金融学中的列维-伊藤模型

（118）定价公式背后的直觉是，如果以单位本金连续支付利息，则账户将以指数形式累积价值，这导致了连续货币市场账户的标准表达式。但如果利息作为股息持续支付，那么账户本身的价值必须保持不变，我们将得到（118）。根据上述考虑，定价核可以表示为πt=Et形式的条件期望Z∞trsπsds. （119）在纽约定价核心模型中，这种关系是成立的，正利率承认了一个浮动利率，而不是e[13，44，71]。特别地，我们可以把以下条件作为我们的基本假设：Z∞rsπsds< ∞, （120）其中int egr和严格为正。现在假设一个过程{γt（x）}是可预测和可满足的ZtZxγs（x）ν（dx）ds<∞= 1.（121）那么由Xt=ZtZ | x |>0γs（x）~N（dx，ds）（122）定义的过程{Xt}是一个局部过程。如果额外碱基ZtZxγs（x）ν（dx）ds< ∞ （123）对于所有t≥ 0，那么{Xt}是一个平均值为零的平方可积鞅，我们有Xt公司= EZtZxγs（x）ν（dx）ds. （124）然后是ifEZ∞Zxγs（x）ν（dx）ds< ∞. （125）我们发现极限X∞= 限制→∞几乎可以肯定的是，随机变量X∞是平方可积的，且mart-ingale{Xt}由X闭合∞. 因此，我们得出结论，如果可预测过程{γt（x）}是（125）成立的，那么积分lX∞=Z∞Z | x |>0γs（x）~N（dx，ds）（126）是适定andE十、∞< ∞. （127）回到定价核的构造，我们考虑前面的一个特例，通过观察γt（x）=1定义的可预测过程∧| x | qRx（1∧ |x |）ν（dx）√卢比-πs-（128）因（120）而满足（125）。

很明显，随机变量x∞=qRx（1∧ |x |）ν（dx）Z∞Z | x |>0√卢比-πs-(1 ∧ |x |）~N（dx，ds），（129）是F∞-可测且平方可积，其中f∞= σ[0≤t型<∞英尺！。（130）我们继续计算X的条件方差∞, 由Vart[X]定义∞] = Et公司（十）∞- Et[X∞]). （131）为了计算（131），我们使用泊松随机测度的条件Ito等距来获得“Z∞tZ | x |>0γs（x）~N（dx，ds）#= Et公司Z∞tZxγs（x）ν（dx）ds, （132）根据第（125）款规定有效。利用（129），（131）和（132）进行计算，然后给出第[X]部分∞] = Et公司Z∞trsπsds, （133）我们看到随机变量（129）的条件方差是形式（119）的定价核。因此，我们确定了以下内容：命题5。在任何由泊松随机m测度驱动的正利率模型中，与支持连续浮动利率票据存在的n维L'evy过程相关，定价核可以表示为平方可积F的条件方差∞-可测量的随机变量。我们将刚才描述的设置称为pricingkernel的条件方差表示。这使我们得到了[13，37，38，44，71，78]中布朗情况下得到的结果的非平凡扩展，我们现在继续讨论。众所周知，在概率空间具有由n维标准布朗运动生成的过滤比n的情况下，任何平方可积F∞-可测随机变量允许所谓的维纳混沌展开[48，80]。

混沌展开式以多重随机积分的收敛和的形式表示随机变量，其中第k项包含由三角形区域上定义的k个时间变量函数给出的被积函数，满足平方可积条件。这一特性扩展到了由n维泊松随机测度生成融合的情况【49、59、68】，在这种情况下，混沌扩展的第k项包含由k个时间变量和k个空间变量函数给出的被积函数，每个空间积分都是泊松随机测度状态空间的副本。作为一个序列，随机变量X∞与任何利维-伊藤型利率模型中的定价核心相关，允许混沌扩展，前提是该模型支持永久连续支付利息的浮动利率票据。如果chaosexpansion只接受j阶的项，那么我们可以说我们有一个一般的j阶混沌模型。如果展开式只包含j阶项，那么我们可以说我们有一个纯j-th或der混沌模型。作为结果方案的一个例子，我们将给出由泊松随机测度驱动的一般二阶混沌模型中贴现债券的形式。在这种情况下，我们得到了一对确定性函数{φs（x）}0≤s<∞, x个∈Rn，{φs（x，x）}0≤s≤s<∞, x个∈Rn，x∈Rn（134）满意Z∞s=0Zxφs（x）ν（dx）ds<∞, （135）andZ∞s=0ZxZss=0Zxφs s（x，x）ν（dx）dsν（dx）ds<∞. （136）这两个函数用于定义F∞-x给定的可测随机变量∞=Z∞s=0Z | x |>0φs（x）~N（dx，ds）+Z∞s=0Z | x |>0Zss=0Z | x |>0φs（x，x）~N（dx，ds）~N（dx，ds），（137）其中我们有x∈ Rnand x∈ 注册护士。确定关联利率模型的第一步是计算X的条件方差∞.

定价核心是πt=Et（十）∞- Et[X∞]), （138）一种计算方法，包括打破时间积分并利用独立增量属性givesIt=Z∞s=tZ | x |>0φs（x）~N（dx，ds）+Z∞s=tZ | x |>0Zss=0Z | x |>0φs（x，x）~N（dx，ds）~N（dx，ds），（139），其中它=x∞- Et[X∞]. 然后，我们在t处打破积分，得到它=Z∞s=tZ | x |>0φs（x）+Zts=0Z | x |>0φs s（x，x）~N（dx，ds）~N（dx，ds）+Z∞s=tZ | x |>0Zss=tZ | x |>0φs（x，x）~N（dx，ds）~N（dx，ds）。（140）形成（14 0）的平方，我们得到它=ζt+ηt+2θt（141），其中ζt=Z∞s=tZ | x |>0φs（x）+Zts=0Z | x |>0φs s（x，x）~N（dx，ds）~N（dx，ds）, （142）ηt=Z∞s=tZ | x |>0Zss=tZ | x |>0φs（x，x）~N（dx，ds）~N（dx，ds）, （143）θt=Z∞s=tZ | x |>0φs（x）+Zts=0Z | x |>0φs s（x，x）~N（dx，ds）~N（dx，ds）×Z∞s=tZ | x |>0Zss=tZ | x |>0φs（x，x）~N（dx，ds）~N（dx，ds）。（144）然后取上述三项的条件期望，并利用泊松随机测度的Itoisometry，我们haveEt[ζt]=Z∞s=tZ | x |>0φs（x）+Zts=0Z | x |>0φs s（x，x）~N（dx，ds）ν（dx）ds，（145）Et[ηt]=Z∞s=tZ | x |>0Et“Zss=tZ | x |>0φs s s（x，x）~N（dx，ds）#ν（dx）ds，（146）Et[θt]=Z∞s=tZ | x |>0φs（x）+Zts=0Z | x |>0φs s（x，x）~N（dx，ds）×EtZss=tZ | x |>0φs s s（x，x）~N（dx，ds）ν（dx）ds。（147）我们观察到，（146）可以通过使用Ito等距进一步简化，（147）消失。因此，定价内核对m取以下值：πt=Z∞s=tZxφs（x）+Zts=0Z | x |>0φs s（x，x）~N（dx，ds）ν（dx）ds+Z∞s=tZxZss=tZxφs s（x，x）ν（dx）dsν（dx）ds。（148）这个公式可以计算出贴现债券价格、短期利率和风险市场价格的表达式。现在，标准估值公式（107）给出了到期日为t的债券的价格a t时间t。利用（132）进行的计算表明，et[πT]=Z∞s=TZxφs（x）+Zts=0Z | x |>0φs s（x，x）~N（dx，ds）ν（dx）ds+Z∞s=TZxZss=tZxφs s（x，x）ν（dx）dsν（dx）ds。

（149）然后通过在（107）中插入（148）和（149），我们能够在一般的二阶混沌模型中明确地确定债券价格。对于混沌展开中的高阶能级，可以得到类似的结果，也可以加入布朗项。七、可分解二阶混沌模型作为二阶混沌模型的特例，我们可以考虑我们所称的分解模型，对应于确定性二阶混沌系数分解为φs（x，x）=βs（x）γs（x）形式的乘积的情况。（150）在此简化假设下，定价核的形式为πt=Z∞s=tZxφs（x）ν（dx）ds+Z∞s=tZxβs（x）ν（dx）Zss=tZxγs（x）ν（dx）dsds+2Z∞s=tZxφs（x）Zts=0Z | x |>0βs（x）γs（x）~N（dx，ds）ν（dx）ds+Z∞s=tZxZts=0Z | x |>0βs（x）γs（x）~N（dx，ds）ν（dx）ds。（151）如果我们在第一项中根据sin拆分积分，则得出πt=Z∞s=tZxφs（x）ν（dx）ds+Z∞s=tZxβs（x）ν（dx）Zss=0Zxγs（x）ν（dx）-Zts=0Zxγs（x）ν（dx）dsds+2Z∞s=tZxφs（x）βs（x）ν（dx）dsZts=0Z | x |>0γs（x）~N（dx，ds）+Z∞s=tZxZts=0Z | x |>0βs（x）γs（x）~N（dx，ds）ν（dx）ds。（152）然后，我们发现定价核是一对集线器的线性组合。更准确地说，如果我们定义过程{Mt}t≥通过设置Mt=Zts=0Z | x |>0γs（x）~N（dx，ds），（153），我们发现{Mt}是一个平方可积函数，其相关的可预测二次变化过程{Qt}t≥0由qt=Zts=0Zxγs（x）ν（dx）ds给出。（154）然后可以检查进程{Mt-Qt}t≥0也是一个极大值，pricingkernel取f rmπt=At+BtMt+Ct（Mt- Qt），（155），其中确定系数At、bt和cta定义为：At=Z∞tZxφs（x）ν（dx）ds+Z∞tZxβs（x）ν（dx）Zss=0Zxγs（x）ν（dx）dsds，Bt=2Z∞tZxφs（x）βs（x）ν（dx）ds，Ct=Z∞tZxβs（x）ν（dx）ds。（156）取πT的条件期望，利用马丁格尔条件，我们得到et[πT]=AT+BTMt+CT（Mt- Qt）。

（157）方程式（155）和（157）表明，债券价格由Mt的有理函数给出。更具体地说，我们看到，PtT以一对二次多项式的形式出现在Mt中，具有确定性系数：PtT=1{t<t}AT+BTMt+CT（Mt- Qt）At+BtMt+Ct（Mt- Qt）。（158）或者，我们可以将债券价格视为由一对鞅的线性比率na l函数给出的。值得注意的是，债券价格系统的结构与可分解的二阶布朗混沌模型[13，44，71]中的结构相同，该模型也显示了线性理性结构。我们继续考虑可分解二阶混沌模型对市场数据的校准。我们可以对任何具有自由规定的时间相关自由度的利率模型提出的第一个要求是，我们应该能够将模型校准为任意规定的初始收益率曲线。因此，在目前的情况下，我们假设初始折扣函数{P0t}t≥0以一个严格递减函数的形式给出，该函数包含一个连续的一阶导数。问题是选择确定性函数{φt（x）}、{βt（x）}、{γt（x）}，这样对于t≥ 0我们有\'P0t=At/A.（159）。首先，我们注意到，我们可以通过一个公共常数因子重新缩放{φt（x）}和{βt（x）}，而不改变由此产生的债券价格，以这样的方式，A=1。完成后，我们必须选择重整化函数{φt（x）}，{βt（x）}，{γt（x）}，以便'P0t=Z∞tZxφs（x）ν（dx）ds+Z∞t型Zxβs（x）ν（dx）Zss=0Zxγs（x）ν（dx）dsds。（160）下一步是区分该方程关于t的每一侧，并确定固定远期利率f0t=-d lo g'P0tdt。（161）然后校准条件采用以下形式：f0t'P0t=Zxφt（x）ν（dx）+Zxβt（x）ν（dx）ZtZxγs（x）ν（dx）ds。

（162）让我们将函数{γt（x）}视为满足limt的模型的自由度的自由指定函数→∞ht<∞ 对于t>0，ht>0，其中ht=ZtZxγs（x）ν（dx）ds。（1 63）然后我们设置θt（x）=βt（x）ht。因此，问题是找到{φt（x）}和{θt（x）}，使得f0t'P0t=Zxφt（x）+θt（x）ν（dx）（164）适用于所有t≥ 该方程可以通过设置φt（x）=f0t'P0tpt（x），θt（x）=f0t'P0tqt（x），（165）来求解，其中函数{pt（x）}和{qt（x）}被设定为非负函数，并且对于所有t≥ 满足（166）的函数的存在性可以用pt（x）=p（1）来证明∧ x） Rx（1∧ x） ν（dx），qt（x）=q（1∧ x） Rx（1∧ x） ν（dx），（167），其中p和q为正常数，使得p+q=1；但很明显，我们也可以找到更一般的功能满足（166）。我们满足了这些条件（164）。因此，总而言之，我们确定了以下内容：提案6。在一个可复制的二阶混沌模型中，将初始瞬时正向速率曲线表示为一个非n负连续函数{f0t}。然后，通过让{γt（x）}自由给出，定义{ht}如（163）中所示，并让{φt（x）}和{βt（x）}由φt（x）=f0t'P0tpt（x），βt（x）=htf0t'P0tqt（x），（168）给出，其中{pt（x）}和{qt（x）}为非负且满足（166）的条件，可以获得该初始数据的模型校准解决方案。然后，可以使用剩余的功能自由度，通过类似于[38，78]中在布朗案例中使用的t软管的方法，将模型校准为其他市场工具的价格。lso可以使用L'evy测量本身作为校准目的的功能自由度，如【10】中的示例所述。八、外汇的L'EVY-ITO模型我们考虑一个汇率系统{Fijt}t≥0对于N种货币（i，j=1，…，N）。

这里，Fijt表示一个货币单位i在时间t的价格，以货币单位j表示。在我们之前的考虑中，我们让N（dx，dt）表示与具有L'evy测度ν（dx）的基本N维L'evy过程相关的泊松随机测度。通常，我们要求≥ N- 1以确保模型具有足够的自由度。我们将其中一种货币确定为基础货币（或“本国”货币），并考虑N- 1剩余货币，当这些价格以基础货币单位表示时。因此，我们希望L'evy-Ito过程的状态空间至少为N维- 例如，在三种货币的情况下，基本的二维L'evy过程是必要的最小结构。为了构造汇率矩阵的一般形式，我们建立了一个N pricingkernels{πit}t系统的模型≥0，每种货币一个，通过设置πit=πiexp-Ztrisds公司-ZtZ | x |>0λ为（x）~N（dx，ds）-ZtZx公司e-λ为（x）- 1+λ为（x）ν（dx）ds.（169）这里我们抑制了L’evy-Ito过程的n维布朗成分；包含布朗项的一般情形可以很容易地重构。这里对每个定价核施加的条件与第三节中对定价核施加的条件相同，只是这里可以方便地给每个定价核一个不同的初始值。每种货币都有一个定价内核的想法是，可以使用给定货币的定价内核对以该货币定价的资产进行估值。如果基于不同货币的两个经济体在经济上是独立的，那么我们期望相应的定价内核在概率意义上是独立的。

当然，在现实中，主要经济体以各种复杂的方式相互依存，因此通常情况下，我们会将与各种货币相关的定价内核表现出相关性。然后，汇率矩阵的基本性质是，对于每一种货币对，矩阵的相关分量由与这两种货币相关的定价核的比率给出【33、58、73】。更准确地说，我们有fijt=πit/πjt。（170）然后，我们提出以下建议：提案7。在一般情况下，汇率矩阵的形式为Fijt=FijexpZt（rjs- ris+Rijs）ds+ZtZ | x |>0σijs（x）~N（dx，ds）×经验值-ZtZx公司eσijs（x）- 1.- σijs（x）ν（dx）ds, （171）初始汇率Fij=πi/πj，其中超额收益率为giv en byRijt=Zxeσijt（x）- 1.1.- e-λjt（x）ν（dx），（172），对于汇率波动率，σijt（x）=λjt（x）- λit（x）。（173）证明。如果我们将（169）和（170）结合起来，则一个简单的前向计算给出了ijt=FijexpZt（rjs- ris）ds+ZtZ | x |>0σijs（x）~N（dx，ds）×经验值-ZtZx公司e-λ为（x）- e-λjs（x）+λis（x）- λjs（x）ν（dx）ds. （174）接下来我们观察到，通过（67）和（69），它认为pZtZ | x|≥1e级-λ为（x）ν（dx）ds<∞= 1，P“sup0≤s≤tsup0≤|x个|<∞λ为（x）<∞#= 1（175）对于i=1，n、 从中我们推断出PZtZ | x|≥1eλjs（x）-λ为（x）ν（dx）ds<∞= 1，（176）对于i，j=1，n、 因此，Rijt<∞ 对于i，j=1，…，也可以，n和所有t≥ 0，因此我们可以重新组合（174）中的项以获得（171）。特别是，从命题7可以看出，一旦确定了每种货币的短期利率和风险规避过程以及初始汇率，那么汇率动态就完全确定了。值得注意的是，对于每一对货币，汇率波动分解为一对条款，每一个条款都适用于这两种货币。

这一事实的意义在于，似乎无法通过简单地为{σijt（x）}设定一种特殊形式来“直接”模拟汇率波动。当然，有大量文献致力于对汇率波动性建模，必须指出的是，这在很大程度上是在没有考虑与每种货币相关的风险规避函数以及方程式（173）给出的分解的情况下进行的。我们声称，如果建模是在不同货币的个人风险规避函数水平上进行的，则此类调查更为自然。我们现在来考虑超额回报率，它在外汇的纯跳跃L'evy Ito模型中采用了形式（172）。问一个有趣的问题是，对于所有货币对，Rijt是否可能为正。如果模型具有此特性，我们称其满足西格尔条件。西格尔（Siegel）[76]似乎是第一个发现看似矛盾的事实的人，即在随机模型中，欧元-美元汇率和美元-欧元汇率同时显示正超额收益率是一致的，即使汇率彼此相反。确定在设置为N种货币的情况下，所有货币对的Rijt是否可能为正的问题包括显示N（N- 1） 不同的汇率具有正的超额回报率。直觉是，如果这些利率中的任何一个表现出负超额回报率，那么投资者就会卖出定价过高的货币，直到房地产价格达到新的水平，超额回报率不再为负。我们将证明L'evy型N货币模型的存在性，其中所有N（N-1） 超额回报率严格来说是正的。