πiexp-rit公司- λXit- ψ(-λ） t型. （182）因此，对于相关的汇率体系，我们有fijt=Fijexp（rj- ri）t+Rijt+λ（Xjt- Xit）- (ψ(λ) + ψ(-λ） ）t, （183）其中Rij=ψ（λ）+ψ(-λ） 对于所有i，j（i 6=j）。因此，所有的超额回报率都是相同的。此外，自Xjt-Xithas意味着每对货币为零，Jensen\'sinequality表示超额回报率为正。因此，我们有一个由N L'evy过程驱动的N货币模型，其性质是每个货币对的超额收益率为正。这个例子有点奇怪，因为所有风险的市场价格都是相同的，所有汇率波动都是相同的。尽管如此，它证明了一个原则，即西格尔条件可以在多币种电动汽车市场中的所有货币对中保持一致。如果这里的L'evy过程碰巧是布朗运动，那么本例将简化为前一例的特例。默顿模型。

我们继续考虑由（N）驱动的N货币模型- 1） Merton型多维pure-j ump过程[65]。这将有助于展示由二维默顿过程驱动的三种货币模型的细节；读者将能够对N-货币的情况进行简单的概括。因此，我们考虑由一对过程给出的二维复合泊松过程，其形式为ξt=NtXκ=1Xκ，ξt=NtXκ=1Yκ，（184），其中（Xκ）κ∈n构成同分布随机变量的独立性，即（Yκ）κ∈n建立另一个这样的独立性，{Nt}t≥0是一个n独立的泊松过程。对于固定κ，随机变量Xκ和Yκ不一定是独立的，对于一对典型的X，Y我们写φ（α，β）=EeαX+βY, （185）假设矩母函数在α和β的非平凡范围内是有限的。然后用ψ（α，β）=tlog Eheαξt+βξti（186）定义相关的双变量L'evy指数，计算表明ψ（α，β）=m[φ（α，β）- 1] ，（187），其中m是基础泊松过程的强度。因此，在本例中，两个进程的跳转时间是一致的，但跳转大小是随机的，通常是不同的。对于默顿型模型，我们有X，Y~ N（u，u，σ，σ，ρ），因此ψ（α，β）=m经验值α u+ β u+ασ+βσ+ α β σσρ- 1.. （188）我们引入向量ξt=ξt，ξt（189）和λ=（a，b），λ=（a，b），λ=（a，b）。（190）对于与三种货币相关的定价核，我们设置πit=πiexp-rit公司- λi·ξt- ψλit型, （191）对于i=1，2，3。汇率矩阵由fijt=Fijexp给出rj公司- 国际扶轮社t+Rijt+λj- λi· ξt- ψλj- λit型, （192）其中Rij=ψλj- λi+ ψ-λj- ψ-λi.

（193）由（188）和（193）得出，为了建立满足西格尔条件的三货币纯跳跃模型的存在性，必须表明可以选择双变量正态分布的参数以及三个向量{λi}i=1,2,3so thate（λj-λi）uT+（λj-λi）C（λj-λi）T+e-λjuT+（λj）C（λj）T>e-λiuT+（λi）C（λi）T+1，（194），其中u=（u，u），（·）T表示转置操作，C是N（u，u，σ，σ，ρ）分布的协方差矩阵。为了构造一个明确的示例，让我们假设u=0、u=0、σ=1、σ=1和ρ=0。然后条件（194）取- ai）+（bj- bi）]+e（aj+bj）>e（ai+bi）+1，（19 5），其中ai=（a，a），bi=（b，b）。如果我们选择向量{λi}i=1,2,3so，则不等式（195）明显满足，因为它们是不同的且长度相等；也就是说，λ6=λ，λ6=λ，λ6=λ，（196）和λ=λ=λ. （197）对于每一货币对，我们有AI+bi=aj+bj（198），但也有（aj- ai）+（bj- bi）>0，（199），因此（195）。因此，我们证明了一个非平凡的三货币有限活动纯跳跃L'evy模型的存在，该模型满足所有六种汇率的西格尔条件。任何数量的货币的对应结构都是类似的。方差伽马模型。以下是一个有趣的例子，说明了一个有限的活动列维过程导致了一个外汇模型，该模型满足任何数量货币的西格尔条件。我们全面介绍了三种货币的情况。首先，让我们回顾方差伽马过程理论的一些细节【61–63】。设{t}t≥0是一个伽马过程，其参数的选择应确保E[Γt]=t，Var[Γt]=t/m。我们应将该过程称为强度为m的标准伽马从属r，如下所示[15，16]。有关伽马过程的更多方面，请参见【23、24、81】。

然后通过强度为m的方差gamma过程，我们指的是过程{ξt}t≥ξt=WΓt形式的0，其中{Wt}t≥0是标准布朗运动和{t}t≥0是强度为m的独立标准gammasubordinator。检查ψ（α）=-m日志1.-α2米, （200）对于α，使得-√2米<α<√2米。（201）在下文中，我们考虑由方差伽马过程的推广驱动的三种货币汇率体系。设{Xt}t≥0，a和{Yt}t≥0是独立的布朗运动，设{t}t≥0是强度为m的n个独立的标准伽马从属r，设置ξt=XΓt，ξt=YΓt.（202），然后向量{ξt，ξt}t≥0是一个二维L'evy过程，关联的L'evyexp单位由ψ（α，β）=-m日志1.-α+β2 m, （203）对于α，β，使得0≤ α+β<2m。（204）让我们定义方程（189）中的向量ξtas，方程（190）中的向量{λi}i=1,2,3as，方程（191）中的向量{πit}i=1,2,3as。然后，汇率矩阵由（192）给出，超额收益率由（193）给出。根据（204）可以明显看出，为了很好地定义定价核，风险规避向量必须为λi<√2 m，（205），对于i=1、2、3。为了构造一类满足Siegel条件的模型，我们提出了一种新的方法。固定m，并使向量{λi}i=1,2,3不同且长度相等。紧接着，对于每个货币对，我们有ψ-λi= ψ-λj. （206）则每个货币对的超额收益率f定义良好，且仅当ψλj- λi> 0，（207）对于所有i，j，使得i 6=j，或等效- m日志1-（λj- λi）2 m！>0。（208）由于已假设风险规避向量是不同的，因此允许任何货币对的Rij>0当且仅当λi- λj<√2米。

（209）现在，用L表示风险规避向量的公共长度，我们得到λi- λj= 2升（1-cosθij），（210），其中θij表示λi和λj之间的角度。因此，当且仅当ifcosθij>1时，Rij>0-mL.（211）另一方面，因为<√2 m x（205），这是一个有效条件，可确保每对货币的超额回报率为正iscosθij>，（212），也就是说，每个风险规避向量之间的角度小于60度。因此，通过这一选择，我们证明了三种货币单位活动L'evy模型的存在，该模型满足所有六种汇率的西格尔条件。事实上，如果l<m，（213），那么风险规避向量可以彼此成任意角度，西格尔条件将保持不变。将该论点扩展到四种或四种以上的货币很简单。致谢作者感谢D.Brody、E.Eb erlein、M.Grasselli、T.Hurd、A.Lokka、A.Macrina、D.Meier、B.Meister、K.Owari、G.Peskir、M.Pistorius、A.Rafailidis、M.Schweizer和T.Tsujimoto以及里约热内卢IMPA 2019年研究行动会议和曼彻斯特大学金融数学研讨会的与会者提出的有益意见。我们感谢（a）Timelineapp Limited、Basildon【GB】、（b）Fields Institute f for Research in Mathematic Sciences、Aspen Centerfor Physics和Simons Foundations n【LPH】、（c）加拿大国家科学与工程研究理事会（National Sciences and EngineeringResearch Council of Canada）、RGPIN-2018-05705 a和RGPAS-2018-5 22715【SJ】、（d）墨西哥国家科学与技术委员会（CONACyT）的支持，LMAX交易所，伦敦，a nd Oriel学院，牛津[LSB]。参考文献[1]Andersen，L.&Lipto n，A.（2013）《指数L'evy过程及其波动率微笑的渐近性：调查和新结果》。《国际理论与应用金融杂志》16（1），135001:1-98。[2] Applebaum，D。

（2009）《列维过程与随机过程》，第二版。剑桥大学出版社。[3] Baxter，M.W.（1997）《一般利率模型与HJM的普遍性》。摘自：《衍生证券数学》（M.A.H.Dempster&S.R.Pliska，eds.），剑桥大学出版社。[4] Bertoin，J.（19 98）Levy过程。剑桥大学出版社。[5] Biagini，F.&H¨artel，M.2014年，列维期限结构中的长期收益率行为。《国际理论与应用财务杂志》17，1450016。[6] Bj¨ork，T.、Di Masi，G.、Kabanov，Y.&Runggaldier，W.（1997）迈向债券市场的一般理论。金融与随机1，141-174。[7] Bj¨ork，T.，Kaba nov，Y.&Rungg aldier，W.（1997）存在标记点过程的债券市场结构。数学金融7（2），211-239。[8] 黑色，F。（1990）均衡汇率对冲。《金融杂志》45（3），899907。[9] Black，F.&Scholes，M.（1973）《期权与公司负债的定价》。《政治经济学杂志》81（3），637-654。[10] Bouzianis，G.和Hughston，L.P.（201 9）资产定价模型中L'evy指数的确定。《国际理论与应用金融杂志》22（1），195008:1-18。[11] Boyarchenko，S.I.&Levendoskii，S.Z.（2002）非高斯Merton-Black Scholetheory。新加坡：世界科学出版社。[12] Brace，A.、Gat erek，D.&Musiela，M.（1996）《利率动态的市场模型》。参见：Vasicek a and Beyond（L.P.Hughston，ed.）第19章，第305-326页。伦敦：风险出版物。[13] Brody，D.C.&Hughston，L.P.（2004）《混沌与一致性：利率建模的新框架》。皇家学会会刊A 46085-110。[14] Brody，D.C.和Hughston，L.P.（20 18）社会贴现和长期利率。数学金融28306-334。[15] 布罗迪，哥伦比亚特区，哈格斯顿，L。P、 &Macrina，A。

（2008）大坝降雨和累积。皇家学会议事录A 4641801-1822。[16] Brody，D.C.、Hughston，L.P.和Mackie，E.（2012）《动态资产定价几何L'evymodels的一般理论》。皇家学会议事录A 4681778-1798。[17] Brody，D.C.、Hughston，L.P.和Meier，D.M.（2018）L'evy Vasicek模型和长期债券回报过程。《国际理论与应用金融杂志》21（3），1850026:1-26。[18] Cairns，A.J.G.（1999）Vasicek模型的另一种推导。Herriot WattUniversity，精算数学和统计系，技术说明99/13。[19] Chan，T.（1999年），《由列维过程驱动的股票或有权益定价》。应用概率年鉴9504-528。[20] C,inlar，E.（2011）概率与随机性。柏林：斯普林格。[21]Constantinides，G.M.（1992）利率名义期限结构理论。财务研究回顾，5（4）531-552。[22]Cont，R.&Tankov，P.（2004）《带跳跃过程的金融建模》。伦敦：查普曼和霍尔。Dickson，D.C.M.和Waters，H.R.（19 93）伽马过程和有限时间生存概率。阿斯汀公牛。23, 259-272.[24]Dufresne，F.、Gerber，H.U.和Shiu，E.S.（19 91）伽马过程风险理论。阿斯汀公牛。21, 177-192.[25]Eberlein，E.和Keller，U.（1995）金融中的双曲线分布。伯努利1（3），281-299。[26]Eberlein，E.、Keller，U.和Prause，K.（1998）对微笑、定价失误和风险价值的新见解：双曲线模型。《商业杂志》71（3），371-405。【27】Eberlein，E.&Raible，S.（1999）一般L’evy过程驱动的期限结构模型。数学Fin a nce 9（1），31-53。【28】Eberlein，E.（2001）广义双曲L'evy运动在金融中的应用。《列维过程-理论与应用》（O.Barndorff-Nielsen，T.Mikosch&S。

巴塞尔：Birkhauser，319-336。[29]Eberlein，E.、Jacod，J.和R aible，S.（2005）L'evy期限结构模型：无套利和完整性。金融与随机9，67-88。[30]Eberlein，E.&Ozkan，F.（2005）列维伦敦银行同业拆借利率模型。金融与随机9327-348。[31]Eberlein，E.&Kallsen，J.（2020）数学金融。伦敦：斯普林格。[32]Flesaker，B.和Hughston，L.P.（1996）积极利益。风险9，46-49。【33】Flesaker，B.&Hughston，L.P.（1997）《利率和外汇的国际模型》。净风险敞口3，55-79。再版于：L.P.Hughston，ed.（2000）《新利率模型》。伦敦：风险出版物。[34]Filipovi\'c，D.、Tappe，S.&Teichmann，J.（2010）维纳过程和泊松测度驱动的期限结构模型：存在性和正性。暹罗金融数学杂志1523-554。[35]Gerber，H.U.和Shiu，E.S.W.（1994）Esscher transforms的期权定价。精算师学会会刊46，99-191。[36]Goldammer，V.&Schmock，U.（2012）Dybvig-Ingersoll-Ross定理和渐近极小的推广。数学财务22，185-213。[37]Grasselli，M.R.&Hurd，T.（2005）《维纳混沌与考克斯-英格索尔-罗斯模型》。皇家学会会刊A 461459-479。[38]Grasselli，M.R.&Tsujimoto，T.（2011）利率混沌模型的校准。arXiv:1106.2478。【39】Heath，D.，Jarrow，R.&Morton，A.（1992年），《债券定价和利率的期限结构：持续索赔估价的新方法》。计量经济学60,77-105。[40]Hubalek，F.，Klein，I.&Teichmann，J.（2002）Dybvig-Ingersolross定理的一般证明：长期利率永远不会下降。数学金融12，447-451。【41】Hubalek，F.&Sgarra，C.（2006）关于exp-onentialL'evy模型的Esscher变换和熵。定量金融6（2），125-145。[42]休斯顿，L。

P、 ，ed.（1996）Vasicek及其后。伦敦：风险出版物。[43]Hughston，L.P.（2003）《期限结构建模的过去、现在和未来》。《现代风险管理：历史》，彼得·菲尔德介绍，第7章，107-1 32。伦敦：风险出版物。[44]Hughston，L.P.&Rafailidis，A.（2005）利率建模的混沌方法。金融与随机9，45-65。[45]Hull，J.&White，A.（1990）利率衍生证券定价。财务研究回顾3573-592。【46】Hunt，P.J.&Kennedy，J.E.（200 4）《金融衍生品的理论与实践》，修订版。奇切斯特：威利。【47】池田，N.&渡边e，S.（1989）《随机微分方程和微分过程》，第二版。阿姆斯特丹：北霍拉和大丹沙。【48】Ito，K.（1951）多重维纳积分。日本数学学会的Jo urnal 3（1），157-169。重印于：D.W.Strook&S.R.S.Varadhan，eds.（1987）KiyoshiIto，论文选集。柏林：斯普林格·维拉格。【49】Ito，K.（1956）具有静态增量的不同过程的位移变换的光谱类型。《美国数学学会学报》81253263。[50]Jamshidian，F.（1996）《单因素期限结构模型中的未定权益定价》。摘自：瓦西塞克和比扬d（L.P.Hughston，ed.）第7章，第111-127页。伦敦：风险出版物。【51】Jeanblanc，M.、Yor，M.和Chesney，M.（2009）《金融市场的数学方法》。伦敦：春天。[52]Jin，Y.&Glasserman，P.（2001）均衡正利率：统一观点。金融研究回顾14，187-214【53】Jobert，A.&Rogers，L.C.G.（2002）估值和动态凸风险度量。数学金融18，1-22。[54]Kardaras，C.&Platen，E.（2012）关于D Ybbig-Ingersoll-Ross定理。MathematicalFinance 22，729-740。【55】Kijima，M。