包括预期短缺测试的预测

“NR”（非拒绝）列报告了两个无效假设均未被拒绝的情况的频率，而“C”（组合）列表明了两个假设均被拒绝的频率。列“E1”（包含）指的是H（1）被拒绝而H（2）未被拒绝的情况，即它给出了该模型被其竞争对手包含的相对频率，列“E2”（包含）指的是相反的情况，即它给出了该模型包含其竞争对手的相对频率。在现实金融环境中，不会对严格ES测试的表现产生负面影响。这是令人鼓舞的，因为严格的ES包容测试可以应用于手头没有VaR预测的情况，例如巴塞尔银行监管委员会（Basel Committeeof Banking Supervision，2016、2017）目前实施的测试。补充材料中的表S.10、S.11和S.12报告了（2.8）中零同质损失函数的联合VaR andES损失，用于独立模型的预测和各自的预测组合，以及基础回归的估计组合权重。这些结果定性地证实了包含测试的结果：例如，对于表2第一个面板中的IBM股票，我们发现预测组合尤其适合前四个模型（在表的模型排序中）。表S.10中的平均损失显示了三个面板的类似模式。

我们观察到，与前四个模型的独立模型相比，最优预测组合表现出实质性的巨大损失，而后四个模型的下降幅度要小得多。5结论随着《第三次巴塞尔协议》（巴塞尔委员会，2016、2017）的实施，风险管理者和监管机构目前将注意力转移到了风险度量预期缺口（ES），这表明了ES预测评估和比较工具的必要性。在本文中，我们介绍了新的预测，包括ES的测试，其基于联合损失函数和风险价值的EStogether相关联合回归框架（Fissler和Ziegel，2016；Patton et al.，2019；Dimitriadisand Bayer，2019）。我们提出了ES包围测试的三种变体，用于测试灵活的参数预测组合方法的包围预测。一旦测试变量可能存在模型误判，我们将Patton等人（2019）、Dimitriadis和Bayer（2019）以及Bayer和Dimitriadis（2020）的现有渐近理论扩展到柔性参数模型的潜在模型误判情况。扩展本文所述设置的潜在未来研究包括对凸预测组合和预测组合的测试，从理论上防止VaR和ES的交叉。这两种方法都需要非标准渐近理论来检验参数空间的边界。当预测包含的两个相反假设均被拒绝时，预测包含测试为两个竞争预测的预测组合奠定了理论基础。这种情况对应于两种预测都不包含其竞争对手的情况。

通常，通过组合不同的模型规格和基础信息集而获得的多样化收益，应用预测组合可能会带来很大的好处。对于ES（Taylor，2020）等极端风险度量指标而言，这一好处尤为明显，因为独立模型对收益分布尾部的极少观察值非常敏感。因此，组合预测可以被视为预测的稳健性。我们的应用程序从经验上验证了这个猜想，特别是对于IBM股票的每日回报。虽然我们提出了适用于ES在有风险值预测和无风险值预测的情况下联合报告的包含测试，但考虑到风险值和ES的联合可引出性，对它们联合进行包含测试是最自然的。此外，这种可联合性属性明确暗示，在默认情况下，应将ES预测与其相应的VaR预测一起报告。相比之下，辅助测试可视为ES的第一个预测比较程序，它几乎完全关注ES。理论上，在研究者主要关注ES的情况下，即使VaR预测可用，其应用也是最合理的。最终，严格的EStest适用于只有竞争ES预测可用的场景。

此外，如果竞争ES预测建立在同一VaR模型（预测）上，则严格ES测试适用，而联合和辅助测试的应用由于（相同）VaR预测的共线性而不可行。感谢编辑（Michael McCracken）、副编辑和两名裁判，以及桑德·巴伦兹、塞巴斯蒂安·拜尔、拉尔夫·布雷格曼、约阿希姆·格拉米格、阿拉斯泰尔·霍尔、安德鲁·巴顿、詹姆斯·泰勒以及康斯坦茨大学、杜克大学、霍亨海姆大学2019年马塞利QFFE会议的研讨会参与者，2019年在尼科西亚举行的IAAE会议、2019年在曼彻斯特举行的ESEM会议、2019年在特里尔举行的Statistische Woche会议和2019年在巴西举办的金融计量经济学研讨会。感谢克劳斯·奇拉基金会、霍恩海姆大学、决策科学研究生院（GSDS）和IAAE旅行基金的资助。参考Andrews，D.W.K.（1999）。参数位于边界上时的估计。《计量经济学》，67（6）：1341–1383。Artzner，P.、Delbaen，F.、Eber，J.-M.和Heath，D.（1999年）。一致的风险度量。数学金融，9（3）：203–228。Barendse，S.（2020年）。尾部和四分位期望的有效加权估计。工作文件，可访问https://drive.google.com/file/d/1nI0QAWbM_VchAZDVg79p2vJcKoCrQB8o/view.Basel委员会（2013年）。交易账簿的基本审查：修订后的市场风险框架。国际清算银行技术报告。可获得的athttp://www.bis.org/publ/bcbs265.pdf.Basel委员会（2016年）。市场风险的最低资本要求。国际清算银行技术报告。可用位置：http://www.bis.org/bcbs/publ/d352.pdf.Basel委员会（2017年）。支柱3披露要求——整合和增强的框架。

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由于ZT工艺的粒度混合性强-r/（r）- 2） 对于某些r>2by条件（a）和函数ρYt+1，gqt（β），get（η）对于所有t，上确界/内确界函数都是Ft可测量的∈ N、 我们可以得出结论，通过应用相同的定理，序列ρt（θo，δ）和ρt（θo，δ）也是相同大小的强混合。此外，对于￠r>1和一些δ>0非常小的情况，r≥ r+δ和thusE||ρt（θo，δ）|Μr+δ≤ sup1≤t型≤TE公司supθ∈ΘρYt+1，gqt（β），get（η）r对于所有t，1≤ t型≤ T、 T型≥ 1、由于Θ是紧的，因此存在一些c>0使得supθ∈Θ||θ|| ≤ 因此，对于所有t=1，T，它认为supθ∈ΘρYt+1，gqt（β），get（η）r（A.3）≤4r-1.1 +cK公司1 +αE | | gqt（β）| | r+αKE | Yt+1 | r+supθ∈ΘE | | log（get（η））| | r, （A.4）以条件（h）和对数（z）为界≤ z代表z足够大。ρt（θo，δ）|的质量相同。因此，我们可以应用弱大数定律来定义strong参见定义A.2.3 in White（1994）来定义Lipschitz-L。请注意，我们没有双指数，因此我们抑制了White（1994）符号中的n。此外，我们通过使用aot的标识函数来应用定义。White（2001）中推论3.48中的混合序列，第49页，以得出结论，对于所有θo∈ Θ使得| |θo- θ|| ≤ δ、 它认为NPT-1t=mρt（θo，δ）- E[(R)ρt（θo，δ）]P→ 0和NPT-1t=mρt（θo，δ）-Eρt（θo，δ）P→ 0，显示条件2。因此，通过应用定理A.2.5中给出的一致弱大数定律，一致收敛条件（iv）成立。白色（1994）。如我们所示，映射θ7→ ρYt+1，gqt（β），get（η）Lipschitz-Lin引理S.1在补充材料中，映射θ7→ Qn=nPT-1t=mEρYt+1，gqt（β），get（η）也是连续的，显示条件（iii）。因此，我们可以应用定理2.1。Newey和McFadden（1994）的文章，其中总结了这一命题的证明。命题2.9的证明。