关于任意集合的随机积分

接下来，我们定义n··=Z·hηn（t），d PJn（t）iRJn=Vn+Nn，n∈ N、 带Vn∈ 如上所述，我们有Nn··=R·hηn（t），d MJn（t）iRJn∈ cMloc和Yn∈ S（P）以及[Yn，Yn]=Vn=[Nn，Nn]，对于每n∈ N、 此外，由于（N；N）∈ N） 是可预测不交集的序列，每当m 6=N时，我们有[Yn，Ym]=0=[Nn，Nm]。我们引入了p过程wn··=nXk=1kZ·dYk（t）1+Vk（t）∈ cS（P），n∈ N、 写入Wn=Bn+Ln，其中Bn∈ cFV和Ln∈ cMloc，每n∈ N、 S ince[Yk，Yk]=所有k的vk∈ N和[Yn，Ym]=0，h，m，6=N，我们得到[Wn，Wn]=Ln，Ln]=nXk=1Z·k1+Vk（t）dVk（t）=nXk=1kVk1+所有n的vk∈ N、 此外，Wnis Bn=Pnk=1的有限变化部分-klog公司1+Vk,适用于所有n∈ N、 由于集合∧上的Vn（T）>exp（2n），且P[λ]>0，因此bn（T）>N在∧上保持不变，对于所有N∈ N、 另一方面，[Lm- Ln，Lm- Ln]=mXk=n+1kVk1+Vk≤∞Xk=n+1k=n， n<m，给予超薄支撑→∞卸荷点法≥k、 n个≥k【Lm- Ln，Lm- Ln]=0，这意味着L··=cS limn→∞Lnexists是一个连续的局部鞅。从引理2.1，我们推导出F··=（[L，Ri]；i∈ （一）∈ R（C）。我们声称，在定理2.3陈述的条件（1）下，这是不可能的；托维特，那里不可能有xi街∈ S（P），F=（[Z，Pi]；i∈ 一） 。事实上，如果存在这样的Z，那么由于[L，Pi]=Fi=[Z，Pi]，这对每个i都有效∈ 一、 Zn··=R·Snk=1∏k（t）dZ（t），n∈ N、 对于所有N，我们将有[Zn，Pi]=Z·Snk=1∏k（t）d[Z，Pi]（t）=Z·Snk=1∏k（t）d[L，Pi]（t）=Ln，Pi），因此也有[Zn，Pi]=[Wn，Pi]∈ N和i∈ 一、 自Zn起∈ S（P）和Wn∈ 所有n的S（P）保持∈ N、 d映射（2.9）是一对一的，等式Zn=Wn=Bn+Ln将遵循所有N∈ N

但对于所有n，Bn（T）>n保持在正概率P[∧]>0的集合∧上∈ N、 因此序列（Zn；N）不可能∈ N） 在cS中聚合；然而，根据定义，该序列应收敛到Z.22。康斯坦丁诺斯·卡达拉斯（CONSTANTINOS KARDARASWe）已达到预期的矛盾。这表明条件A∈ R（C）是映射（2.9）为双射所必需的。步骤3：最后，我们观察到，在条件（1）下，即与刚才讨论的结构条件（2）等价，R（C）上的拓扑比S（P）上的拓扑粗糙。另一方面，正如我们所看到的，命题2.2表明映射（2.9）的逆是由R（C）给出的 F 7级-→R·hdF（t）、dA（t）idC（t）+R·hdF（t）、dM（t）idC（t）∈ S（P）。SinceZ公司·hdF（t）、dA（t）idC（t）≤sZ·kdA（t）kdC（t）sZ·kdF（t）kdC（t），S（P）上的拓扑比R（C）上的拓扑粗糙。因此，空间s（P）和R（C）是拓扑同构的。备注2.4。即使它包含在上述定理2.3的证明中，我们在这里也提供了一个简单的例子来证明，当结构条件∈ R（C）失败，映射（P） Z 7→ （[Z，Pi]；i∈ （一）∈ R（C）可能无法同时为一对一和ON。考虑一维半鞅P=A+M，其中M是标准布朗运动，A（t）=3t1/3+B（t），其中B是一个确定的非减量P过程，0=B（0）<B（1），相对于Lebesgue测度Leb是奇异的。那么，C（t）=t表示t∈ R+，R（C）由所有F组成≡R·f（t）dt与rt | f（t）| dt<∞, 对于所有T>0。选择一个确定性的{0，1}-值过程b，使Leb[b 6=0]=0，r·b（t）dB（t）=b。然后，Z≡R·β（t）dP（t）=B∈ S（P），但[Z，P]≡ 这意味着S（P） Z 7→ [Z，P]∈ R（C）不是一对一，因为[0，P]=0，B 6=0。

更进一步，让f:R+7→ R由f（t）=t定义-1/3(0,∞)（t） 堡垒∈ R、 注意R·| f（t）| dt=R·t-2/3dt的价值是确定的，因此F≡R·f（t）dt∈ R（C）。如果Z∈ 存在[Z，P]=F的S（P），它必须是Z=R·F（t）dP（t）。当定义好f（t）dM（t）时，可变的有限变化部分满足TF（t）dA（t）≥RTt公司-1dt=∞ 对于allT>0，这意味着映射S（P） Z 7→ [Z，P]∈ R（C）未接通。3、数学金融应用3.1。简单的交易和市场生存能力。就第3节而言，P≡ （Pi；i∈ 一） 将表示一系列连续的随机过程，每个过程都将模拟证券价格的波动∈ 我在市场上，通过严格的积极态度适当折扣。定义Xsas为（3.1）x+Z·Xj形式的所有非负财富过程的类别∈JθJ（t）dPj（t），无限维随机积分与数学金融23其中x∈ R+，J∈ Fin（I）和θJ≡ （θj；j∈ J） 在（3.1）中，可预测且简单，即由一定数量的分段常数（时间）部分组成。由于所涉及的被积函数很简单，随机积分可以在通常的路径传感器中定义。回想一下FV表示K（0）=0的所有非减量右连续过程K的类。根据上述理解，定义（3.2）xs（K）··=inf{x>0|十、∈ X（0）=X和X≥ K} ，K∈ FV公司.换句话说，xs（K）是流K的套期保值值∈ FV公司使用简单交易时。定义3.1。我们说市场是可行的∈ K、 xs（K）=0==> K≡ 0、生存能力表明，不可能使用简单可预测的可接受策略，投资于有限数量的资产，从任意接近零的正初始资本开始，为非平凡的stream K融资。

如【Kar10，命题】所示，市场生存能力等同于（3.3）lim的要求l→∞supX公司∈Xs，X（0）=1P[X（T）>l] = 0, T∈ R+。i、 即{X（T）| X∈ 对于所有T，X（0）=1}的xs在P-测度中有界∈ R+。尤其是，（3.3）影响了由资产组成的市场（Pi；i∈ 一） 当且仅当由资产组成的所有市场（Pi；I∈ Q） 都是可行的Q∈ Cou（一）。定义3.2。如果Y>0，Y（0）=1，则流程Y将被称为本地集线器，所有流程Y和Y P≡ （Y Pi；i∈ 一） 是局部鞅。所有此类局部鞅定义的类将用Y表示。假设Y 6=. 首先，请注意，每个Pifor i∈ 我是一个半鞅。这遵循It^o公式和乘积规则，利用我们可以写出π=（1/Y）Yπ的事实，并且同时处理1/Y和Yπ半鞅。现在，选择Y∈ Y和K∈ FV公司带xs（K）<∞. 对于x>xs（K），选择x∈ X（0）=X和X≥ K

由于Xis是关于p中使用分部积分的有限个半鞅积分器的随机积分，因此很容易证明yx是局部鞅。现在，R·Y（t）dK（t）- Y K=R·K（t-)dY（t）也是一个局部鞅，它给出Z··=Y（X- K） +R·Y（t）dK（t）是一个非负局部鞅，因此是一个超鞅，条件NAin[Kar10]只涉及形式为K=g1[t]的“欧洲未定权益”流，∞)forT>0和F（T）-可测量g≥ 0，但很容易看出定义是等效的。24 CONSTANTINOS Kardarash超鞅收敛定理提供了一个在单位Z上的极限(∞) ≥R∞Y（t）dK（t）。然后，给出了可选抽样定理Z∞Y（t）dK（t）≤ E[Z](∞)] ≤ Z（0）=Y（0）X（0）=X。取整个Y的上确界∈ 在上述不等式的左右两侧，Y和x>xs（K），我们分别得到（3.4）supY∈YE公司Z∞Y（t）dK（t）≤ xs（K），K∈ FV公司.使用[K P11，§2.3]和[Kar10，定理4]的组合，在I具有有限基数的情况下，如下所示：；我们证明，对于任意指数集I也是如此。（3.5）go的结构条件的出现至少可以追溯到[Sch95]。定理3.3（基本定理）。以下陈述是等效的：（1）市场在定义3.1的意义上是可行的。（2） 如定义3.2所示，e xi表示局部鞅定义：Y 6=.（3） P的组成过程≡ （Pi；i∈ 一） 是半鞅。此外，对于Doob-Meyer分解，Pi=Ai+Mi，对于Ai∈ cFV和Mi∈ cMlocfor i公司∈ 一、 结构条件A≡ （Ai；i）∈ （一）∈ R（C）保持：（3.5）ZTkdA（t）kdC（t）<∞,  T∈ R+。证据我们从含义（3）开始=> (2). 在陈述（3）的假设下，从定理2.3和（1.10）–（1.12）的角度来看，存在Z∈ S（P）使得[Z，Pi]=所有i的所有∈ 我

将Z=B+L写入适当的B∈ cFV和L∈ cMloc，并引入强正局部鞅=E(-五十） Y（0）=1。从那时起(-五十） E（Pi）=E(-L+Pi- [L，Pi]=E(-L+Mi），i∈ 一、 根据约尔公式[RY99，练习IV.（3.11）]和事实[L，Pi]=[Z，Pi]=所有I∈ 一、 我们推断Y Si=Si（0）E(-五十） E（Ri）是一个局部鞅，同样是i∈ 一、 显示Y∈ Y、 对于含义（2）=> （1） ，假设（2），让Y∈ Y、 然后选择K∈ FV公司使得xs（K）=0。然后，EPR∞Y（t）dK（t）= 从（3.4）中得出0，表示P-a.e.，R∞Y（t）dK（t）=0。因为Y是严格正的，K∈ FV公司, 它认为K≡ 0、市场可行性如下。最后，我们提出了含义（1）=> (3). 整个市场的生存能力尤其意味着，在定义3.1的意义上，每个资产数量有限的子市场都是可行的。鉴于【KP11，§2.3】，每个Pi，i∈ 一、 是一个半鞅。然后，利用连续半鞅的随机积分可以在概率上近似的事实，直到第3节结束，我们使用“E（·）”来表示随机指数。无限维随机积分和数学金融25在紧时间间隔上一致，这意味着当X被X族替代时，条件（3.3）也成立，X族由P中的有限个整数组成，所有非负随机积分组成。因此，[定理4][Kar10]允许我们推断AJ∈ R（CJJ）为每个J保持f∈ Fin（一）。假设现在，通过矛盾的方式，A/∈ R（C）。

在这种情况下，根据备注1.4，存在一个大于0的实数和一个递增序列（Jn；n∈ N） 在Fin（I）中，P[limn→∞Gn（T）=∞] > 0保持为gn··=Z·kdAJn（t）kdCJnJn（t），n∈ N、 对于每个N∈ N、 定理2.3再次给出了一个过程Zn∈ S（PJn）带[锌，Rj]=Aj表示所有J∈ 我们注意到，对于Ln=R·hdAJn（t），d MJn（t）idCJnJn（t），Zn=2Gn+Lnholds∈ cMlocwith【Ln，Ln】=2Gn。然后对于严格正连续半鞅··=E（Zn）∈ S（PJn），存在一个进程Xn∈ 具有属性P[Xn（T）的xs≤ Wn（T）- 1] ≤ 1/n。我们声称，得到的序列（Xn（T）；n∈ N） 未能在P-度量中得到证实，与（3.3）相矛盾，因此，市场是可行的。为了证明这一说法，可以证明（Wn（T）；n∈ N） 未能在P-测度中有界。实际上，我们注意到log Wn=log E（Zn）=Zn-[锌，锌]=Gn+Ln，n∈ Nand回想一下，[Ln，Ln]=2Gnholds f或所有n∈ N、 Dambis-Dubins-Schwarz表示（例如，[KS91，定理3.4.6和问题3.4.7]），结合布朗运动的标度特性，意味着永远∈ N在可能扩大的滤波概率空间上存在布朗运动βN，因此log Wn=Gn+√2βn（Gn）。布朗运动的强大数定律giveslimn→∞Pβn（Gn（T））Gn（T）≤ -√, limm公司→∞Gm（T）=∞= 0、由于log Wn=Gn+√2βn（Gn）对所有n保持∈ N、 我们获得了→∞P对数Wn（T）Gn（T）≤, limm公司→∞Gm（T）=∞= 0，这意味着LIMN→∞Phlog Wn（T）>llimm公司→∞Gm（T）=∞i=1全部保留l ∈ N、 这表明（Wn（T）；n∈ N） 未能在P-测度中有界，并完成参数。26康斯坦丁诺斯·卡尔达拉斯3.2。局部鞅的结构。在应用证明中（3）=> （2） 在OREM 3.3中，构造了一个特定的局部鞅消去器。

概括并设置下面使用的一些符号，带有MA∈ S（米） Cmlock使得[MA，Mi]=Ai，对于所有i∈ 一、 我们有E(-MA）∈ Y、 下一个结果给出了一个可行市场中所有局部鞅函数的结构，并且在w的情况下是众所周知的，这里我有有限的基数；例如，参见[Sch95，定理1]，了解等效局部鞅测度密度的相应分解（对于有限集市场，推广到局部鞅定义是很简单的）。提案3.4。假设市场是可行的，设MA=R·hdA（t），dM（t）idC（t）是S（M）中的唯一连续局部鞅，其中[MA，Mi]=Ai，i∈ 一、 然后，局部鞅微分的集合Y正好包含形式Y=E的过程Y(-MA）E（L）=E(-MA+L），其中L∈ Mlocis使得L（0）=0，L>-1，且对于所有i，[L，Mi]=0∈ 一、 证明。我们投射了一个任意的严格正局部鞅Y，形式为Y=E（MF+L）=E（MF）E（L），其中F∈ R（C），其中L是L（0）=0的局部鞅，L>-1，且对于所有i，[L，Mi]=0∈ 一、 根据约尔公式，我们得到Si=E（MF+L）Si（0）E（Ri）=Si（0）E（MF+L+Mi+Ai+Fi），I∈ 一、 自【L，Ri】≡ 0和[MF，Ri]=Fi，因此也包括MF+L+Ri+[MF+L，Ri]=MF+L+Ri+Fi=MF+L+Mi+Ai+Fi。我们推导出Y是所有i的局部鞅∈ I当且仅当Ai+Fi=0适用于ALI∈ 一、 即F=-A、 结束论点。3.3. 一般财富消费过程。假设市场是可行的。假设定理3.3中P的半鞅性质，可以用一般的随机积分来定义财富过程。将X定义为所有非负过程X+Z的集合，其中X∈ R+和Z∈ S（P）。

因为市场生存能力等同于结构条件a∈ 命题2.2中的R（C）意味着X处的th与f ormx+R·hdF（t），dP（t）idC（t）=X+R·hdF（t），dA（t）idC（t）+R·hdF（t），dP（t）idM（t）的所有非负过程一致，其中X∈ R+和F∈ R（C）。事实上，为了将来的参考，让我们定义（3.6）Xx，F，K·=x+Z·hdF（t），dP（t）idC（t）- K、 x个∈ R、 F级∈ R（C），K∈ FV公司.解释财富过程，其中K是总资本提取流。我们只需写Xx，Ffor Xx，F，0，即不存在资本提取流程时。使用此符号，X=Xx，F≥ 0 | x∈ R+，F∈ R（C）.无限维随机积分与数学金融27在当前的金融环境中，关于R（C）isin阶被积函数解释的一点注记。（3.1）中的可预测过程θ表示在每个资产中持有的头寸，被积函数的分量F=（Fi；i∈ （一）∈ （3.6）中的R（C）解释了所得财富过程与个人资产的总协变量。有人可能会说，作为一种输入，协变量与位置一样自然（甚至比位置更合适）：人们通常关心投资对资产价格变动的敏感性，而这正是R（C）中被积函数的编码。3.4. 可选分解。具有“统一”（局部鞅测度或局部鞅定义，如此处所示）Doob-Meyer分解的特点，可选分解定理在数学金融的发展中至关重要，尤其是在§3.5后面讨论的对冲对偶的背景下。关于有限个It^o过程积分器的最早贡献是[EKQ95]，后来在[Kra96]、[FK97]中推广为一般半鞅积分器。

本文[SY98]讨论的是局部鞅定义，而不是局部鞅测度。我们将在定理3.6中给出一个固定资产的概括。我们从一个相对简单的观察开始。引理3.5。假设市场是可行的。对于任何x∈ R和F∈ R（C），我们有(-MA）Xx，对于某些H，F=x+mH∈ R（C）。证据自E起(-MA）- 1 = -R·E(-MA）（t）dMA（t）∈ S（M）和S（M）是等距toR（C），它可以表示E(-MA）X0，F∈ S（M）。由于[MA，X0，F][MA，MF]=R·hdA（t），dF（t）idC（t），我们得到E类(-MA），X0，F= -Z·E(-MA）（t）dMA，MF（t） ，并通过给定的部件进行集成(-MA）X0，F=-Z·X0，F（t）E(-MA）（t）dMA（t）+Z·E(-MA）（t）dMF（t），这表明(-MA）X0，F∈ S（M）。让Y∈ Y、 并写入Y=E(-MA）E（L）如提案3.4所示。然后，根据引理3.5，对于任何x∈ R和F∈ R（C）对于一些H，我们有Y Xx，F=E（L）（x+MH）∈ R（C），并且由于[L，MH]=0，我们得到Y Xx，F∈ Mloc。因为过程K=Z·K（t-)dY（t）+Z·Y（t）dK（t）显然是所有K的局部子鞅∈ FV公司, 我们进一步得到Y，Xx，F，Kis是所有x的局部超鞅∈ R、 F级∈ R（C）和K∈ FV公司. 此外，给定Y∈ Y、 x个∈ R、 F级∈ R（C）和K∈ FV公司, Y Xx，F，Kis是局部鞅当且仅当K≡ 0.28 CONSTANTINOS KARDARASTheorem 3.6（可选分解）。假设Y 6=, 设X是X（0）=X的非负随机过程∈ R+。然后，下列语句是等价的：（1）Y X是所有Y的局部上鞅∈ Y、 （2）对于某些F，它认为X=Xx，F，K∈ R（C）和K∈ FV公司.在上述任何等效条件下，F=（[X，Pi]；i∈ （一）∈ R（C）。证据含义（2）=> （1） 在定理3.6的陈述之前已经讨论过。蕴涵的证明（1）=> （2） 主要遵循[KK15]的发展，但我们提供了一些不同的论点，简要地解释了步骤。假设条件（1），并设置F=（[X，Pi]；i∈ （一）∈ cFVI。