关于任意集合的随机积分

除非另有明确提及，否则随机变量之间的所有关系都被理解为在P-a.e.意义上成立，而随机过程之间的所有关系都被理解为在P-Evans集合之外成立。我们用FV表示紧致时间间隔上有限变量的所有自适应右连续标量过程B的集合，其中B（0）=0。此外，MLOC将表示上所有局部鞅的集合(Ohm, F（·），P）。集S由上的所有半鞅组成(Ohm, F（·），P），即可以分解为FV和Mloc元素之和的过程。前面集合（如cFV、CMLOC和cS）前面的限定符“c”表示由具有连续路径的过程组成的相应子集合。对于指数集I中的任意非空，我们将Fin（I）（分别，Cou（I））写入具有有限基数（分别，最多可数）的I的所有非空子集的集合。每当D是一组给定的进程时，Di将表示formD的进程集合≡ （Di；i）∈ 一） 使用Di∈ D代表所有i∈ 一、 我们强调，DIare的元素认为simplyas是来自D的标量过程的集合，而不是RI值过程。这一观点消除了潜在的可测量性问题，这些问题可能是由于将不可计数的多个过程聚合为单个过程而导致的，而无需假设ind ex set I.1上的任何结构。随机聚合再生核希尔伯特空间以下概念是整个部分的核心。定义1.1。

A集合C≡ （Cij；（i，j）∈ I×I）∈ cFVI×Iof适应的有限变化的连续过程将被称为I×I上的随机聚合核，if，对于每个固定对（I，j）∈ I×I，Cij=Cjiholds，以及（1.1）X（I，j）∈J×Jzi（Cij（t）- Cij（s））zj≥ 0，对于0≤ s≤ t、 J∈ Fin（I）和（zi；I）∈ J）∈ RJ。无限维随机积分和数学金融7这种随机聚合核C的性质可以通过“微分”过程dC在I×I上的核集合中取值的要求进行正式描述，如附录a开头所述。然而，已经出现了一个特定的技术问题，从指数s et I不可数的可能性来看。对于每个固定对（i，j）∈ I×I，过程Cijand和cji具有有限变化的连续路径，过程等式cj=cji位于一个可能依赖于（I，j）的消失集之外∈ I×I.我们并不坚持这种过程平等应该同时适用于所有人（I，j）∈ I×I；虽然su-chequality对于（最多）可数I是可能的，但对于我们的目的来说，当I是不可数的时候，它要求的太多了，而且是不必要的。积极的不确定性也是如此：对于fixedj∈ Fin（I），可以改变过程（Cij；（I，j）∈ J×J），同时获得所有（zi；i）的（1.1）∈ J）∈ RJ和0≤ s≤ t；但总的来说，不可能使这些等式同时对所有有限子集J有效∈ Fin（一）。要始终牢记的随机聚合核的典型示例是由集合P生成的≡ （Pi；i∈ 一） 关于连续半鞅，via（1.2）Cij··=[π，Pj]，（I，j）∈ I×I.1.1。随机聚合rkHs：单位指数集案例。对于§1.1的目的，我们假设集合I具有有限的基数。

我们遵循附录第A节和setCIj··=（Cij；i）中类似的符号约定∈ （一）∈ cFVI，j∈ 一、 我们将与给定随机聚合核C相关的随机聚合rkHs R（C）定义为定义1.1中的所有过程F的集合≡ （Fi；i）∈ （一）∈ cfv形式（1.3）F=Z·Xj∈Iθj（t）dCIj（t），即Fi=Z·Xj∈Iθj（t）dCij（t），I∈ 一、 对于可预测的过程θ≡ （θi；i∈ 一） 满足可积条件（1.4）ZTkdF（t）kdC（t）··=ZTX（I，j）∈I×IθI（t）dCij（t）θj（t）<∞,  T∈ R+。该条件（1.4）尤其意味着（1.3）中的F定义良好；因为，无论如何∈ R+和i∈ 一、 平等中的柯西-施瓦兹Xj公司∈Iθj（t）dCij（t）≤sCii（T）ZTkdF（T）kdC（T）<∞.为了理解（1.4）中对r·kdF（t）kdC（t）的定义，让我们注意（1.3）的读数为dF=Pj∈IθjdCIj。鉴于§A.1中的符号，可将其正式改写为8 CONSTANTINOS KARDARASas d F∈ R（dC）并再次正式领导tokdF kdC=Xi∈IθidFi=X（I，j）∈I×IθidCijθj，表示（1.4）中符号的不同版本。备注1.2（费率说明）。方程（1.3）、（1.4）可以根据内核速率更严格地编写，从而将上述形式上的考虑放在坚实的基础上。我们现在将解释这需要什么。确定连续不减损O··=Pi∈ICii。

（由于此处假设I具有完整性，因此O具有完整性。）然后，存在可预测的c：Ohm ×R+→ RI×Isuch thatCij=Z·cij（t）dO（t），（i，j）∈ I×I.注意，c（ω，t）是I上的正定义核，在可预测的全（P O） -测量；设置c≡ 在前一个可预测集的补集上，我们可以假设c（ω，t）对于每一个（ω，t）是I上的正定义核∈ Ohm ×R+。用above符号，给出了（1.4）readsZT的可积条件X（i，j）∈I×IθI（t）cij（t）θj（t）dO（t）<∞,  T∈ R+。此外，cIj=（cIj；i∈ 一） 对于j∈ 一、 定义可预测的RI值过程f··=Pj∈Iθjcij通过与（A.2）的类比，我们简洁地将（1.3）中考虑的过程写成F=R·F（t）dO（t），并注意kfkc=P（I，j）∈I×Iθicijθj.再次正式地，我们将这个等式表示为kdF kdC=P（I，j）∈I×IθidCijθj=kfkcdO。鉴于所有这些，处理器r·kdF（t）kdC（t）∈ （1.4）becomesZ·kdF（t）kdC（t）的cFV≡Z·X（i，j）∈I×IθI（t）dCij（t）θj（t）=Z·kf（t）kc（t）dO（t）。上述符号比（1.3）、（1.4）中的紧凑和暗示符号更为严格，但也更为复杂；对于本节的其余部分，我们将使用更简单的符号。

让我们也注意到，当我潜在地（不可数地）处于有限状态时，这样一个支配世界的过程甚至可能不存在；我们将使用附录A.3中的概念，以确定（1.10）中的随机骨料rkHs R（C）。带F∈ R（C）如（1.3）所示，H=（Hi；i∈ （一）∈ R（C），Hi=R·Pj∈Iηj（t）dCij（t），I∈ 一、 我们还介绍了过程Z·hdF（t），dH（t）idC（t）··=Z·X（I，j）∈I×IθI（t）dCij（t）ηj（t），（1.5）无限维随机积分和数学金融9并注意到R·kdF（t）kdC（t）=R·hdF（t），dF（t）idC（t）对于F∈ R（C）按照（1.4）的方式。根据定义，R·kdCIj（t）kdC（t）=Cjj，因此∈ R（C）对每个j保持不变∈ 我此外，很容易验证身份（1.6）Fj=Z·hdCIj（t），d F（t）idC（t），F∈ R（C），j∈ 一、 这是附录中repr-oducing内核属性的随机聚合版本。1.2. 有限指数案例的替代表示。我们继续假设I是一个非空的基数指数集。正如§A.4的备注A.4中所述，这里还有（1.3）、（1.4）中过程的随机聚合rkHs R（C）的替代表示f。

也就是说，我们将与每一个给定的F≡ （Fi；i）∈ （一）∈ cFVIa非减量处理·kdF（t）kdC（t）；那么R（C）是所有这些过程F的集合∈ cFVI，其中，kdF（t）kdC（t）的价值是确定的。形式上，这是这样做的：我们通过类比（A.3）定义可预测过程θF；n··=dC+nXi∈我| dFi | idRI！-1dF，F≡ （Fi；i）∈ （一）∈ cFVI，n∈ N、 与（A.3）唯一不同的是乘法因子pi∈I | dFi |在表达式dC+（1/n）Pi中∈I | dFi | idRI；这是为了确保dF始终在后一种矩阵差异的范围内。我们引入了一种不减损的，∞]-有值进程r·kdF（t）kdC（t）viaZTkdF（t）kdC（t）≡ 画→∞↑ZT公司θF；n（t），d F（t）RI，T∈ R+。考虑到这一点，我们确定了随机骨料rkHs R（C）asR（C）≡F∈ cFVI公司ZTkdF（t）kdC（t）<∞,  T∈ R+.实际上，检查给定的过程F∈ 当且仅当条件（1.3）对某个可预测θ成立时，CFVi属于上述等式右侧的集合≡ θf满足（1.4）。事实上，再类比引理A.1，这样一个过程的一个选项是（1.7）θF=limn→∞θF；n=limn→∞dC+（1/n）Xi∈我| dFi | idRI！-1dF。我们注意到一个过程F∈ 由于各种原因，cFVIcan不属于随机聚合rkHs R（C）。首先，变化过程r·Pi∈I | dFi |可能无法将idRIin（A.3）与任何严格的正常数绝对相乘，这将导致在A部分的静态设置中产生完全相同的发展。相反，idRIbyPi的相乘∈由于我们正在处理的动态设置，dFi在这里变得很重要；也就是说，我们需要确保，在时间上局部θF；由于我们没有先验地假设（Fi；i）的组成部分∈ 一） 相对于O.10 CONSTANTINOS KARDARAScontinuous，绝对连续，参见备注1.2。

其次，即使F=R·F（t）dO（t）保持适当的可预测F≡ （fi；i）∈ 一） ，可能会发生{f∈ R（c）}={kf-kc<∞} 未满（P O） -测量。最后，即使F=R·F（t）dO（t）成立且{kf kc<∞} hasfull（P O） -度量，很可能Kfkc在某个紧凑的时间间隔内，不能与O，P-a.e.平方可积。1.3. 关于非减损过程的离题。在§1.4中，我们将§1.1–1.2的材料扩展到一般ind ex集合。我们需要一些关于非减损过程的事实；现在介绍这些。对于任意两个非减量的过程，尽管不一定是右连续的，但Φ和ψ的值为(-∞, ∞], 我们写Φ Ψ <==> Φ ≤ ψ和ψ- Φ在{Φ<∞}.我们用FV表示所有过程的类别Φ∈ FV为非负且不递减，即带Φ 0; 此外，cFV是FV所有元素的类有连续的路径。引理1.3。Let（λ，≤) 是有向集，且（Φλ；λ∈ ∧是cFV中的过程集合使λ 每当λ时，Φu保持不变≤ u和ess supλ∈∧Φλ（T）<∞ 保持f或所有T∈ R+。xi在cFV中有一个流程, 用wλ表示∈∧Φλ，使得∧λ∈∧Φλ（T）=ess supλ∈∧Φλ（T），T∈ R+，以及一个非减损序列（λn；n∈ N） in∧带limn→∞Φλn=\\uλ∈ΛΦλ.这里，相对于 顺序尤其是，（Φλn；n∈ N） 收敛于两λ∈在紧时间间隔上∧∧λ一致。证据对于所有T∈ R+，定义ψ（T）··=ess supλ∈∧Φλ（T）。此时，（ψ（T）；T∈ R+）是一个简单的非负随机变量集合，没有任何路径连续性属性。鉴于（λ，≤) 是有向集且（ψλ；λ∈ ∧）is-mon otone我们推断∈ R＋非减量序列（λT，n；n）的存在性∈ N） 在∧中，使limn→∞ΦλT，n（T）=ψ（T），其中收敛性是单调的。

自∧起，≤) 是一个定向集，我们可以归纳地定义一个非减量序列（λn；n∈ N） in∧，性质为λk，N≤ λ对于所有k∈ N、 N个∈ N带k≤ n、 然后，再次使用（λ，≤) 是有向集且（ψλ；λ∈ ∧）is -mon otone，我们有limn→∞对于所有k，Φλn（k）=ψ（k）∈ N、 自（λN；N）∈ N） 是的-单调，存在ψ∈ cFV使limn→∞Φλn=eψ，其中该过程收敛为-单调的，因此在紧凑的时间间隔上是一致的。我们只需要证明ψ（T）=eψ（T）对每个T都成立∈ R+。无限维随机积分与数学金融11Clear，eψ（T）≤ ψ（T）每T保持一次∈ R+，我们已经知道eψ（k）=ψ（k）对每k都有f∈ N、 修复任意T∈ R+，然后选择k∈ N带T≤ k、 在（λT，n；n）处调用th∈ N） 是∧中递减序列的N，这样limn→∞ΦλT，n（T）=ψ（T）。Let（uT，n；n∈ N） 是∧中的非减量序列，使得λT，N≤ uT，与非λn≤ uT，所有n的nholds∈ N当然，我们还有limn→∞ΦuT，n（T）=ψ（T）。自λn ΦuT，n，由此得出ΦuT，n（T）-Φλn（T）≤ ΦuT，n（k）-Φλn（k）适用于所有n∈ N、 取极限后，我们得到ψ（T）-eψ（T）≤ ψ（k）-eψ（k）=0；这给出了ψ（T）≤eψ（T），并完成参数。备注1.4。在引理1.3陈述的符号中，假设T>0的存在，使得P[ess supλ∈∧Φλ（T）=∞] > 然后，很容易推断出一个非减量序列的存在性（λn；n∈ N） in∧，使得P[limn→∞Φλn（T）=∞] > 0，其中后一个概率表达式中的限制为非减量。1.4. rkHs的随机模拟：一般情况。如附录A所示，对于任意给定的非空索引集I，我们使用Fin（I）和Cou（I）分别表示I的所有有限子集和可数子集的集合。

我们确定了随机聚合核≡ （Cij；（i，j）∈ I×I）∈ 定义1.1中的cFVI×Ias。对于任何进程集合F=FI≡ （Fi；i）∈ （一）∈ cFVI和任何给定子集J 一、 我们让FJ≡ （Fi；i）∈ J）∈ cFVJ。过程z·kdFJ（t）kdCJJ（t），J∈ 然后按照§1.2定义Fin（I）；鉴于（A.8），我们正式（1.8）J∈ Fin（I），Q∈ 带J的翅片（I） Q==> KDFJKDJJ≤ kdFQkdCQQ。实际上，这个不等式成立是因为，形式上，kdFJkdCJJis再次表示正交R（dCQQ）的平方范数-dFQon R（dCQQ；J）的投影；我们再次回顾§A.1中的符号。根据§1.1中对这些数量的正确定义，并回顾§1.3的说明，我们得出了严格且精确的比较版本（1.8），如下所示：（1.9）Z·kdFJ（t）kdCJJ（t）Z·kdFQ（t）kdCQQ（t），J Q∈ Fin（一）。通过与引理A.3和备注A.4的类比，我们现在将与给定随机骨料K nel C相关的随机骨料KH定义为过程（1.10）R（C）··=（F）的集合∈ cFVI公司ess supJ∈财务（I）ZTkdFJ（t）kdCJJ（t）<∞,  T∈ R+。该空间将容纳扩展随机积分的累积协变量，我们将在下一节中构造关于集合P=（Pi；i）的扩展随机积分∈ 一） 连续半鞅。这些被积函数的“内部”协变量Cij=[Pi，Pj]，如（1.2）所示，将由定义1.1.12的随机聚合核C表示。CONSTANTINOS KARDARASWe现在认为是一个任意元素F≡ （Fi；i）∈ 一） 在刚刚定义的随机骨料rk Hs R（C）中。

鉴于引理1.3，以及配备通常集合包含顺序的Fin（I）是一个有序集合的事实，比较（1.9）意味着“本质上确界”过程可以通过（1.11）Z·kdF（t）kdC（t）·=\\u J∈Fin（I）Z·kdFJ（t）kdCJJ（t）。此外，存在一个非减量序列（Jn；n∈ N） 在Fin（I）中，使得（1.12）Z·kdF（t）kdC（t）=limn→∞Z·kdFJn（t）kdCJnJn（t），其中最后一个进程收敛为-单调。如果I最多为有限可数，则（1.12）适用于任何非减量序列（Jn；n∈ N） 在Fin（I）中，带有∈NJn=I.对于任何最终su bset J∈ 带j的翅片（I）∈ J、 我们有一个标识：yR·kdCJj（t）kdCJj（t）=Cjj；因此，CIj∈ R（C）和z·kdCIj（t）kdC（t）=Cjj，j∈ 我想。此外，对于F∈ R（C）和H∈ R（C），我们使用极化来定义z·hdF（t），dH（t）idC（t）=Z·kd（F+H）（t）kdC（t）-Z·kd（F- H） （t）kdC（t）.一个简单的近似论证表明，r E生成内核关系（1.6）再次有效。最后，对于F∈ R（C）和H∈ R（C），我们有·hdF（t）、dH（t）idC（t）≤sZ·kdF（t）kdC（t）sZ·kdH（t）kdC（t）。备注1.5。假设索引集I可以被赋予一个拓扑，该拓扑允许可数的密度子集Q，并且存在O∈ cFV公司当性质cj=Z·cij（t）dO（t）时， （i，j）∈ I×I.此处c：(Ohm ×R+×（I×I）→ R是a（P B（I×I））-可测量的随机场，对于（P O） -a.e.（ω，t）∈ Ohm ×R+，c（ω，t）是I×I上的核，具有以下性质：o（cij（ω，t）；我∈ （一）∈ 对于每个j，R（c（ω，t））在I的拓扑中是连续的∈ 一、 o每一个我∈ 一、 存在一个开集J（ω，t，I） I与supj∈J（ω，t，i）cjj（ω，t）<∞.（例如，请注意，当I最多是可数的并且被赋予离散拓扑时，这些属性总是成立的。