包括预期短缺测试的预测

然后，我们说forecast^f1，tencompasses^f2，tat time t，ifEhρYt+1，^f1，t我≤ EhρYt+1，θ^f1，t+θ^f2，ti、 （2.1）虽然我们的方法侧重于一步预测，但通过采用渐近协方差的HAC型估计量，可以很快扩展到多步预测。对于所有人θ, θ∈ Θ  R、 方程式（2.1）表明，就ρ引起的损失而言，预测^f1至少与^f1、tand^f2、t的任何（线性）组合一样好。因此，预测^f2、t不会添加任何尚未纳入^f1、t中的Yt+1信息。Wede fieθ*, θ*作为使期望损失最小的最优组合参数，θ*, θ*= arg min（θ，θ）∈ΘEhρYt+1，θ^f1，t+θ^f2，ti、 （2.2）根据定义，它认为EhρYt+1，θ^f1，t+θ^f2，t我≥ EhρYt+1，θ*^f1，t+θ*^f2，tifor全部θ, θ∈ Θ. 特别是，这意味着ehρYt+1，^f1，t我≥ EhρYt+1，θ*^f1，t+θ*^f2，ti、 （2.3）结合（2.1）和（2.3）得出以下预测定义。定义2.1（线性预测包括可引出函数）。我们可以预测关于损失函数ρ的^f1，tencompasses^f2，tat时间t，当且仅当EhρYt+1，^f1，ti=EhρYt+1，θ*^f1，t+θ*^f2，ti、 （2.4）相当于θ*, θ*=1, 0.预测包含测试通过以下步骤进行。首先，我们将实现值Yt+1导出到预测值^f1，tand^f2，t对考虑中的函数使用适当的回归技术，以获得估计的组合（或包含）参数^θ及其渐近分布。然后，我们测试这些参数是否分别等于1和0。如前所述，例如。

在Clements and Harvey（2009）和Clements and Harvey（2010）中，有几种不同的测试规范可用于包容原则，它们在线性（或非线性）预测组合公式的容许规范方面有所不同。我们通过引入一般链接或组合函数g:F×Θ来推广和统一这些方法→ R、 （^ft，θ）7→ g（^ft，θ），（2.5），将预测和相应参数映射到线性或非线性预测组合上，其中F表示发布预测的随机空间。为此，必须选择函数g和参数空间Θ，以便存在θ∈ Θ，使得g（^ft，θ）=^f1，talmost sure，这可以通过测试参数限制θ来测试^f1，talone是否捕获任何预测组合提供的全部信息*= θ.定义2.2（包括可引出函数的一般预测）。我们认为，当且仅当Ehρ时，对于损失函数ρ和链接函数g，预测^f1，tencompasses^f2，tat时间tYt+1，^f1，ti=EhρYt+1，g（^ft，θ*)i、 （2.6）相当于θ*= θ.该一般定义统一了以下现有预测规范，包括但也考虑了更一般的线性和非线性规范，如Ericsson（1993）、Clements和Harvey（2009）以及Clements和Harvey（2010）。示例2.3。

线性和非线性预测的突出例子包括以下链接函数和相关的零假设，（1）g（^ft，θ）=θ+θf1，t+θf2，and H：（θ*, θ*) = （1，0）或H：（θ）*, θ*, θ*) = （0，1，0），（2）g（^ft，θ）=θ+θf1，t+（1- θ） ^f2，tand H：θ*= 1或H：（θ）*, θ*) = （0，1），（3）g（^ft，θ）=θ+^f1，t+θ^f2，tand H：θ*= 0或H：（θ）*, θ*) = （0，0），（4）g（^ft，θ）=θ^f1，t+θ^f2，tand H：（θ*, θ*) = （1，0），（5）g（^ft，θ）=θ^f1，t+（1- θ） ^f2，tand H：θ*= 1，（6）g（^ft，θ）=^f1，t+θf2，tand H：θ*= 0，（7）g（^ft，θ）=θ±expθlog（±f1，t）+θlog（±f2，t）H：（θ）*, θ*) = (1, 0).2.2预测包括预期空头在本节中，我们考虑包括ES的测试。对于绝对连续分布Ft，ES正式定义为最值，α（Yt+1）=Et[Yt+1 | Yt+1≤ Qt，α（Yt+1）]，（2.7），其中Qt，α（Yt+1）表示Yt+1given Ft的条件α-分位数。如前一节所述，包含预测的测试的主要成分是基础损失函数的规格，它必须与我们考虑预测的风险度量相关联。由于ES独立的损失函数不存在，我们对ES和VaR组成的组合使用严格一致的联合损失函数，Fisslerand Ziegel（2016）给出的ρ（Y，qα，eα）=-eαeα- qα+（qα- Y）1{Y≤qα}α+ 日志(-eα），（2.8），其中参数Y、qα和eα分别表示返回实现、分位数和ESR。由于该损失函数表现出具有零阶均匀损失差的理想特性，因此通常将其表示为FZ0损失函数，参见例如Patton et al.（2019）。

虽然VaR和ES对存在许多严格一致的损失函数，但最近的文献似乎同意这一选择：Dimitriadisand Bayer（2019）发现，它在M估计中表现出稳定的数值性能，并从经验上得出相对有效的参数估计。Nolde和Ziegel（2017）讨论了这些损失函数的理想同质性，Patton等人（2019）、Bayer和Dimitriadis（2020）以及Taylor（2019）使用该损失函数来估计动力学模型。根据（2.5）中链接函数的规定，我们介绍了分位数和特定链接函数Q:Q×Θβ→ R、 （^qt，β）7→ gq（^qt，β），（2.9）ge:E×Θη→ R，（^et，η）7→ ge（^et，η），（2.10），其中Q和E表示VaR和ES预测的随机空间，Θβ Rkβ和Θη Rkη使得Θ=Θβ×Θη和kβ+kη=k∈ N、 我们假设函数gq、ge和参数空间Θ的选择使得存在值β∈ Θβ和η∈ Θη，这样gq（^qt，β）=^q1，tand ge（^et，η）=^e1，t最确定。在下文中，我们将介绍联合预测的概念，包括VaR和ES的成对组合。与（2.2）类似，我们将VaR和ES的最佳组合参数定义为θ*= (β*, η*) = arg最小值（β，η）∈ΘEρYt+1，gq（^qt，β），ge（^et，η）. （2.11）定义2.4（联合VaR和ES预测）。允许^q1，t，^e1，t和^q2，t，^e2，t表示由条件分位数和Ft的ES组成的成对竞争预测。我们说^q1，t，^e1，t包含^q2，t，^e2，t在时间t，关于链路功能GQA和geif，仅ifEρYt+1，^q1，t，^e1，t= EρYt+1，gq（^qt，β*), ge（^et，η*), （2.12）其中损失函数ρ在（2.8）中给出。当且仅当β*, η*=β, η.我们测试联合分位数序列和ES序列是否预测^q1，t，^e1，t包含序列^q2，t，^e2，t对于所有t=m。

. . , T-1通过估计以下半参数回归的参数，Yt+1=gq（^qt，β）+uqt+1，Yt+1=ge（^et，η）+uet+1，（2.13），其中Qα（uqt+1 | Ft）=0，ESα（uet+1 | Ft）=0，几乎可以肯定所有t=m，T- 1使用巴顿等人（2019）和迪米特里亚迪斯·拜耳（2019）介绍的M估计技术。然后我们测试β*, η*=β, η使用Wald类型检验统计量。定义2.4为VaR和ES开发了一个联合包容测试，鉴于VaR和ES的联合可诱导性，这是合理的。然而，本文的另一个目标是为ES单机版构建全面的测试，我们将在下面进行。定义2.5（辅助ES预测）。允许^q1，t，^e1，t和^q2，t，^e2，t表示由条件分位数和Ft的ES组成的对的竞争预测。我们说，^e1，tauxilialy包含^e2，关于链接函数gqand geif的tat-time t，仅ifEρYt+1，gq（^qt，β*), ^e1，t= EρYt+1，gq（^qt，β*), ge（^et，η*), （2.14）即，当且仅当η*= η.该参数限制使用基于（2.13）中给出的回归设置估计的Wald类型检验统计量进行测试。因为我们没有测试分位数特定参数β*, 在这种零假设下，我们不认为潜在的分位数预测也包括其竞争对手。因此，尽管该测试基于联合回归，但它仅测试ES预测。我们将此测试称为辅助包含测试，因为它仍然依赖于用于估计最佳组合参数的辅助分位数预测。鉴于VaR和ES预测均可用，鉴于两者的联合可引出性，应用联合辅助测试是最合理的方法。

然而，尽管辅助包围测试的重点是ES，但它仍然需要量化预测来实现参数估计。这可能有两个原因。首先，分位数预测仍然用于估计过程，并且对ES特定参数的参数估计有间接影响。E、 g.之前的测试不适用于基于相同变量的ES预测，需要注意的是，最佳组合参数β*在（2.14）的左侧，由（2.11）给出，而不是受限模型的最佳组合参数。预测，因为这意味着分位数回归的完全共线性。其次，辅助测试仅适用于应用测试的人员可以访问分位数预测的设置。在巴塞尔委员会（BaselCommittee，2016，2017）监管框架的当前实施中，银行只需报告其ESForecast（概率水平为2.5%），而无需报告相应的VaR预测。因此，ES预测内部基于的公司VaR预测通常不可供监管机构使用，监管机构必须决定手头金融机构的适当风险管理。为了说明这些情况，我们进一步引入了严格的ES-EnclosingTest，它只需要在以下方面进行ES预测。为此，我们稍微修改了（2.11）的定义，将gq（^qt，β）替换为gq（^et，β），θ*= (β*, η*) = arg最小值（β，η）∈ΘEρYt+1，gq（^et，β），ge（^et，η）. （2.15）定义2.6（严格的ES预测）。Let^e1，tand^e2，t对潜在预测分布Ft进行竞争性ES预测。

我们说^e1，tstrictlyencompasses^e2，tat time t关于链路函数gqand geif和only ifEρYt+1，gq（^et，β*), ^e1，t= EρYt+1，gq（^et，β*), ge（^et，η*), （2.16）即，当且仅当η*= η.我们测试^e1，tstrictly是否包含^e2，tf或所有t=m，T-1通过建立轻变换回归Yt+1=gq（^et，β）+uqt+1，以及Yt+1=ge（^et，η）+uet+1，（2.17），其中Qα（uqt+1 | Ft）=0，ESα（uet+1 | Ft）=0，几乎可以确定所有t=m，T- 1、本测试与联合和辅助包围测试之间的本质区别在于，我们没有在分位数链接函数gq中使用分位数预测^qt，而是对分位数和ES链接函数Gqa和ge使用ESforecasts^et。我们认为，这不能说明参数表示θ*在（2.11）和（2.15）中，通常会有所不同。由于缺乏独立ES的损失函数，同时由于当前巴塞尔III监管框架的设置，有必要为独立ES开发预测评估方法，因此被视为最佳可行的解决方案（巴塞尔委员会，2016年、2017年）。该测试的基本思想主要是基于纯比例模型，即Yt+1=σtut+1，ut+1~ F（0，1），这仍然是风险管理中最常用的一类模型，以GARCH和随机波动率模型为主要示例。对于该模型类，VaR和ES预测完全共线，^et=ξαzα^qt，其中zα和ξα是分布F（0，1）的α-分位数和α-ES。

因此，分位数模型gq（^et，β）=gq（^qtξα/zα，β）=gq（^qt，β）是正确规定的，但具有转换的量化参数β。由于我们只测试定义2.6中所述的ES特定参数η，因此我们的测试对参数β的这种（通常是线性）变换是不变的，因此，它适用于纯比例模型。在一般情况下，分位数方程可能会被误判。因此，我们在下一节中为M估计量提供了一般模型误判下的交感理论。潜在的模型误判可能会使伪真参数产生偏差，并质疑测试决策的可解释性，但我们认为，这种影响在这种设置中是可以忽略的。首先，从纯规模过程很好地逼近每日财务回报数据的意义上讲，这种误判很轻微。其次，误判是间接的，因为虽然分位数参数可能存在误判，但我们只测试ES参数，这些参数仅通过联合估计间接受到误判的影响。此外，我们通过考虑Creal et al.（2013）的具有时变高阶矩的气体模型和Patton et al.（2019）和Taylor（2019）的动态ES模型，说明了在第3节的模拟研究中，我们的严格包容测试的性能不会受到更一般的数据生成过程的负面影响。Diebold和Mariano（1995）、Clark和McCracken（2001）、Giacomini和White（2006）、West（2006）以及Hansen et al.（2011）的模型置信集方法意义上的同等（卓越）预测能力测试可被视为线性包含链接公式gq（·）突出案例的一般替代方法，它认为|β=βzα/ξα。包括测试。

由于这些测试直接基于平均损失差异，因此它们只能联合测试VaR和ES的预测能力。相反，包含测试基于半参数分位数和ES模型的回归系数，因此，仅间接基于各自的损失函数。这种基本差异允许对ES预测进行独立的包含测试，这对于ES包含测试来说是一个巨大的优势。严格地说，损失函数的严格一致性仅意味着最优预测显示出预期的最小可能损失。然而，在现实中，由于估计误差或预测模型的错误，竞争预测往往会出现错误。巴顿（2019）表明，损失函数所导致的排名可能对（严格一致的）损失函数的选择很敏感，甚至会产生误导。Holzmann-andEulert（2014）表明，对于基于嵌套信息集的竞争预测，以及根据其基础（但通常不完整）信息集（自动校准）正确指定的竞争预测，应用任何严格一致的损失函数都会导致预测的正确排名。在我们测试预测包含的情况下，我们在嵌套信息集上indeedbuild，因为它显然包含σ^f1，t，^f2，t σ^f1，t. 因此，通过进一步假设发布的预测是根据预报员的信息集自动校准的，我们可以得出结论，（2.1）所暗示的排名确实是正确的，并且对于选择严格一致的损失函数是不变的。2.3模型误判下的渐近理论在下文中，我们使用短符号get（η）=ge（^et，η）和gqt（β）=gq（^qt，β）（在严格测试的情况下，orgqt（β）=gq（^et，β））。

我们将M估计定义为^θn=arg minθ∈ΘQn（θ），其中Qn（θ）=nT-1Xt=mρYt+1，gqt（β），get（η）, （2.18），伪真参数为θ*n=arg minθ∈ΘQn（θ），其中Qn（θ）=nT-1Xt=我ρYt+1，gqt（β），get（η）. （2.19）当链接（回归）函数gq（·）和ge（·）正确指定时，我们得到伪真参数θ*nequals是经典的真回归参数，它与样本量n无关。我们进一步定义了相应的识别函数，它几乎可以肯定是损失函数ρ相对于θ、ψ的导数Yt+1，gqt（β），get（η）=-gqt（β）αget（η）{Yt+1≤gqt（β）}- αget（η）get（η）get（η）- gqt（β）+α（gqt（β）- Yt+1）1{Yt+1≤gqt（β）}. （2.20）我们仅关注满足以下条件的过程。假设2.7。我们假设（a）过程Zt是大小的强混合-r/（r）-2） 对于某些r>2，（b）参数空间Θ=Θβ×Θη Rkis紧且非空，（c）伪真参数θ*（2.19）中定义的是Θ的内部，是目标函数Qn（θ）和序列Et的唯一最小值ψYt+1，gqt（β），get（η）,（2.20）中定义的是不相关的，（d）Yt+1given Ft的分布，表示为Ftis绝对连续，具有连续且严格的正密度ht，几乎可以肯定地从上方将其限定在fta和Lipschitz continuous的整个支撑上，（e）对于θ附近的所有θ*n、 它认为get（η）≤ K<∞ 对于某些常数大于0，（f）链接函数gqt（β）和get（η）是Ft可测量的，几乎可以肯定，如果Pgqt（β）=gqt（β）∩get（η）=get（η）= 1，则θ=θ，伪真参数通常取决于发布的损失函数，即。