关于任意集合的随机积分

我们引入了通常的范数kf kc··=phf，ficf∈ R（c）由于（A.2）的原因；对于未来的符号一致性，定义kfkc=∞ 每当f∈ RI\\R（c）。我们用RI上的idRIthe id entity操作符表示，并定义（A.3）θf；n··=（c+（1/n）印尼盾）-1f、f∈ RI，n∈ N、 36 CONSTANTINOS KARDARASLemma A.1（广义逆）。使用上述符号，我们得到（A.4）kfkc=limn→∞↑θf；n、 f级RI，f∈ 国际扶轮社。特别是对于f∈ RI\\R（c），（A.4）的两侧等于单位；另一方面，如果f∈ R（c），我们有（A.5）f=Xj∈JθfjcIj=cθf，其中θf··=limn→∞θf；n=limn→∞（c+（1/n）印尼盾）-1f。证据设u是RI上的线性算子，相对于h·、·iri是酉的，使得c=u*du，其中u*是u的伴随，d是正对角算子。定义J··={J∈ I | djj>0}。让f∈ RI，并将f=cθ+η写入s omeθ∈ RIandη∈ RIsuch，cη=0；然后，f∈ R（c）等于η=0。我们注意到，cη=0导致（c+（1/n）idRI）-1η=nη表示所有n∈ N、 设ξnbe为ξnij=δij/（δij+N）的对角算子-1） 对于（i，j）∈ J、 对于（i，J），ξnij=0∈ 直接代数表明（c+（1/n）idRI）-1cθ=u*ξnuθh oldsfor n∈ N、 从（A.3）可以得出θf；n=u*ξnuθ+nη也适用于n∈ N、 首先考虑案例f∈ R（c），即η=0。然后，序列（ξn；n∈ N） 收敛到对角线算子ξ，对于j，ξjj=1∈ J、 对于J，ξjj=0∈ I\\J；因此θf··=limn→∞θf；n=u*ξuθ∈ 国际扶轮社。由于dξ=d，我们推导出cθf=u*弟弟*ξuθ=u*dξuθ=u*duθ=cθ=f。特别是limn→∞θf；n、 f级国际扶轮社=θf，fRI=k f kHolds。假设接下来，f∈ RI\\R（c），即η6=0。那么，limn→∞（1/n）θf；n=ηimplieslimn→∞（1/n）θf；n、 f级RI=hη，cθ+ηiRI=kηkRI>0。我们获得limn→∞θf；n、 f级RI=∞ =kfkc完成了证明。引理A.1的重要性是显而易见的。

θfin（A.5）的定义将始终确保表示f=cθf在f∈ R（c），即使c（视为RI的线性变换）不可逆。（A.3）中的限制程序不应与Tychono FF正则化混淆，后者用于获得c下f的Moore-Penrose伪逆；该程序将取代所定义的θf；nbyψf；n··=c+（1/n）idRI-1cf，forn∈ N、 然后，使用引理A.1的p屋顶的符号，limn→∞ψf；n=u*ξuθ成立，并表示limn→∞ψf；n、 f级Ri始终是一个有限的实数；但这使得我们无法识别f是否属于R（c）。A、 2。一般rkHs。现在，假设I是一个任意的非空索引集。如§A.1所述，我们考虑“列”函数{cIj | j∈ 一} 如（A.1）所示。对于任何给定J∈ Fin（I），由R（c；J）定义 Rit柱的线性跨度{cIj；j∈ J} ；与§A.1一样，我们定义了R（c；J）双线性形式h·、·ic；Jvia hf、gic；J··=P（i，J）∈J×JθicijηJ，其中f=Pj∈Jθjcij和h=Pj∈JηjcIj。因此（R（c；J），h·，·ic；J） 成为有限维内积空间。任意J的无限维随机积分与数学金融∈ Fin（I），Q∈ 带J的翅片（I） Q、 有限维希尔伯特空间R（c；Q）、h·、·ic；Q是的扩展R（c；J），h·，·ic；J. 这意味着R（c；J） R（c；Q）成立，h·，·ic；Jis h·、·ic的限制；Qon乘积空间R（c；J）×R（c；J）。我们得出在向量空间（A.6）R（c；Fin）上可以一致地定义内积h·、·Ic·=[J∈Fin（I）R（c；J） 国际扶轮社。我们还介绍了相关的范数R（c；Fin） f 7级→ kfkc··=phf，fic。

通过定义，我们再次获得了再生内核属性（A.7）hcIi，f ic=fi，f∈ R（c；Fin），i∈ 我这意味着| fi |≤ kcIikckfkc=√ciikfkc，i∈ 一、 建立了线性重估函数R（c；Fin）的连续性 f 7级-→ 金融机构∈ R、 每一个我∈ 一、 集合I不一定具有有限的基数，因此生成的内部产品空间（R（c；Fin）、h·、·ic）不需要是完整的。以下定义说明了这一事实。当定义（R（c），h·，·ic）时，与正定义核c相关的RKH，作为（A.6）中内积空间（R（c；Fin）h·，·ic）的希尔伯特空间完成，与之前的扩展内积h·，·icas相同。通常，上述完备空间R（c）与R（c；Fin）中Cauchy序列的等价类在抽象上是相同的。然而，事实证明，rkHs R（c）还有另一个非常具体和有用的描述；下文§A.4对此进行了讨论。我们注意到，对于任何Cau-chy序列（fn；n∈ N） 在R（c；Fin）中，实值序列（fni；N∈ N） R中为Cauchy；这源于求值函数的连续性，并得出极限fi··=limn→∞F每个i都存在∈ 一、 因此，空间R（c）可以并且将始终用RI的子集来识别；实际上，rkHs R（c）与Ricon的子集相一致，Ricon包含（R（c；Fin），h·，·ic）中所有Cauchy序列的点方向极限。我们从J的情况进一步扩展了R（c；J）的定义∈ Fin（I）到任意子集J的Fin（I） 一、 通过将其设置为列函数{cIj | j的线性跨度R（c）中的k·kc闭包∈ J} 。我们还观察了识别码（c）≡ R（c；I）=[J∈Cou（I）R（c；J）。事实上，集合包括∈Cou（I）R（c；J） R（c）显然是正确的。

关于反向归纳，我们注意到∈ R（c），任意R（c；Fin）值序列（fn；n∈ N） 收敛到f，和任意序列（Jn；N∈ N） 在Fin（I）中，属性为fn∈ R（c；Jn）forevery n∈ N、 我们有明确的f∈ R（c；Q），其中Q≡序号∈新泽西州∈ Cou（一）。38康斯坦丁诺斯·卡拉萨。限制和预测。对于任意J 一、 用fJ表示≡ （fi；i）∈ J）∈ RJ f的限制∈ RIto J；和cJJ≡ （cij；（i，j）∈ J×J）c对J×J引理A.2的限制。对于任意J 一、 映射R（c；J） f 7级→ fJ公司∈ R（cJJ）定义良好，是希尔伯特空间同构。证据首先，我们认为J∈ Fin（I）；则f=Pi∈JθjcIj∈ R（c；J）对（θJ；J）成立∈J）∈ RJif且仅当fJ=Pi∈JθjcJj∈ R（cJJ）；根据定义，我们还有KFKC；J=X（i，J）∈J×JθicijθJ=kfjkjjjj。任意子集的情况，在重新校正线性求值函数的连续性后，由一个简单的密度变元来证明。根据Lemm a a.2，R（cJJ） rj正好由R（c；J）元素的限制组成 RIon子集J；坐标（fi；i∈ I\\J）任何f∈ R（c；J），完全由fJ确定≡ （fi；i）∈ J） 通过核c的s结构。对于任意子集J 一、 我们用πc表示；J（f）∈ f的h·、·ic投影∈ R（c；J）上的R（c）。由于再生内核属性hcIj，f ic=fjof（A.7）适用于所有j∈ J、 和{cIj；J的线性跨度∈ J} 是R（c；J）中的密度，我们有πc；J（f）J=fj，对于所有f∈ R（c）和j∈ J、 实际上，πc；J（f）是唯一的元素h∈ R（c；J） RI，其限制hJon jc与限制fJof f f on J一致。作为上述讨论和引理a.2的结果，我们注意到fJ∈ R（cJJ）和kfjkcjj=kπc；J（f）kc≤ f的kfkchold∈ R（c），J 一、 使用索引集Q I代替I，我们获得了相等的kfJkcJJ≤ KFQKCQQQJ Q 一、 fQ公司∈ R（cQQ）。

事实上，很容易检查（A.8）f∈ RI，J Q 我==> kfJkcJJ≤ kfQkcQQ≤ k f kc。我们在这里使用的惯例是，那些不属于相应空间的元素的规范被理解为等于完整性。A、 4。rkHs的另一种描述。以下结果将用作rkHs R（c）的替代、具体特征描述及其希尔伯特空间结构的基础。该特性在下面的备注A.4中进行了阐述。引理A.3。它认为（A.9）supJ∈Fin（I）kfJkcJJ=maxQ∈Cou（I）kfQkcQQ=k f kc，f∈ 国际扶轮社。无限维随机积分与数学金融39证明。在（A.8）的强度上，我们有一组不等式（A.10）ν（f）··=supJ∈Fin（一）kfJkcJJ≤ supQ公司∈Cou（I）kfQkcQQ≤ kf kc，f∈ 国际扶轮社。Let（Jn；n∈ N） 是Fin（I）中的序列，以便limn→∞kfJnkcJnJn=ν（f）。根据（A.8），我们可以选择（Jn）n∈不减损。带R··=Sn∈新泽西州∈ Cou（I），（A.8）的不等式再次影响ν（f）≤ kfRkcRR公司≤ kf kc。如果ν（f）=∞, 然后（A.9）直接从一串不等式（A.10）开始。因此，对于其余的证明，假设ν（f）<∞. 对于每个n∈ N、 引理A.2暗示gn的存在∈ R（c；Jn） R（c），gnJn=FJN，kgnkc=KFJN。此外，形式≤ n、 由于gmJm=fJm=gnJm，§A.3中的讨论意味着gmis是gnon R（c；Jm）的h·、·ic投影；因此，kgn- gmkc=kgnkc-kgmkc=k Fjnkcjn-Kfjmkjmjm。Giventhat limn公司→∞kfJnkcJnJn=ν（f）<∞, 因此（gn；n∈ N） 是（R（c），h·，·ic）中的柯西序列；我们用g表示它的极限∈ R（c），注意kgkc=ν（f）。我们声称g=f；一旦确定了这一点，（A.9）将遵循不等式ν（f）≤ kfRkcRR公司≤KFKC已经讨论过。我们继续显示g=f。

我们固定任意指数i∈ 一、 并遵循上一段的论证，使用集合Jn∪ {i} 代替Jn，沿途获得新的Cauchy序列（hn；n∈ N） 代替（gn；N∈ N） ，以及新的极限h∈ R（c）代替g∈ R（c）。注意，我们仍然有khkc=ν（f）。自从我∈ Jn公司∪ {i} ，我们注意到Hni=所有n的fiholds∈ N因为R（c）中的求值函数是连续的，所以这就给出了hi=fi。此外，对于每m≤ n、 gm是hnon R（c；Jm）的h·、·ic投影。这意味着gm是h在R（c；Jm）上的h·，·ic投影，对于每m∈ N因此，将h在R（c；R）上的h·、·ic投影转化为gis。但由于kgk=k hk，我们有g=h，这意味着gi=hi=fi。自从我∈ I是任意的，我们得到g=f，从而得出证明。备注A.4。引理A.3的直接等式是任意元素f的下列语句的等价性∈ RI：（1）f∈ R（c）。（2） fQ公司∈ R（cQQ）每Q∈ Cou（一）。（3） fJ公司∈ R（cJJ）每J∈ Fin（I）和supJ∈Fin（一）kfJkcJJ<∞.引理A.3的另一个重要方面是，它提供了空间R（c）的另一个特征 RIA及其内部产品结构。为了表示这种扩展，我们定义了νc（f；J）··=limn→∞↑qhfJ，（cJJ+（1/n）idRJ）-1fJiRJ，f∈ RI，J∈ 如§A.1中所述，通过与（A.4）的类比，设置（A.11）νc（f）··=supJ∈鳍（I）νc（f；J），f∈ 国际扶轮社。40 CONSTANTINOS KARDARASA（A.4）和引理A.3的组合导致识别R（c）=f∈ RI |νc（f）<∞, νc（·）=k·kc，分别适用于rkHs R（c）和（A.11）的范数。

然后可以通过极化回收内积h·、·Ic，即hf、gic·=（νc（f+g））+（νc（f- g） （）, （f，g）∈ RI×RI。上述构造构成了一个非常直接的过程，性质上是代数和限制的，用于获得rkHs R（c）；它不涉及任何抽象完成。该方法在第1节中用于定义这些概念的随机对应项。A、 5。rkHs中元素的连续性。当索引集I带有拓扑时，研究R（c）元素的连续性是很有意义的，因为这些元素尤其是函数空间RI的元素。显然，R（c）的所有元素连续的一个必要条件是“列”函数cIj的连续性≡ （cij；i）∈ （一）∈ R（c），代表everyj∈ 一、 事实上，下一个结果表明，不需要更多。引理A.5。假设我被赋予了拓扑，并假设：ocIj≡ （cij；i）∈ （一）∈ R（c）是连续的，对于每个j∈ 一、 o映射I j 7→ cjj公司∈ R是局部有界的：对于每个i∈ 一、 存在开放邻域J（I） I与supj∈J（i）cjj<∞.那么，R（c）中的所有元素都是连续的。证据函数cIjis对于每个j是连续的∈ 一、 表示R（c；Fin）的所有元素都是连续的。修复f∈ R（c），i∈ I和a网（Iλ；λ∈ ∧）在I中，其中∧是一个有向集，收敛于toi。修复开放邻域J（i） 我这样认为l（i） ··=supj∈J（一）√cjj<∞. 考虑一个序列（fn；n∈ N） 在R（c；Fin）中，使limn→∞kfn公司- f kc=0。对于k∈ N、 让nk∈ Nbe足够大，以便kfnk- f kc≤ （4kl（i） （）-1保持。然后，选择uk∈ 性质为iλ的∧∈ J（i）和| fnkiλ- fnki |≤ （2k）-1在λ时保持≥ uk，观察| fiλ- fi |≤ |fiλ- fnkiλ|+| fnkiλ- fnki |+| fnki- 金融机构|≤√ciλiλ+√cii公司kfnk公司- f kc+| fnkiλ- fnki |≤ 1/k对于所有λ≥ uk。由此得出（fiλ；λ∈ ∧）收敛到fi，完成参数。备注A.6。

除了引理A.5的假设之外，假设存在I的可数稠密子集Q。使用§A.2和§A.3中的符号，每当f∈ R（c）和G∈ R（c；Q）是πc；Q（f）=g，在这种情况下，我们有f=g；这是因为f和有限维随机积分和数学金融41g都是连续的，fQ=gQ，Q在I中是稠密的。因此，R（c）=R（c；Q），也就是说，R（c）与R（cQQ）是希尔伯特同构的，而kfkc=kfqqq对所有f都成立∈ R（c）。参考文献[AB06]Charalambos D.Aliprantis和Kim C.Border，《有限维分析》，第三版，柏林斯普林格，2006年，《搭便车者指南》[Aro50]Nachman Aronszajn，《再生核理论》，Trans。美国。数学Soc。68 (1950), 337–404.托马斯比约克、乔瓦尼·迪·马西、尤里·卡巴诺夫和沃尔夫冈·隆格尔迪耶，致力于建立债券市场的一般理论，金融斯托克。1（1997），第2号，141-174。Alain Berlinet和Christine Thomas Agnan，《概率统计中的再生核hilbert空间》，Springer US，2003年。【CKT16】Christa Cuchiero、Irene Klein和Josef Teichman，《大型金融市场资产定价基本定理的新视角》，理论Probab。附录l.60（2016），第4、561–579号。【CS05】Alexander Cherny和Albert Shiryaev，关于达到可积性的完整性和可预测性标准的随机积分，S’eminaire de Probabilit’es XXXVIII，数学笔记讲座。，第1857卷，柏林斯普林格，2005年，第165-185页。【CT06】Ren\'e A.Carmona和Michael R。Tehranchi，《利率模型：有限维随机分析视角》，Springer Finan ce，Springer Verlag，柏林，2006年。【DDGP05】Marzia De Donno、Paolo Guasoni和Maurizio Pratelli，《大型金融市场中的超级复制和效用最大化》，随机过程。应用程序。115（2005）号。

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