金融学中的列维-伊藤模型

一般情况下，不支付股息的风险资产的价格采用formSt=SexpZt（rs+rs）ds+Ztσs·dWs-Ztσsds×经验值ZtZ | x |>0log（1+∑s（x））~N（dx，ds）-ZtZx∑s（x）- 对数（1+∑s（x）））ν（dx）ds,其中{rt}是利率，{rt}是高于利率的超额收益率，{σt}是向量布朗波动率。超额收益率为gi v en byRt=κt·σt+Zx∧t（x）∑t（x）ν（dx），（86），其中{κt}是风险的向量布朗市场价格，{∧t（x）}是跳跃风险的市场价格，{∑t（x）}是动态跳跃波动率。如果我们作一些解释性的评论，可能会有所帮助。首先，我们观察到风险集满足以下动力学方程：dSt=St-h（rt+rt）dt+σt·dWt+R | x |>0∑t（x）~N（dx，dt）i.（87）动态波动率∑t（x）表示与时间t的泊松随机测度的状态空间中的点x相关的资产的风险。因此，∑t（x）确定了当基础n维L'evy过程中的跳跃为向量x时，资产价格跳跃的乘数。然后∧t（x）是时间t时与x相关的风险市场价格。产品∧t（x）∑t（x）是x时每单位跳跃强度的超额回报率，L'evy测度ν（dx）确定了跳跃强度。超额收益率严格为正的一个有效条件是，向量过程的组成部分σ和κtar对所有t≥ 对于所有t，∑t（x）>0和∧t（x）>0≥ 0和所有x∈ 注册护士。那么超额收益率是风险水平和风险厌恶水平的递增函数。命题1扩展了由L'evy过程驱动的模型的类似结果【16，60】。四、

利率的L'EVY-ITO模型由L'EVY过程和其他更一般的跳跃过程驱动的利率模型过去被许多作者考虑过；参见示例【5-7、14、27、29、30、34、36、40、54】和其中引用的参考文献。在下面的内容中，我们将详细介绍L'evy Ito类型的兴趣模型。这些模型因其简单性、易处理性和适用性而备受关注。我们从一般的利率建模开始讲几句话。有几种不同的方法可以组合利率模型，这取决于模型的目的以及模型的哪些成分是s原语。这说明了过去几十年中提出的各种利率理论“方法”。但即使是在布朗过滤的情况下，各种建模框架之间的关系也不容易用几句话来概括[3、42、43、46、52、72]。我们认为一个n利率模型包括以下内容：（i）一个pricingkernel{πt}t≥0，（ii）货币市场账户{Bt}t≥0和（iii）折扣系统≥0，T≥0满足第三节中讨论的风险资产管理关系。到期日为T的Aunit贴现债券以T支付一个货币单位的股息。它的值在T时下降到零，并在所有T>T的情况下保持在该水平。因此，limt↑ 对于t，TPtT=1（88），PtT=0≥ T有时，参考关联的折扣函数{PtT}0是有用的≤t型≤T型<∞, 定义为“PtT=0的PtT”≤ t<t<∞ 对于T，PT T=1≥ 0.对于t>t，未定义Discount函数。

有人认为PTT是一个价格，而对于每一个偶然的结果，折扣系数“PTT”是一个纯数字。有五个过程在L’evy-Ito型利率模型的构建中起着关键作用：短期利率{rt}、布朗风险的市场价格{κt}、跳跃风险的市场价格{∧t（x）}、布朗波动结构{ωtT}和跳跃波动结构{OhmtT（x）}。在所谓的短期利率模型中，短期利率和风险的市场价格过程是“原语”。一旦指定了这些元素，就可以计算出模型的其余元素。在业内流行的所谓波动率模型中，贴现债券波动率结构和风险过程的市场价格是基本要素，从中我们可以计算出剩余要素，如贴现债券价格、短期利率、Libo r利率、掉期利率等。从历史上看，在布朗背景下，20世纪70年代和80年代，短期利率模型是第一个被开发的模型；随着利率衍生品市场的兴起，波动性模型出现得较晚，出现于20世纪80年代末，一直持续到20世纪90年代。20世纪80年代末，vo-latilitymodel A方法的一个变体是使用瞬时远期利率波动率作为原始值，以及风险的市场价格[39]。由此产生的所谓的DHJM模型在当时具有很高的影响力，并对该主题产生了转化作用，尽管很难在实际基础上论证为什么人们希望将无法观察到的瞬时远期利率波动视为基本要素。

所谓的libor市场模型，可以追溯到20世纪90年代初和中期，也属于波动率模型范畴[12]，这些模型也很受欢迎，部分用于工业应用。同样可以追溯到1990年早期和中期的短期利率模型思想的一个变化是，将短期利率和风险的市场价格结合起来，形成一个定价克内尔（或状态价格密度），并将其作为原始值[2 1，32，52，73]。从国外来看，短期利率模型、波动率模型和定价核心模型或多或少是等价的，具有模技术性。它们的不同之处在于可以轻松地开发特定模型，以及可以将参数和功能自由度结合在一起，以便根据市场数据校准模型。当涉及到利率的列维-伊藤模型的制定时，可以方便地从波动率方法开始。这是因为我们在上一节中关于风险资产的思想可以直接继承。我们重新考虑给出的贴现债券波动率结构，以及风险投资的相关市场价格。按照上一节中概述的方案，包括根据方程式（65）规定的定价核心，我们将每个贴现债券视为风险资产，对于T到期债券的动态，我们将PTT=P-tTrt+κt·ωtT+Zx∧t（x）OhmtT（x）ν（dx）dt+ωtT·dWt+Z | x |>0OhmtT（x）~N（dx，dt）.（89）为方便起见，我们在此写信-tT=lims↑ tPsT。（90）贴现债券布朗向量波动率结构和泊松跳跃波动率结构表示为{ωtT}，且{OhmtT（x）}，分别为。

然后，根据命题1，我们得出贴现债券系统的形式为ptt=1（t<t）P0TexpZt（rs+RsT）ds+ZtωsT·dWs+ZtZ | x |>0log（1+OhmsT（x））~N（dx，ds）×经验值-ZtωsTds-ZtZx公司(OhmsT（x）- 日志（1+OhmsT（x）））ν（dx）ds, （91）其中超额收益率为t<t byRtT=κt·ωtT+Zx∧t（x）OhmtT（x）ν（dx）。（92）我们要求波动率结构满足↑ TωtT=0，limt↑ TOhmT=0（93），每T>0。根据贴现债券的到期条件和单位初始化货币市场账户的定义，我们得出以下结论：命题2。在L'evy-Ito利率模型中，让布朗风险的向量市场价格{κt}，向量布朗波动结构{ωtT}，跳跃风险的市场价格{∧t（x）}，以及跳跃波动结构{OhmtT（x）}，以及初始术语结构{P0t}t>0。然后货币市场账户采用公式Bt=（P0t）-1exp-ZtRstds公司-Ztωst·dWs-ZtZ | x |>0日志（1+Ohmst（x））~N（dx，ds）×经验值Ztωstds+ZtZx(Ohmst（x）- 日志（1+Ohmst（x）））ν（dx）ds. （94）其中{Rst}由（92）给出。将（94）int替换为（91），我们得到了以下利率的一般表示形式：命题3。在L'evy-Ito利率模型中，让布朗风险的向量市场价格{κt}，向量布朗波动结构{ωtT}，跳跃风险的市场价格{∧t（x）}，以及跳跃波动结构{OhmtT（x）}，以及初始术语结构{P0t}t>0。

然后，到期日为T的单位贴现债券的价格取形式ptt=1（T<T）P0tTexpZtκt·（ωsT- ωst）ds+ZtZx∧s（x）(OhmsT（x）- Ohmst（x））ν（dx）ds×经验值Zt（ωsT- ωst）·dWs-Zt（ωsT- ωst）ds×经验值ZtZ | x |>0log1 + OhmsT（x）1+Ohmst（x）~N（dx，ds）×经验值-ZtZx公司OhmsT（x）- Ohmst（x）- 日志1 + OhmsT（x）1+Ohmst（x）ν（dx）ds, （95）其中P0tT=P0T/P0T表示在时间0购买aunit t到期债券的远期价格。因此，我们可以看到，一旦确定了初始期限结构、风险过程的市场价格和波动性结构，货币市场账户和贴现债券价格就会确定。要提出一个特定的利率模型，需要为风险的市场价格和波动性结构选择一个参数形式，以便能够根据利率期权、期货合同和其他衍生品的初始期限结构和适当的流动市场价格范围对模型进行校准。由此产生的完全校准模型可用于风险管理和投资分析的模拟研究，以及复杂衍生品的定价和交易。与L'evy模型和布朗模型相比，L'evy-Ito模型具有n个优势，因为在L'evy-Ito情况下，可用于校准的功能自由度要灵活得多。五、 L'EVY-ITO型VASICEK模型作为通过短期利率方法导出的L'EVY-ITO利率模型的一个非平凡示例，我们构建了L'EVY-ITO型VASICEK模型。在L'evy-Ito-Vasicek模型中，短期利率{rt}t≥0被视为Ornstein-Uhlenbeck（OU）类型的均值回复过程，满足形式为drt=k（θ）的随机微分方程- rt）dt-κ（t）dWt-Z | x |>0σ（x，t）~N（dx，dt），（96），其中x∈ 注册护士。严格正常数k和θ表示平均回复率和平均回复水平。

我们假设确定性函数κ：R+→ R+满意度ztκ（s）ds<∞, （97）对于所有t>0，且左连续确定性函数σ：Rn×R+→ R+满意度z | x |<1σ（x，s）ν（dx）ds<∞,ZtZ | x|≥1expkσ（x，s）ν（dx）ds<∞, （98）对于所有t>0。短期利率的初始值是兰德，货币市场账户的初始值是统一的。在更一般的模型中，我们也可以让k和θ是时间的函数，但为了简单起见，我们保持这些参数不变。为了进一步简化符号，我们省略了布朗项。这个术语很容易恢复。风险规避过程被视为左连续的确定函数λ：Rn×R+→ R+的选择应确保ztz | x |<1λ（x，s）ν（dx）ds<∞,ZtZ | x|≥1λ（x，s）ν（dx）ds<∞, （99）对于t>0。然后严格正过程{Mt}t≥0定义单位MT=exp-ZtZ | x |>0λ（x，s）~N（dx，ds）-ZtZx公司e-λ（x，s）- 1+λ（x，s）ν（dx）ds（100）是鞅，随机微分方程（96）可以求解为givert=θ+（r- θ） e类-千吨级-ZtZ | x |>0ek（s-t） σ（x，s）~N（dx，ds）。（101）我们观察到rtisθ+（r- θ） e类-对于方差，我们有var[rt]=ZtZxe2k（s- t） σ（x，s）ν（dx）ds。（102）为了获得货币市场账户（54）和定价内核（56）的明确公式，我们需要一个综合短期利率的表达式，它=Ztrsds。（103）这可以通过直接积分（96）并重新排列结果来获得。我们得到它=θt-k（rt- r）-kZtZ | x |>0σ（x，s）~N（dx，ds）。（104）货币市场账户由BT=exp生成θt-k（rt- r）-kZtZ | x |>0σ（x，s）~N（dx，ds）, （105）定价核可以用πt=exp的形式表示-θt+k（rt- r）经验值ZtZ | x |>0kσ（x，s）- λ（x，s）~N（dx，ds）×经验值-ZtZx公司e-λ（x，s）- 1+λ（x，s）ν（dx）ds.

（106）利用这些表达式，我们继续推导贴现债券价格的表达式，使用众所周知的君士坦丁堡贴现债券估值公式【21】：PtT=1{t<t}πtEt【πt】。（107）由et[πT]=exp给出的πTis的条件期望-θT-k1.- e-千吨级（r）- θ)×经验值-ZTZx公司e-λ（x，s）- 1+λ（x，s）ν（dx）ds×经验值ZtZ | x |>0k1.- 瑞典克朗-T）σ（x，s）- λ（x，s）~N（dx，ds）×EexpZTtZ | x |>0k1.- 瑞典克朗-T）σ（x，s）- λ（x，s）~N（dx，ds）, （108）对于t<t，如果我们引入较短的ra t e，则取较简单的formEt[πt]=exp-θT-k（r- θ） +ke-k（T-t） （rt- θ)×经验值-ZTZx公司e-λ（x，s）- 1+λ（x，s）ν（dx）ds×经验值ZtZ | x |>0kσ（x，s）- λ（x，s）~N（dx，ds）×EexpZTtZ | x |>0k1.- 瑞典克朗-T）σ（x，s）- λ（x，s）~N（dx，ds）. （109）然后除以定价核的表达式（106），我们可以看到这里的t是某种取消，我们得到πtEt[πt]=exp-θ（T-t）-k1.-e-k（T-t）（rt- θ)×经验值-ZTtZxe-λ（x，s）- 1+λ（x，s）ν（dx）ds×EexpZTtZ | x |>0k1.- 瑞典克朗-T）σ（x，s）- λ（x，s）~N（dx，ds）. （110）第三阶段的期望值仍有待制定。现在，对于任何确定性的左连续过程{f（x，t）}t≥0，x∈RnsatisfyingZtZ | x |<1f（x，s）ν（dx）ds<∞ （111）andZtZ | x|≥1ef（x，s）ν（dx）ds<∞,ZtZ | x|≥1 | f（x，s）|ν（dx）ds<∞, （112）对于t≥ 0，我们可以利用所谓的指数公式expZTtZ | x |>0f（x，s）~N（dx，ds）= 经验值ZTtZxef（x，s）- 1.-f（x，s）ν（dx）ds.（113）因此，如果每个固定T>0，我们定义ft（x，s）=k1.- 瑞典克朗-T）σ（x）- λ（x）（114）表示0≤ s≤ 然后通过（98）和（99）我们得到经验值ZTtZ | x |>0英尺（x，s）~N（dx，ds）= 经验值ZTtZxefT（x，s）- 1.-英尺（x，s）ν（dx）ds.（115）最后，使用（110）、（114）和（115），我们得出以下结论：命题4。

在一个L'evy-Ito利率模型中，短期利率{rt}满足一个Ornstein-Uhlenbec k方程，平均回复率k，平均回复水平θ，确定性跳跃风险厌恶{λ（x，t）}，确定性跳跃容量{σ（x，t）}，给出了0≤ t<t bylog PtT=-（T- t） θ+k1.-ek（t-T）(θ - rt）+ZTtZx经验值k1.- 瑞典克朗-T）σ（x，s）- 1.e-λ（x，s）-k1.- 瑞典克朗-T）σ（x，s）ν（dx）ds。（116）因此，通过使用定价核技术，我们在列维-伊托-瓦西塞克模型中得到了到期日为T的单位贴现债券的价格表达式，推广了[17，18，67，79]的结果。函数{λ（x，t）}和{σ（x，t）}提供的额外自由度使模型在与市场数据进行拟合时具有灵活性。Levy-Ito-Vasicek模型的一个有趣特征是，通过允许风险厌恶随跳跃大小和时间的变化而变化，可以让gents对负跳跃的风险厌恶程度远远超过对正跳跃的风险厌恶程度，同时考虑到不同跳跃水平的风险厌恶程度可能会随着时间的推移而变化。这种行为特征可以被纳入列维Ito模型。所谓的L'evy-Vasicek模型【17、31、67】，通过设置n=1，λ（x，t）=λx，σ（x，t）=σx表示λ，σ∈ R、 构成一个更专业的类别，不允许对不同的跳跃大小和时间框架表现出不同程度的风险规避或意愿。在L'evy-Vasicek模型中，一旦我们恢复布朗项，由短半径满足的动力学方程的形式为drt=k（θ- rt）dt- κdWt- σdξt，ξt=ZtZ | x |>0x▄N（dx，ds）。

（117）很明显，可以通过恢复布朗项并结合平均回复率和平均回复水平的确定性时间依赖性来推广L'evy-Ito-Vasicek模型【45，50】。六、 利率的L'EVY-ITO混沌模型我们在本节中研究的L'EVY-ITO利率模型相当广泛的一类，作为使用定价核方法的一个例子，并且定义了定价核的性质。定价核可以表示为F的条件方差∞-可测平方可积随机变量。现在，众所周知（[66]，第164页），过滤概率空间上的平方可积随机变量的条件方差可能是D型。这一特性使该过程成为一个可行的候选过程，可作为定价核[3 2，73]。我们将关注接下来确定定价核允许条件变量表示的模型类别的更为微妙的问题。众所周知，利用这一性质可以构造一大类布朗利率模型[13，44，71]。在这里，我们讨论了一类更一般的条件方差模型的构造，包括跳跃。设置如下。我们考虑定价核{πt}t的L'evy-Ito模型≥0如第三节所述。为了简单起见，我们抑制了该过程的布朗依赖性。我们假设利息率为e{rt}t≥0是严格正的，并且该模型支持存在以单位本金持续支付短期利率的浮动利率票据。这种音符的价值在于统一。因此，对于所有t，我们的St=1≥ 0和（dt）=rtdt，根据估值公式（53），我们得到1=πtEtZ∞trsπsds.