关于任意集合的随机积分

根据提案2.2，F∈ R（C）；那么，由于Y 6= 暗示到∈ R（C）通过定理3.3，我们从定理2.3中得到了唯一Z的存在性∈ S（P）【Z，Pi】=Fi，对于所有i∈ 一、 从以上过程K··=Z+x确定局部约束EDP-十、 然后得出[K，Mi]=[K，Pi]=[Z，Pi]-[X，Pi]=Fi- Fi=所有i保持0∈ 一、 FurThermore的陈述（1）和引理3.5之后的讨论表明，Y K是所有Y的局部子鞅∈ Y、 我们需要证明K∈ FV公司.等效地，定义（3.7）B··=Z·E(-MA）（t）dK（t）=E(-MA）K+Z·K（t-)E类(-MA）（t-)dMA（t），其中[K，MA]=0的事实用于获得右侧等式，我们需要显示B∈ FV公司.因为K是局部子鞅，对于所有i，[K，Mi]=0∈ 一、 因此，对于所有I，[B，Mi]=0的a局部子鞅是B∈ 一、 特别是，如果N∈ cmloc表示B的唯一定义的连续局部鞅部分，对于所有i，[n，Mi]=0∈ 一、 andB-N是局部子鞅，在[L，B]的意义上，它是一个纯不连续的-N] =0所有L保持∈ cMloc。因为Y K是所有Y的局部子鞅∈ Y、 按部件和（3.7）进行集成，使用E(-mN）E(-MA）∈ Y和[N，Mi]=0表示所有i∈ 一、 给出了进程E(-mN）B是所有m的局部子鞅∈ N、 同样，使用部件积分和[B，N]=[N，N]这一事实，我们得到(-mN）B=-mZ·E(-mN）（t-)B（t-)dN（t）+Z·E(-mN）（t-)d（B（t）- 因为上述过程是所有m的局部子鞅∈ N、 下面是B- m[N，N]是所有m的局部上鞅∈ N、 只有当N=0，即N=0时，这才可能发生。因此，对于所有L，[L，B]=0∈ cMloc和LB是所有纯间断局部鞅L的局部子鞅，其中L>- 1.

直接应用[KK15，引理2.1]，我们得到B实际上必须是非减量的，即B∈ FV公司, 这就完成了辩论。无限维随机积分与数学金融29备注3.7。假设Y 6=, 设X是X（0）=X的随机过程∈ 从下方局部有界的R。下面的陈述是等价的：（1）Y X是所有Y的局部鞅∈ Y、 （2）对于某些F，它认为X=Xx，F∈ R（C）。实际上，含义（2）=> （1） 在定理3.6的陈述之前进行了讨论。假设条件（1），并且由于局部可积f的局部鞅是局部超鞅，定理3.6给出了某些f的X=Xx，f，Kholds∈ R（C）和K∈ FV公司.同样，条件（1）和定理3.6陈述之前的讨论意味着k=0，条件（2）紧随其后。3.5. 套期保值。我们假设市场是可行的，允许使用§3.3中解释的财富消费过程。财富消费过程X≡ Xx，F，G，代表x∈ R+，F∈ R（C）和G∈ FV公司据说是对冲给定的K∈ FV公司如果X≥ K持有；此外，如果X，则此类X将被称为K的最小对冲≤ 只要Z是K.I f Xx，f，G，x的任何其他对冲，Z就保持不变∈ R+，F∈ R（C）和G∈ FV公司是K的树篱∈ FV公司, 然后在“纯财富”过程中，金融机构也必然进行对冲；然而，对K的最小对冲也可能涉及资本撤出。根据上述理解，并根据（3.2）确定套期保值价值（3.8）x（K）··=infx>0|F∈ R（C）带Xx，F≥ K, K∈ FV公司.自Xs起 十、 X（K）≤ xs（K）适用于所有K∈ FV公司. 如（3.4）、（3.9）supY的证明∈YE公司Z∞Y（t）dK（t）≤ x（K），K∈ FV公司持有。在p关节中，x（K）=0表示K∈ FV公司暗示K≡ 0，这似乎是市场生存能力的有力条件。

因此，x（K）=0当且仅当xs（K）=0；然而，构建K的示例是一种很好的方法∈ FV公司其中严格不等式x（K）<xs（K）有效。下一个辅助结果可以是（3.8）的“动态”版本。引理3.8。设X为K的任意对冲∈ FV公司. 然后，它认为（3.10）K（s）+ess supY∈YE“Z（s，∞)Y（t）Y（s）dK（t）F（s）#≤ X（s），s∈ R+。证据修复s∈ R+。对于任何Y∈ Y和任何停止时间T≥ s、 Y（T）X（T）≥ Y（T）K（T）=Y（s）K（s）+ZTsY（T）dK（T）+ZTsK（T-)dY（t）。30 CONSTANTINOS-KARDARASA标准局部化论点应用于局部鞅K（t-)dY（t）与单调收敛定理结合，并利用Y X，givesY（s）X（s）的上鞅性质≥ Y（s）K（s）+EZ∞sY（t）dK（t）F（s）.在最后一个等式中始终与Y（s）分开，然后在所有Y上取得基本的优先权∈ Y、 （3.10）如下。下一个结果特别表明，（3.9）中的不等式是一个实际的等式。定理3.9（对冲对偶性）。假设市场在定义3.1的意义上是可行的。然后，它认为（3.11）x（K）=supY∈YE公司Z∞Y（t）dK（t）, K∈ FV公司.此外，如果x（K）<∞ 对于K∈ FV公司, 当X（0）=X（K）时，K存在最小X对冲；对于这个最小对冲X，它认为（3.12）X（s）=K（s）+ess supY∈YE“Z（s，∞)Y（t）Y（s）dK（t）F（s）#，s∈ R+。证据考虑到可选分解定理3.6的有效性，该结果的证明是标准的，我们仅对其进行了概述。设z（K）为（3.11）右侧的数量，因此z（K）≤ x（K）保持K∈ FV公司根据（3.9）。如果z（K）=∞, （3.11）基本满足。假设z（K）<∞, 定义s的Z（s）∈ R+为（3.12）的右侧。注意Z（0）=Z（K）。

例如，根据[Kra96，命题4.3]中的论点（将局部鞅密度替换为局部鞅密度），每年∈ Y、 Y~Z是具有右连续期望的超鞅；特别是，由于Y 6=,Z允许右连续修改，我们仍然用Z表示。然后，根据可选分解定理3.6，存在F∈ R（C）和G∈ FV公司这样xz（K），F，G=Z≥ K、 特别是x（K）≤ z（K），这意味着x（K）=z（K）。更一般地说，Z是K的对冲，由于K的任何对冲都必须比Z大（3.10），我们得到Z是最小对冲，并且（3.12）如下。3.6. 完整性。我们假设这个市场是可行的。我们解释一对（T，g），当∈ R+和g∈ L+（F（T））（即g是一个非负F（T）-可测量的随机变量，作为欧洲未定权益，其中g的支付将在到期日T时收集。任何此类对（T，g）可与负债流g1[T，∞), 其中x（g1[T，∞)) 其对冲资本。更准确地说，作为定理3.9的推论，我们有x（g1[T，∞)) = 苏比∈YE[Y（T）g]；无限维随机积分与数学金融≡ x（g1[T，∞)) < ∞, 存在最小对冲，即财富消耗过程X≡ Xx，F，g使X（T）≥ g、 这也是最小的拥有这个属性。作为下一定义的一部分，给定的财富过程X∈ X将被称为最大atT∈ R+if，无论何时Z∈ X为Z（0）=X（0）和X（T）≤ Z（T），它实际上保持X（T）=Z（T）。定义3.10。一个可行的市场将被称为完整的，如果∈ R+和g∈L+（F（T））是xg1[T，∞)< ∞, 然后存在X∈ 定义3.10中的最大值是为了避免使用自杀策略来复制未定权益。

这相当于要求复制有界未定权益的财富过程应该有界，这出现在完整性的“经典”定义中。下一个结果，通常被称为“第二基础理论”（second-fundamentaltheorem），它的重要性至少可以追溯到[HP81]。定理3.11。假设市场是可行的。那么，市场是完整的，如果且仅如果存在唯一的局部鞅deflicator。证据首先假设存在唯一的局部鞅定义：Y={Y}。让T∈ R+和g∈ L+（F（T））为x≡ x（g1[T，∞)) < ∞. 根据定理3.9，x=E[Y（T）g]。通过n（t）=E[Y（t）g | F（t）]定义所有t的非负鞅n∈ [0，T]。由于Y={Y}，从定理3.9可以看出，与g1[T]相关的最小对冲X，∞)满足度Y X=N。由于Y={Y}，N是（局部）鞅，注释3.7暗示X∈ 十、 我们声称X是最大的：事实上，如果Z∈ X满意度Z（0）=X=X（0）和X（T）≤ Z（T），然后E[Y（T）Z（T）]≤ Y（0）Z（0）=x=E[Y（T）x（T）]，与Y（T）>0结合，给出x（T）=Z（T）。自T起∈ R+和g∈ L+（F（T））与x（g1[T，∞)) < ∞ 是任意的，市场完整性如下。现在假设市场（可行且）完整。通过自相矛盾的方式，假设存在多个局部鞅消元。根据命题3.4，存在>0和L∈ 对于所有i，当P[L（T）=0]<1且[L，Mi]=0时，Mloc∈ 一、 这是一种直接的检查，我们可以额外假设L s为| L |≤ 1/2. 定义（g）∈ 通过g··=（1/2+L（T））/E的L+（F（T））(-MA）（T）。注意（3.13）EY（T）Y（s）gF（s）≤Y（s）EY（T）E(-MA）（T）F（s）≤E类(-MA）（s），s∈ [0，T]，Y∈ Y、 从提案3.4开始，如下所示(-MA）是非负局部鞅。特别是x≡ x（g1[T，∞)) ≤ 1 < ∞. 让X∈ X是[0，T]过程中的最大值，使得X（T）=g。

此外，设Z是g1[T]的最小对冲，∞). 因为Z（0）=x≤ X（0）32 CONSTANTINOS KARDARASholds根据对冲价值的定义和定理3.6，以及Z（T）=g=X（T），X的最大值意味着X=Z，即X必然是g1[T]的最大对冲，∞).使用（3.13），Th eorem（3.6）表示X≤ 1/E(-MA）。设置N=E(-MA）X，注意N（T）=1/2+L（T），N是[0，T]上的非负有界局部鞅，即实际鞅。此外，从引理3.5来看，N=x+mh对H保持不变∈ R（C）。因为L也是鞅，所以N（t）=1/2+L（t）对所有t都成立∈ [0，T]。这意味着[L，L]=MH，L≡ 0，这导致L≡ 0，产生矛盾。我们得出结论（1）=> （2） 是有效的。考虑一个可行且完整的市场。在定理3.11的证明过程中，证明了欧洲未定权益的最小对冲不涉及资本撤出。事实上，这也是与任何K相关的最小对冲的情况∈ FV公司这样x（K）=EZ∞Y（t）dK（t）< ∞,其中，根据定理3.11，Y是唯一的局部鞅定义。事实上，根据（3.12），最小对冲K满意度的过程X（3.14）Y（s）X（s）=Y（s）K（s）+E“Z（s），∞)Y（t）dK（t）F（s）#，s∈ R+。自流程Y K-R·Y（t）dK（t）Y K=R·K（t-)dY（t）是局部鞅，从（3.14）可以看出Y X也是局部鞅。鉴于备注3.7，流程X（其主要对冲K）在没有任何资本提取的情况下进行对冲。3.7. 例如：Heath Jarrow Morton模型。我们现在将指数集I设为非负实数线R+，对应于零息债券的所有可能到期日，即到期时支付单一货币单位的工具。我们将在此类市场的背景下，说明我们迄今为止发展的理论。

我们首先将自己置于希思·贾罗·莫顿的零息票债券价格框架中。为了说明这一背景，让我们看一下时间t的价格∈ 到期日为T>T的债券的零耦合的R+。其思想是明确建模远期利率的演变，远期利率正式从债券价格viaf（T；T）获得= logePT（T；T），0≤ t型≤ T<∞.特别是r（t）≡ f（t；t）表示t∈ R+表示在极小区间（t，t+dt）内的瞬时短期利率。因此，根据惯例f（s；t）=f（t；t）=R（t）无限维随机积分和数学金融330≤ t型≤ s<∞, 贴现零息票债券价格应等于（t；t）=exp-Ztr（u）dueP（t；t）=经验-Ztr（u）du经验值-ZTtf（t；u）du= 经验值-ZTf（t；u）du, t型∈ R+。我们注意到，即使t>t，上述定义也延长了债券价格P（t；t）的“寿命”，在这种情况下，P（t；t）=P（t；t）成立。无需实际担忧：在时间T后投资于以价格P（·；T）表示的模型T债券不会产生任何结果（因为实际上债券在到期后不再存在）。一些规范定义是必要的。考虑集合W≡ （Wλ；λ∈ 当指数集∧最多是可数的时，独立布朗运动的∧）。我们回忆起备注1.6中的随机RKHS设置，它是为匹配此处使用的独立dentBrownian运动的可数集合而定制的。根据此设置，我们表示为l≡ l∧由所有序列y=（yλ；λ）组成的希尔伯特空间∈ ∧）的性质为λ∈∧yλ|<∞, 和内积h·，·il定义viahy，zil=Xλ∈∧ylzl, y=（yλ；λ∈ Λ) ∈ l, z=（zλ；λ∈ Λ) ∈ l.我们现在假设远期利率的动态。

B（R+）表示Borelσ-代数R+，P表示可预测的σ-代数Ohm ×R+，考虑函数f（0；·）：R+→R、 κ：Ohm ×R+×R+→ R、 以及σ：Ohm ×R+×R+→ l具有以下性质：of（0；·）是B（R+）可测量的，而rt | f（0；u）| du<∞ 适用于所有T∈ R+.o随机场κ和σ为P B（R+）-可测量，且每当0时满足κ（t；u）=0和σ（t；u）=0≤ u<t，以及P-a.e.，Zt|κ（s；t）|+kσ（s；t）kldsdt<∞, T∈ R+。在上述条件下，可以定义一个联合测量的随机场f：Ohm ×R+×R+→ R、 使得（3.15）f（·；T）=f（0；T）+Z·κ（T，T）dt+Z·hσ（T，T），dW（T）il适用于所有T∈ R+。注意，对κ和σ的假设意味着f（t；s）=f（s；s）在0时成立≤ s≤ t<∞.我们引入了贴现国债价格过程ESP（·；T）··=exp-ZTf（·；u）du, T∈ R+，34 CONSTANTINOS KARDARASin与本小节开头的讨论一致。由此定义的连续半鞅PT（·）≡ P（·；T），由索引集I中的成熟度参数T索引≡ R+，是由此产生的债券市场中的资产价格。在给定假设的情况下，随机Fubini理论适用，导致分解对数P（·；T）=-ZTf（0；u）du-Z·κ*（t；t）d t-Z·hσ*（t；t），dW（t）il,其中过程κ*（·；T）和σ*（·；T）通过（3.16）κ定义*（·；T）=ZTκ（·；u）du，σ*（·；T）=ZTσ（·；u）du，T∈ R+。因此，我们有P（0；T）=exp-RTf（0；u）du定义C（·；S，T）··=hσ*（·；S），σ*（·；T）il, （S、T）∈ R+×R+以及（3.17）α（·；T）··=-κ*（·；T）+kσ*（·；T）kl, T∈ R+，则P（·；T）=P（0；T）EZ·α（t；t）dt-Z·hσ*（t；t），dW（t）il备注1.5的设置适用于此处。实际上，O（t）=Leb（t）=t，t∈ R+，Lebesgueclock，映射T 7→ σ*（ω，t；t）∈ l对于（P×Leb）-a.e.是连续的。

（ω，t）∈ Ohm ×R+。那么，当且仅当（3.17）满足P-a.e.，（3.18）ZTkα（t；r+）kc（t；r+，r+）dt<∞, T∈ R+。这正是当前设置中的结构条件（3.5）。检查所有进程P（·；T），T∈ R+是局部鞅if，an donly if，对于每T∈ （3.15）、（3.16）中的动力学满足以下条件：（3.19）κ（·；T）=hσ（·；T），σ*（·；T）il, （P Leb）-a.e.上述过程κ和σ之间的关系（3.19）描述了（3.15）中远期利率的动态，构成了所谓的Heath-Jarrow-Morton漂移限制。[HJM92]在经典框架内，通过假设存在一个等价的局部鞅测度，并表达模型在该测度下的动力学，证明了这一点。当然，要求（3.18）仍然会产生一个可行的市场，并且弱于（3.19），后者相当于要求α≡ 0英寸（3.17）。例如，参见[Ver12]；虽然在[Ver12]中使用了一个布朗运动（实际上是连续局部鞅），但对具有l-这里使用的标准很简单。无限维随机积分和数学金融35附录A.再生核希尔伯特空间我们在这里记录了再生核希尔伯特空间理论的某些元素（在续集中缩写为rkHs）。我们采用从givenkernel开始定义RKH的方法，而不是从给定的RKH获取内核。根据Moore-Aronszajn定理，这两种观点是等价的；参见[Aro50]。关于rkHs理论，有很多可以参考的地方；例如，[BTA03]和[PR16]。下面的讨论将在固定的环境中进行。

我们考虑一个任意非空指数集I，并使用Fin（I）（resp.，Cou（I））表示具有有限基数（resp.，至多可数）的I的所有n个空子集的集合。就附录A而言，我们将采用c≡ cII公司∈ RI×Ito是I上的核，即：对称：cij=cjiholds for（I，j）∈ I×I；和o正定义：P（i，j）∈J×JθicijθJ≥ 0适用于任何J∈ Fin（I）和（θI；I）∈ J）∈ RJ。我们将使用下标来说明具有包含原始子集的域的函数的参数；例如，我们应该为（i，j）写cijin而不是c（i，j）∈ I×I.A.1。有限维rkHs。首先，我们考虑一个非空的指数集I。在这种情况下，尽管有点滥用符号，我们也将c视为RIvia配方RI上的线性转换 （θj；j∈ （一）≡ θ 7-→ cθ≡Pj公司∈IθjcIj∈ R（c） 国际扶轮社。虽然人们可能认为c是一个对称的正定义矩阵，但我们将使所有随后的定义与后来发展的有限维设置一致。Let R（c） RIdenote“列”函数{cIj | j的线性跨度∈ 一} ，其中我们设置（A.1）cIj··=（cIj；I∈ （一）∈ RI，j∈ 一、 实际上，R（c）是c的图像。我们引入双线性形式h·，·ic:R（c）×R（c）→ R通孔（A.2）hf，hic··=X（i，j）∈I×Iθicijηj，对于f≡Xj公司∈IθjcIj=cθ，h≡Xj公司∈IηjcIj=cη。使用上述符号，请注意标识SPI∈Iθihi=hf，hic=Pi∈Iηifi，我认为hf的数量不取决于R（c）中f或h的表示。很容易检查双线性形式h·，·icis是R（c）上的内积，并且具有所谓的再生核性质hcIi，f ic=fi，对于f∈ R（c）和i∈ 一、 本手册中定义的有限维内部产品空间（R（c），h·，·ic）是与c相关的RKH。