关于任意集合的随机积分

在§3.7中，我们将看到一个带有不可数I.）的示例。然后，参考附录中的备注A.6，可以直接检查给定的≡ （Fi；i）∈ （一）∈ 当且仅当有限维随机积分和数学金融13表示F=R·F（t）dO（t）对某些（P B（I））-可测量的f：(Ohm ×R+×I→ R与f（ω，t）∈ （P）的R（c（ω，t）） O） -a.e.（ω，t）∈ Ohm ×R+，和ZTKF（t）kc（t）dO（t）<∞, P-a.e。，T∈ R+。备注1.6（独立布朗情形）。设I为任意索引集。对于任何J∈ Cou（I），定义l由y组成的Hilbert空间≡ （yj；j∈ J） 与propertyPj∈J | yj|<∞. 我们装备了这个空间lj与内积h·、·ilJde定义viahy，zilJ=Xj∈Jyjzj，y=（yj；j∈ J）∈ lJ、 z=（zj；J∈ J）∈ lJ、 假设Cii（t）=t，t∈ R+，适用于所有i∈ 一、 和Cij≡ 0每当我 i 6=j∈ 一、 这种特殊性对应于由一组独立布朗运动生成的I上的连续正定义随机核。在这种情况下，很容易理解为≡ （Fi；i）∈ （一）∈ R（C）当且仅当存在J∈ 可以这样做吗？Fi≡ 0表示i∈ 我；o存在族fJ≡ （fj；j∈ J） 使用rtkfj（t）k的可预测过程lJdt<∞对于所有T∈ R+，所有j的Fj=R·Fj（t）dt∈ J、 当随机聚合核的结构比刚才描述的“独立布朗”核更复杂时，如（1.10）所示的空间R（C）的意义在于取代了l核具有rkHs结构的空间表示v ia dC。1.5. 限制和预测。J的空间R（CJJ） 我是通过考虑元素对J的限制来定义的。然后，类似于引理A.3和备注A.4，F∈ R（C）在d仅在FJ时成立∈ R（CJJ）h适用于所有J∈ Cou（一）。

在这种情况下，存在SQ≡ Q（F）∈ 可以证明过程等式Z·kdF（t）kdC（t）=Z·kdFQ（t）kdCQQ（t）是有效的。实际上，在（1.12）的符号中，Q=Sn∈新泽西州。对于J∈ Fin（I），mapp ingR（CJJ）Z·Xj∈JθJ（t）dCJj（t）7→Z·Xj∈JθJ（t）dCIj（t）∈ R（C）是内射的，我们称R（C；J）为它的象。这样，R（CJJ）与R（C；J）等距；上一个映射的倒数只是R（C；J） F 7级→ FJ公司∈ R（CJJ）。14康斯坦丁诺斯·卡尔达拉斯2。连续半鞅任意集合的随机积分2.1。连续半鞅拓扑。在紧致时间间隔上有限第一变量的自适应和右连续标量过程集FV上，我们定义了次可加函数·FV：FV→ [0，1]通过（2.1）BFV··=Xk∈N-kEP公司1.∧Zk | dB（t）|, B∈ FV。我们还考虑了平移不变度量FV×FV生成的拓扑（A、B）7→ B- A.FV。在这种拓扑中的收敛相当于在紧区间上总变差概率的收敛。回想一下，cS表示所有连续体的类，标量半鞅X≡ B+L，X（0）=0。此处X≡ B+L表示X的Doob-Meyer分解，即B的和∈ cFV和L∈ cMloc。我们引入了一个次可加泛函·cS：cS→ [0，1]通过十、cS··=BFV+ll【L，L】1/2mmFV，X≡ B+L∈ 反恐精英。cS拓扑，由平移不变度量cS×cS生成 （X，Z）7→ Z- 十、CSC可以被视为与['E79]的半鞅拓扑（所谓的局部版本）一致，仅限于连续半鞅。从现在起，我们将推出一系列P≡ （Pi；i∈ （一）∈ csi和writePi=Ai+Mi，i∈ 一、 其中A≡ （Ai；i）∈ （一）∈ C和M≡ （Mi；i∈ （一）∈ cMIloc。

然后我们确定C≡ （Cij；（i，j）∈I×I）∈ cFVI×Ivia Cij··=【Pi，Pj】=【Mi，Mj】，（i，j）∈ I×I如（1.2）所示。对于P≡ （Pi；i∈ （一）∈ cSI，我们将用S（P）表示所有随机积分集的cS闭包，这些随机积分集可以仅使用P的有限个分量作为积分器，并通过使用简单的可预测积分器来形成。当I具有有限基数时，S（P）与所有S-tochastic积分的集合重合，这些积分可以使用P作为积分器，通过使用向量随机积分形成；有关最后一项索赔的证明，请参见['E79]。2.2. 路线图。为了搭建舞台并引入一些主要演员，让我们对即将到来的事情进行一点预览。我们最终将在§2.5中建立必要和充分的条件，在此条件下，一方面空间S（P）与另一方面的随机聚合rkHs R（C）（1.10）之间存在双射。这些空间中的第一个空间是关于连续半鞅集合P的“扩展s-ToCastic积分”≡ （Pi；i∈ 一） ，而第二个空间将容纳该理论的“可容许扩展被积函数”，即这些扩展随机积分与积分器的累积协变量（Pi；I∈ 一） 。无限维随机积分和数学金融所需的精确结构条件15这个双射出现在定理2.3中：漂移过程A≡ （Ai；i）∈ 一） P的值必须属于随机聚合rkHs R（C）。我们还将看到，当这样的双射存在时，dR（C）配备有m度量R（C）×R（C） （F，H）7→ H- F（2.2）的R（C）FR（C）·=&&Z·kdF（t）kdC（t）1/2\'\'FV，F∈ 如（1.11）和（2.1）所示，空间S（P）实际上与R（C）同构。这一特征将允许WUS在命题2.2中纯粹从累积协变量的角度来描述s et s（P）。2.3.

连续局部鞅的同构。为了获得扩展随机积分的空间S（P）和（1.10）的随机集合rkHs R（C）彼此相等的确切结构条件，我们考虑了以下情况：≡ （Pi；i∈ （一）∈ CSI是连续局部鞅的集合。然后，我们将使用另一种更具启发性的符号M≡ （Mi；i∈ 一） 代替P，取Mi（0）=0表示所有I∈ 我不失概括性。召回随机聚合核≡ （Cij；（i，j）∈ I×I）通过Cij定义··=（I，j）的[Mi，Mj]∈ I×I如（1.2）所示。有限基数的指数集。我们首先假设I是一个非空有限集。正如我们已经注意到的，S（M）与所有局部鞅的集合相一致，这些局部鞅从零开始，是关于M的随机积分∈ S（M），并写入L=R·Pi∈IθI（t）dMi（t），其中向量过程的分量θ≡ （θi；i∈ 一） 可预测且满足局部可积条件（2.3）ZTX（I，j）∈I×IθI（t）dCij（t）θj（t）<∞,  T∈ R+。该条件对于定义L是必要的，因为（2.3）等式【L，L】（T）中的数量必须是有限的。F··=（[L，Mi]；i）∈ （一）∈ cFVI，（2.3）中的数量等于rtkdf（t）kdC（t），因此等于F∈ R（C）。此外，给定任意两个局部鞅∈ S（M），N∈ S（M）带（[L，Mi]；i）∈ 一） =（[N，Mi]；I∈ 一） ，并用F表示∈ R（C）这个公共值，我们注意到- N、 L- N]=[L，L]+[N，N]- 2[L，N]=0保持恒等式[L，L]=[N，N]=[L，N]=R·kdF（t）kdC（t）的光。我们的结论是，这个家庭（[L，Mi]；i∈ 一） 属于R（C），并且得到的映射（2.4）S（M） L 7→ （[L，Mi]；i∈ （一）∈ R（C）是一对一。我们认为（2.4）的映射也在双射上。

要了解这一点，我们将随机收集F≡ （Fi；i）∈ （一）∈ R（C），在（1.7）中定义了可预测的过程θFas，16 CONSTANTINOS Kardaras注意到Fi=R·Pnj=1θFj（t）dCij（t）表示i∈ I和ZTX（I，j）∈I×IθFi（t）dCij（t）θFj（t）=ZTkdF（t）kdC（t）<∞, T∈ R+。这个可积条件意味着过程（2.5）MF··=Z·Xi∈IθFi（t）dMi（t）是空间S（M）的一个定义良好的元素，即对于所有I∈ 一、 二次变化（2.6）MF，MF=Z·kdF（t）kdC（t）。因为，通常，dMF=Pi∈IθFidMi=hdF，dMidC，我们建议写下，（2.7）MF=Z·hdF（t），dM（t）idC（t），F∈ R（C），用于MF∈ S（M）in（2.5）。常规索引集。现在，我们将之前的讨论（适用于有限指数集）扩展到空指数集I上的任意n。首要任务是再次确保映射s（M） L 7→ （[L，Mi]；i∈ （一）∈ cfvii实际上是R（C）值的。我们陈述并证明为稍强一点的陈述，以备日后使用。引理2.1。对于任何半鞅Z，它认为（[Z，Mi]；i）∈ （一）∈ R（C）。证据如果L表示Z的唯一定义的连续局部鞅部分，则th en[Z，Mi]=[L，Mi]适用于所有i∈ 一、 因此，我们可以并且将假定Z∈ cMloc。设F··=（[Z，Mi]；i）∈ 一） 。对于任何给定的有限子集J∈ Fin（I），let N≡ Nj表示S（MJ）的唯一元素 S（M），对于所有j，Fj=【N，Mj】∈ J（此类N存在于渡边谷田分解）。根据之前处理的有限指数案例，我们得出z·kdFJ（t）kdCJJ（t）=[N，N]≤ [Z，Z]。但从（1.10）可以看出，rtkdf（t）kdC（t）≤ [Z，Z]（T）<∞ 每T保持∈ R+，建立F∈ R（C）。引理2.1表明（2.4）的映射在我们的新环境中也得到了很好的定义。下面的Weargue，就像在有限指数的情况下一样，这个映射实际上是一个双射。

该结果未正式说明；它将包含在下面更一般的定理2.3中。无限维随机积分和数学金融17（2.4）中双射性的证明。首先，我们认为（2.4）中的m ap ping是一对一的。假设∈ S（M）和N∈ S（M）是这样的（[L，Mi]；i∈ 一） =（[N，Mi]；I∈ 一） 保留和调用∈ R（C）该公共值。对于任何J∈ Fin（I），设LJand和NJbe分别是L和N的S（MJ）上的K unita Watanabe分解中的唯一元素，并注意[LJ，MJ]=[L，MJ]=Fj=[N，MJ]=[NJ，MJ]，j∈ J、 通过对有限指数集情况的讨论，可以得出LJ=NJ。然后可以选择一个公共的非减量序列（Jn；n∈ N） 在Fin（I）中，带有propertylimn→∞↓L- LJn，L- LJn公司= 0=极限→∞↓N- NJn，N-新泽西州,其中，L=N紧随其后，表明映射（2.4）是一对一的。我们进一步认为（2.4）的映射也在上。我们从给定的F开始∈ R（C），andlet（Jn；n∈ N） 是Fin（I）中的序列，以便（1.12）保持不变。自Gn··=FJn起∈ R（CJnJn），我们可以定义MGnJn∈ cS（MJn）适用于所有n∈ N、 用（2.5）表示。此时，过程等距图（2.6）、（1.12）表示MGnJn；n∈ N是Cauchy，单位为cS（M）；让MF··=cS限制→∞MGnJn公司∈ S（M），我们在当前的上下文中得到（2.6）；也就是说，（2.8）MF，MF=Z·kdF（t）kdC（t）。我们声称MF，Mi= Fiholds for all i∈ 一、 为此，我们定义了一个任意索引∈ I和，对于每个n∈ N、 设Qn=Jn∪ {i} 。自Hn··=FQn起∈ R（CQnQn），它认为MHNQN∈ cS（MQn），适用于所有n∈ N、 用（2.5）表示。因为（1.12）适用于（Jn；n∈ N） 和Jn HN适用于所有n∈ N、 cS limn立即发布→∞MHnQn=MF；因为我∈ Qn，我们有密歇根州MHnQn= Fifor全部n∈ N、 so【MF，Mi】=最终结果成立。但我∈ 我是武断的，所以事实上（[MF，Mi]；我∈ 一） =F，表明（2.4）的映射实际上是一个双射。2.4.

连续半鞅结构条件下的随机积分。现在让我们回到一般集合P≡ （Pi；i∈ （一）∈ cSIof连续半鞅，并回忆其协变结构C≡ （Cij；（i，j）∈ I×I）如（1.2）所示。根据引理2.1，映射g cS（P） Z 7→ （[Z，Pi]；i∈ 一） 取R（C）中的值。我们在§2.3中看到映射（2.9）S（P） Z 7-→ （[Z，Pi]；i∈ （一）∈ 当a≡ 下面的定理2.3指出，这种双射性在更一般的结构条件A下是有效的∈ R（C）；更重要的是，这个条件实际上等价于（2.9）中的映射是双射的。我们从一个中间但重要的结构结果开始，在条件A下∈ R（C），扩展随机积分空间cS（P）的精确描述。18 CONSTANTINOS KARDARASIn根据（2.7），并根据§2.3中的讨论，我们设定（2.10）MF≡Z·hdF（t），dM（t）idC（t），F∈ 工艺MF的R（C）∈ S（米） 对于所有i，由[MF，Pi]=[MF，Mi]=Fi唯一确定的cmloc∈ 一、 提案2.2。在结构条件A下∈ R（C），扩展随机积分的空间S（P）允许表示（2.11）S（P）=Z·hdF（t）、dA（t）idC（t）+Z·hdF（t）、dM（t）idC（t）F∈ R（C）.上面，我们使用（1.5）和（2.10）的符号。证据首先假设我是有限的。让Z∈ S（P）并写入Z=R·hθ（t），dP（t）iRI，其中θ≡ （θj；j∈ 一） 必须满足（2.3），以及RT | hθ（t），dA（t）iRI |<∞, 对于所有T∈ R+。设置F··=（[Z，Pi]；i∈ 一） =R·Pj∈Iθj（t）dCIj（t），假设A∈ R（C），我们得到Z·| hθ（t），dA（t）iRI |=Z·hdF（t）、dA（t）idC（t）≤sZ·kdF（t）kdC（t）sZ·kdA（t）kdC（t），其中最后一个过程的价值是确定的。

特别地，局部可积条件（2.3）是定义随机积分r·hθ（t），dP（t）的必要条件和有效条件；然后，建立了Z=Z·hθ（t）、dA（t）iRI+Z·hθ（t）、dM（t）iRI=Z·hdF（t）、dA（t）idC（t）+hdF（t）、dM（t）idC（t）和（2.11）。现在我们放弃了I的有限基数假设。我们从定义Z开始∈ S（P），并设置F··=（[Z，Pi]；i∈ 一） 。考虑序列（Jn；n∈ N） in-Fin（I）和（Zn；N）∈ N） 在cS中，使Zn∈ S（PJn）适用于所有n∈ N、 和cS limn→∞Zn=Z。对于每个n∈ N、 letFn··=（[锌，π]；i∈ 一） 。给定渡边Kunita分解MA=MAJn+Nn，对于所有n，Nn与S（MJn）中的局部鞅强正交∈ N、 因此，z·hdFnJn（t），d AJn（t）idCJnJn（t）=最惠国待遇，主要=最惠国待遇，MA=Z·hdFn（t），d A（t）idC（t）。因此，刚刚建立的覆盖有限指数集的结果给出了szn=Z·hdFn（t），d A（t）idC（t）+Z·hdFn（t），d M（t）idC（t），n∈ N、 无限维随机积分与数学金融→∞Zn=Z表示P-limn→∞[锌- Z、 锌- Z] （T）=0表示所有T∈ R、 和alsosince[Zn- Z、 锌-Z] =R·kdFn（t）- dF（t）kdC（t），我们得到Z=Z·hdF（t），dA（t）idC（t）+Z·hdF（t），dM（t）idC（t）。因此，S（P）包含在（2.11）右侧的集合中。相反，从任何给定的F开始∈ R（C）。定义R（C）的子集R（C；Fin），如（1.3）所示，但用一些任意有限子集J替换I∈ Fin（I），以及（1.4）中的适当可积条件；然后，在（2.2）诱导的热度下，R（C；Fin）在R（C）中是稠密的。CONSIDER a序列（Fn；n∈ N） 在R（C；Fin）中，使R（C）limn→∞Fn=F。然后，用Zn··=Z·hdFn（t），da（t）idC（t）+Z·hdFn（t），dm（t）idC（t），我们得到了Zn∈ S（P）在有限指数情况下，以及Cs-limn→∞Zn=Z·hdF（t），dA（t）idC（t）+Z·hdF（t），dM（t）idC（t）如下所示。

因此，（2.11）右侧的集合包含在S（P）中，并且屋顶是完整的。2.5. 连续半鞅的同构与结构条件。根据命题2.2，在结构条件下∈ R（C），（2.9）的映射是一个双射，其中的逆由R（C）给出 F 7级-→Z·hdF（t）、dA（t）idC（t）+Z·hdF（t）、dM（t）idC（t）∈ S（P）。让我们回顾一下cS limn→∞Ln=L∞序列保持（Ln；n∈ N） 在S（M）中，当且仅当我们有limn→∞[L∞-Ln，L∞-Ln]（T）=0表示所有T∈ R+。这一事实与过程等距（2.8）一起表明，当R（C）具有（2.2）的度量时，S（M）和R（C）是度量同构的。下一个定理相当大程度地概括了这些观察结果。结合命题2.2，它提供了我们关于随机积分与连续半鞅的任意族（可能是不可数的有限族）的主要结果。定理2.3。下列语句是等价的：（1）映射S（P） Z 7→ （[Z，Pi]；i∈ （一）∈ R（C）是一个双射。（2） A∈ R（C）。在这些等价条件下，扩展随机积分的空间S（P）允许出现（2.11），并且在拓扑上同构于（1.10）的随机聚合rkHs R（C）。20康斯坦丁诺斯·卡尔达拉斯·普洛夫。我们只需要确定含义（1）=> （2） 关于S（P）和R（C）之间拓扑同构的主张；在定理2.3的陈述之前，其他一切都已经讨论过了。

因此，对于这个证明的其余部分，我们将假设条件（1）成立。第1步：我们声称，对于每一个有限的子系统∈ Fin（I），存在一个可预测的向量过程νJ≡ （νJj；j∈ J） 使Aj=R·νJ（t），d CJj（t）rj对每个索引j有效∈ J、 为了看到这一点，我们∈ Fin（I）并写下分解aj=Z·νJ（t），d CJj（t）RJ+Bj，j∈ J、 其中B∈ 关于CJJ，cFVJis为单数。然后，存在一个有界的可预测过程κ=（κj；j∈ J） 因此，R·hκ（t），dB（t）iRJ=R·kdB（t）kRJandR·hκ（t），dCJj（t）iRJ≡j为0∈ J、 因此k··=Z·hκ（t），dPJ（t）iRJ=Z·kdB（t）kRJ∈ S（PJ） S（P）是一个有限的变化过程，所以对于所有i∈ 我但是映射S（P）Z 7→ [Z，Pi]∈ 假设（2.9）的R（C）是一对一的，所以K≡ 0; 这意味着B≡ 0并建立声明。带ab ove符号，对于每个J∈ Fin（I）和AJ=（AJ；j∈ J） ，我们有Z·kdAJ（t）kdCJJ（t）=Z·X（i，J）∈J×JνJi（t）dCij（t）νJj（t）。第二步：我们需要展示∈ R（C），并将以矛盾的方式对此进行论证；所以我们假设这个条件失败了，也就是说，存在一些T∈ (0, ∞), 对于事件Γ··，P[Γ]>0=ZTkdA（t）kdC（t）=∞.既然做出了这个假设，让我们来看看它的一些含义，直到这个矛盾点被解决为止。第一个含义是，存在一个非递减序列（Jn；n∈ N） 在Fin（I）中，以及序列（N；N∈ N） 对于可预测不相交集，例如，ηN··=νJn∏N，过程vn··=Z·X（i，j）∈Jn×Jnηni（t）dCij（t）ηnj（t）=Z·X（i，j）∈Jn×Jnηni（t）dCij（t）νJnj（t）=Z·hηn（t），d AJn（t）是所有n的唯一值∈ N、 但也满足P[Vn（T）≤ exp（2n）|Γ]≤ 2.-n-1，全部n∈ N、 带∧··=Tn∈N{Vn（T）>exp（2n）}，则P[λ|Γ]≥ 1/2，这在无限维随机积分和数学金融21中特别意味着P∧>0。