包括预期短缺测试的预测

我们定义ψn（θ）=nPT-1t=mψYt+1，gqt（β），get（η）ψn（θ）=E[ψn（θ）]。根据补充材料中引理S.2的证明，我们得到了平均值展开式（对于^θnclose到θ*n） ，ψn（^θn）- ψn（θ*n） =n（|θ，…，|θk）^θn- θ*n, （A.5）对于（可能不同的）值￠θ，θksomewhere在^θ与θ之间的直线上*n、 其中：补充材料中引理S.2给出了n（|θ，…，|θk），其中ψn（θ*n） =0。此外，它认为n（θ*nθ*n） =λn（θ*n） 以及n（|θ，…，|θk）在其参数|θ，…，中是一个连续函数，θk.使用∧n（θ*n） 如果特征值远离零（对于足够大的n），我们也可以得到n（|θ，…，|θk）在θ周围的邻域中是非奇异的*n（对于所有参数）对于足够大的n，作为将矩阵映射到其上的映射，中值定理不能直接推广到向量值函数。因此，我们必须分别考虑每个分量中的平均值展开，这会给出更复杂的表达式。特征值是连续的。我们进一步了解到-θ*nP公司→ 0和| |∧θj-θ*n | |≤ ||^θn-θ*n | |对于所有j=1，k、 我们从连续映射定理得到-1n（|θ，…，|θk）- Λ-1n（θ*n） P→ 0.（A.6）在下文中，我们应用Weiss（1991）中的引理A.1（通过验证其假设），将Huber（1967）的iid结果扩展到强混合序列。Weiss（1991）中引理A.1的假设（N1）得到满足，因为几乎可以肯定的是，每个连续随机过程在Doob（Gikhman和Skorokhod，2004）和函数ψ的意义上是可分离的Yt+1，gqt（β），get（η）几乎可以肯定的是∈ N、 假设（N2）满足命题2.8的证明。假设（N3）（i）如补充材料中的引理S.2所示。

技术假设（N3）（ii）和（N3）（iii）源自巴顿等人（2019）补充附录中的引理4和引理5。为此，请注意，巴顿等人（2019）假设2（C）和（D）中的力矩条件由假设2.7中的条件（h）隐含。假设（N4）遵循假设2.7中的瞬时条件（h），假设（N5）遵循强混合条件（a）。此外，巴顿等人（2019）补充附录中的引理2暗示√nψn（^θn）P→ 因此，我们可以应用Weiss（1991）中的引理A.1，得到√nψn（^θn）-√nψn（θ*n） P→ 0.（A.7）将（A.5）、（A.6）和（A.7）结合起来，我们得到√n^θn- θ*n= -n（|θ，…，|θk）-1.√nψn（^θn）（A.8）=-Λ-1n（θ*n） +op（1）·√nψn（θ*n） +op（1）= -Λ-1n（θ*n）·√nψn（θ*n） +op（1）。（A.9）此外，∑-1/2n（θ*n）√nψn（θ*n） d→ N0，Ik根据补充材料中的引理S.3，因此，∑-1/2n（θ*n） ∧n（θ*n）√n^θn- θ*nd→ N0，Ik, 这就是这个命题的证明。定理2.10的证明。我们首先注意到BOhm-1/2n√n^θn- θ*n= Ohm-1/2n√n^θn- θ*n+bOhm-1/2n- Ohm-1/2n√n^θn- θ*n. （A.10）从命题2.9中，我们得到Ohm-1/2n√n^θn- θ*nd→ N0，Ik. 此外，作为bOhm-1/2n- Ohm-1/2n= oP（1）通过假设，我们应用Slutzky定理得到bOhm-1/2n-Ohm-1/2n√n^θn-θ*n= oP（1）。

因此，bOhm-1/2n√n^θn-θ*nd→ N（0，Ik）和基于选择矩阵R的结果，然后应用连续映射定理，得出该定理的证明。用于预测的补充材料，包括20世纪20年代8月31日的预期短期测试。1额外的数据生成过程在下文中，我们描述了第3.3.1节模拟研究扩展中使用的两个额外的数据生成过程（DGP）。GAS DGPWe介绍了GAS模型的两种规格（Creal等人，2013年），其中第二个候选模型可能在严格的ES包容测试中产生模型规格错误。为此，我们从具有高斯新息的气体模型中生成▄Y1、t+1、^q1、tand^e1、t，这与（3.2）中给出的标准GARCH规范相对应。我们从具有随时间变化的方差和自由度的Student-t残差的GAS模型中获得第二个预测序列，由（u，σ2，t，ν2，t）>=κ+B·（u，σ2，t）给出-1，^ν2，t-1） >+AHtt、 （S.1.1）其中Ht这是模型的强制变量，比例矩阵是Hessian和t对数似然函数的导数。我们将两个模型校准为每日IBM返回值，结果得到参数值κ=（0.0659，0.00599，-1.737），A=诊断（0，0.146，7.563），B=诊断（0，0.994，7.381）。该模型意味着￠Y2，t+1~ t^ν2，t^u，^σ2，t我们从这个t分布中得到了VaR和ES预测。为了模拟服从这两个分布的凸组合的返回，我们模拟了伯努利图πt+1~ Bern（π），设Yt+1=（1-πt+1）~Y1，t+1+πt+1Y2，t+1，如第3.1节中的VaR/ES-GAS模型。S、 1VAR/ES鱼子酱DGP此模拟设置遵循Taylor（2019）的动态ES模型，我们用ES鱼子酱表示，因为它们用动态ES规范扩充了Engle和Manganelli（2004）的鱼子酱模型。

作为ES CAViaR模型的不对称斜率由^q1给出，t=-0.0003- 0.05 | Y1，t | 1{Y1，t≥0}- 0.15 | Y1，t | 1{Y1，t<0}+0.8^q1，t-1和（S.1.2）^e1，t=^q1，t- xt，其中（S.1.3）xt=0.00017+0.125（^q1，t-1.-Y1，t）+0.84^q1，t-1if^q1，t-1.≤Y1，t，xt-1if^q1，t-1> Y1，t.（S.1.4）我们考虑的第二个模型变量是对称绝对值SAV ES Caviar模型，其中分位数方程由^q2，t=-0.0003- 0.1 | Y2，t |+0.8^q2，t-1、（S.1.5）和^e2，and XT遵循（S.1.3）和（S.1.4）中的动态规范。这些参数选择是Taylor（2019）获得的值的略微修改值。在此设置中，我们根据加法模型Yt+1模拟数据=(1 -π） ^e1，t+π^e2，t+ εt+1，其中εt+1~ N-σξα, σ, 对于σ=0.1。这意味着对于π=0，ESα（Yt+1 | Ft）=e1，talmostssure，对于π=1，情况相反。该设置将Giacomini和Komunjer（2005）的VaR包容测试模拟中的鱼子酱DGP推广到ES。S、 2技术证明MMA S.1。在假设2.7的条件下，函数ρYt+1，gqt（β），get（η）是Lipschitz LonΘ，具有Ft可测且可积的Lipschitz常数。证据我们拆分ρ-函数ρYt+1，gqt（β），get（η）= ρYt+1，gqt（β），get（η）+ρYt+1，gqt（β），get（η）,式中ρYt+1，gqt（β），get（η）= -1{Yt+1≤gqt（β）}αget（η）（gqt（β）- Yt+1），ρYt+1，gqt（β），get（η）=gqt（β）- get（η）get（η）- 日志(-get（η））。S、 2ρ的局部Lipschitz连续性如下，因为它是θ中的一个连续可微分函数（因此get（η）6=0），因此（局部）Lipschitz-L。

因此我们得到所有θo∈ Θ，存在δo>0，因此对于所有θ∈ Uδo（θo）：=θ ∈ Θ||θ - θo | |≤ δo, 我认为ρYt+1，gqt（βo），get（ηo）- ρYt+1，gqt（β），get（η）≤θ - θo· supθ∈Uδo（θo）βgqt（β）+ηget（η）get（η）+gqt（β）ηget（η）（get（η））,（S.2.1）如果序列-1t=兆欧βgqt（β）+ηget（η）get（η）iandnPT公司-1t=兆欧gqt（β）ηget（η）（get（η））i所有θo都有界∈ 根据假设2.7中的条件（h）。对于函数ρ，我们考虑以下四种情况。首先，让我们=ω ∈ Ohm, θ ∈Uδo（θo）gqt（βo）（ω）<Yt+1（ω）和gqt（β）（ω）<Yt+1（ω）. 那么，在Γ上，它认为ρYt+1，gqt（β），get（η）= ρYt+1，gqt（βo），get（ηo）= 0，（S.2.2），即Lipschitz-L.Second，letΓ=ω ∈ Ohm, θ ∈ Uδo（θo）gqt（βo）（ω）≥ Yt+1（ω）和gqt（β）（ω）≥ Yt+1（ω）.OnΓ，对于两个Γθ∈ {θ，θo}，它认为ρYt+1，gqt（|β），get（|η）= -αget（η）gqt（℃β）- 年初至今+1, （S.2.3）这是一个连续可微分函数。因此ρYt+1，gqt（βo），get（ηo）- ρYt+1，gqt（β），get（η）≤θo- θ·supθ∈Uδo（θo）βgqt（β）αget（η）+ supθ∈Uδo（θo）ηget（η）α（get（η））（gqt（β）- 年初至今+1）!,（S.2.4）其中最后两行中suprema序列的平均期望值受假设2.7中的条件（h）的限制。最后，让我们=ω ∈ Ohm, θ ∈ Uδo（θo）gqt（β）（ω）<Yt+1（ω）≤ gqt（βo）（ω）. 同于Γ，| gqt（βo）- Yt+1 |≤ |gqt（βo）- gqt（β）|几乎可以肯定，它认为ρYt+1，gqt（βo），get（ηo）- ρYt+1，gqt（β），get（η）=αget（ηo）（gqt（βo）- 年初至今+1）≤αget（ηo）（gqt（βo）- gqt（β））≤θ - θo· supθ∈Uδo（θo）βgqt（β）αget（η）.S、 3如上所述，最后两行中suprema序列的平均期望值受假设2.7中条件（h）的限制。Γ的等效参数=ω ∈ Ohm, θ ∈ Uδo（θo）gqt（βo）（ω）<Yt+1（ω）≤ gqt（β）（ω）.

像Ohm =Si=1Γi，我们可以得出以下结论：函数ρYt+1，gqt（βo），get（ηo）是Lipschitz LonΘ。引理S.2。根据假设2.7中的条件，存在常数a，d>0，因此ψn（θ）≥ a | |θ- θ*n | |对于任何θ∈ Θ使得| |θ-θ*n | |≤ d、 （S.2.5）和所有n≥ n、 其中n∈ N足够大。证据Letθ∈ Θ使得| |θ-θ*n | |≤ d对于一些（小）常数d>0，并定义ψn，q（θ）=nT-1Xt=我-βgqt（β）αget（η）Ft（gqt（β））- α和（S.2.6）ψn，e（θ）=nT-1Xt=我ηget（η）（get（η））get（η）- gqt（β）+α（gqt（β）- Yt+1）1{Yt+1≤gqt（β）}, （S.2.7）使得ψn（θ）>=ψn，q（θ）>，ψn，e（θ）>. 此后，我们使用以下短符号Gqt（β）=βgqt（β）ηgqt（β）>（S.2.8）Gqet（β，η）=βgqt（β）ηget（η）>（S.2.9）Geqt（β，η）=ηget（η）βgqt（β）>（S.2.10）Get（η）=ηget（η）ηget（η）>，（S.2.11）Hqt（β）是gqt（β）的kβ×kβHessian矩阵，等价地，Het（η）是get（η）的kη×kηHessian矩阵。在下文中，我们将中值定理应用于ψn（θ）的各行，而不是完全向量，因为中值定理不能直接推广到向量值函数。然后，通过将中值定理应用于所有j=1，…，的ψn（θ）的第j行，k、 我们得到ψn（θ）- ψn（θ*n） =n（|θ，…，|θk）·θ - θ*n, （S.2.12）S.4其中n（|θ，…，|θk）=n、 qqn、 量化宽松n、 均衡器n、 ee！。（S.2.13）对于所有j=1，kβ，第j行n、 QQI由提供n、 qq，j（|βj）=nT-1Xt=mE“Hqt，j（|βj）αget（|ηj）Ft（gqt（℃βj））- α+Gqt（～βj）αget（～ηj）ht（Gqt（～βj））#，（S.2.14），其中Hqt，j（～βj）表示Hqt的第j行（～βj），和n、 qeis由给出n、 qe，j（|θj）=nT-1Xt=我“-Gqet，j（|βj，|ηj）αget（|ηj）Ft（gqt（℃βj））- α#. （S.2.15）对于所有j=kβ+1。

，kβ+kη，第j行n、 eqis由提供n、 公式，j（|θj）=nT-1Xt=mE“Geqt，j（|βj，|ηj）αget（|ηj）Ft（gqt（℃βj））- α#（S.2.16）和n、 eeis由给出n、 ee，j（|θj）=nT-1Xt=我Het，j（|ηj）get（|ηj）get（￠ηj）- gqt（～βj）+α（gqt（～βj）- Yt+1）1{Yt+1≤gqt（￠βj）}+Geet，j（|ηj）get（|ηj）- 2Geet，j（|ηj）get（|ηj）get（￠ηj）- gqt（～βj）+α（gqt（～βj）- Yt+1）1{Yt+1≤gqt（￠βj）}.在下面，我们展示了n~θ, . . . ,θk- ∧n（θ*n）≤ c | |θ-θ*n | |再次考虑单个组件。对于每个j，i=1，nβ，（对应于Hessian矩阵的左上分位数特定部分）||n、 冀θj- ∧n，ji（θ*n）||=nT公司-1Xt=mE“Hqt，ji（|βj）αget（|ηj）Ft（gqt（℃βj））- α+Gqt，ji（|βj）αget（|ηj）ht（Gqt（|βj））#-nT公司-1Xt=我Hqt，ji（β*n） αget（η*n）Ft（gqt（β*n） （）- α+Gqt，ji（β*n） αget（η*n） ht（gqt（β*n） （）=nT公司-1Xt=我“Hqt，ji（(R)βj）αget（(R)ηj）Ft（gqt（(R)βj））- α- get（\'ηj）αget（\'ηj）Hqt，ji（\'βj）Ft（gqt（(R)βj））- αS.5+βgqt（°βj）Hqt，ji（±βj）αget（±ηj）ht（gqt（±βj））#·θj- θ*n,对于一些θj=\'βj，\'ηj在￠θjandθ之间的直线上*n、 此外，对于所有j=1，nβ和i=nβ+1，nβ+nη（对应于Hessian矩阵的右上分位数/ES特定部分），它认为||n、 冀θj- ∧n，ji（θ*n）||=nT公司-1Xt=mE“Gqet，ji（|βj，|ηj）αget（|ηj）Ft（gqt（℃βj））- α#-nT公司-1Xt=我Gqet，ji（β*n、 η*n） αget（η*n）Ft（gqt（β*n） （）- α=nT公司-1Xt=我“Gqet，ji（\'βj，\'ηj）αget（\'ηj）Ft（gqt（(R)βj））- α+ gqt（°βj）Gqet，ji（±βj，±ηj）αget（±ηj）ht（gqt（±βj））- 2.get（\'ηj）Gqet，ji（\'βj，\'ηj）αget（\'ηj）Ft（gqt（(R)βj））- α#·θj- θ*n,对于一些θj=\'βj，\'ηj在￠θjandθ之间的直线上*n、 这相当于左下角的nand∧n。最终对于右下块，即对于每个j，i=nβ+1。

，nβ+nη，我们得到n、 冀θj- ∧n，ji（θ*n）=nT公司-1Xt=我Het，ji（|ηj）（get（|ηj））get（￠ηj）- gqt（～βj）+α（gqt（～βj）- Yt+1）1{Yt+1≤gqt（￠βj）}+Geet，ji（|ηj）（get（|ηj））- 2Geet，ji（|ηj）（get（|ηj））get（￠ηj）- gqt（～βj）+α（gqt（～βj）- Yt+1）1{Yt+1≤gqt（￠βj）}-nT公司-1Xt=我Het，ji（η*n） （get（η*n） （）get（η*n）- gqt（β*n） +α（gqt（β*n）- Yt+1）1{Yt+1≤gqt（β*n） }+Geet，ji（η*n） （get（η*n） （）- 2Geet，ji（η*n） （get（η*n） （）get（η*n）- gqt（β*n） +α（gqt（β*n）- Yt+1）1{Yt+1≤gqt（β*n） }=nT公司-1Xt=我Het，ji（\'ηj）（get（\'ηj））- 2.get（\'ηj）Het，ji（\'ηj）（get（\'ηj））- 2.Geet，ji（\'ηj）（get（\'ηj））+6get（\'ηj）Geet，ji（\'ηj）（get（\'ηj））×get（(R)ηj）- gqt（(R)βj）+α（gqt（(R)βj）- Yt+1）1{Yt+1≤gqt（(R)βj）}+Geet，ji（\'ηj）（get（\'ηj））- 2.get（\'ηj）Geet，ji（\'ηj）（get（\'ηj））S.6+Het，ji（\'ηj）（get（\'ηj））- 2Geet，ji（\'ηj）（get（\'ηj））·get（(R)ηj）- gqt（(R)βj）+αgqt（(R)βj）Ft(gqt（(R)βj））·θj- θ*n.对于一些θj=\'βj，\'ηj在￠θjandθ之间的直线上*n、 由于各力矩根据假设2.7中（h）中的力矩条件以及自| |θj起确定-θ*n | |≤ ||θ - θ*n | |对于所有j，我们已经证明，对于所有足够大的n，存在一个常数c>0，这样n~θ, . . . ,θk- ∧n（θ*n）≤ c | |θ- θ*n | |。（S.2.17）此外，作为矩阵∧n（θ*n） 假设特征值从下面开始有界（n足够大），则存在一个常数c>0，使得|∧n（θ*n） ·（θ）- θ*n） | |≥ c | |θ- θ*n | |。（S.2.18）因此，我们选择的d>0足够小，以至于d<c2c。然后| |θ- θ*n | |≤ d<c2candthus，2c | |θ- θ*n个||≤ c | |θ- θ*n | |。因此n~θ, . . . ,θk- ∧n（θ*n）· (θ - θ*n）≤c | |θ- θ*n个||≤ c/2 | |θ- θ*n | |因此ψn（θ）=n~θ, . . . ,θk· (θ - θ*n）=∧n（θ*n） ·（θ）- θ*n）+n~θ, . . . ,θk- ∧n（θ*n）· (θ - θ*n）≥||∧n（θ*n） ·（θ）- θ*n） | |-n~θ, . . .

，°θk- ∧n（θ*n）· (θ - θ*n）≥c | |θ- θ*n | |，（S.2.19），通过应用均值展开和逆三角不等式。引理S.3。根据假设2.7中的条件，它认为∑-1/2n（θ*n）√nψn（θ*n） d→ N（0，Ik）。（S.2.20）证明。我们通过应用CramrWold定理来证明这个多元结果，即通过证明Theorem5.20 in White（2001），p.130中给出的强混合序列的单变量CLT条件适用于所有线性组合u>ψYt+1，gqt（β*n） ，get（η*n）对于所有u∈ Rkuch表示| | u | |=1。根据White（2001）第50页的定理3.49，我们得到了theS。7序列ψYt+1，gqt（β*n） ，get（η*n）u>ψYt+1，gqt（β*n） ，get（η*n）大小混合强烈-r/（r）- 2） 对于某些r>2。此外，对于所有t∈ N、 它认为u> ψYt+1，gqt（β*n） ，get（η*n）r≤ EψYt+1，gqt（β*n） ，get（η*n）r≤4r-1.最大值1.- αα, 1重新βgqt（β*n） get（η*n）r+ Eηget（η*n） get（η*n） （get（η*n） （）r+1 +α重新ηget（η*n） gqt（β*n） （get（η*n） （）r+ Eηget（η*n） Yt+1α（get（η*n） （）r≤4r-1.最大值1.- αα, 1rKrE公司[||βgqt（β*n） | | r]+KrE[||ηget（η*n） | | r]+K2r1 +αrE公司[||ηget（η*n） gqt（β*n） | | r]+αK2rE[||ηget（η*n） Yt+1 | | r]< ∞,通过应用Jensen不等式和假设2.7中的力矩条件（h），其中r>2（来自条件（a））。作为序列ψYt+1，gqt（β*n） ，get（η*n）假设2.7中的条件（c）不相关，我们得到所有n≥ 1，Var√nT公司-1Xt=mψYt+1，gqt（β*n） ，get（η*n）!=nT公司-1Xt=mEhψYt+1，gqt（β*n） ，get（η*n）· ψYt+1，gqt（β*n） ，get（η*n）>i=∑n（θ*n） 。（S.2.21）As∑n（θ*n） 是实的、对称的正定义，可以用实正交矩阵S对角化，即S>∑n（θ*n） S=Dn，其中Dn是一个对角线矩阵，包含∑n（θ）的奇异值*n） ，表示为{λ1，n，…，λk，n}。

因此，对于任何u∈ Rk，Var√nT公司-1Xt=μ>ψYt+1，gqt（β*n） ，get（η*n）!= u> ∑n（θ*n） u=u>S>DnSu=v>Dnv>mini=1，。。。，kλi，n，（S.2.22），其中v=Su，即| | v | | |=1，因为S是正交的，其中对于n个足够大的值，特征值{λ1，n，…，λk，n}远离零。因此，我们可以将定理5.20 inWhite（2001）p.130应用于序列u>ψ的渐近正态性Yt+1，gqt（β*n） ，get（η*n）对于所有u∈ Rkuch表示| | u | |=1。应用Cramr-Wold定理得出结论。S、 8秒。3附加表表S.1：包含测试的预测的经验大小。H（1）H（2）Str ES Aux ES VaR ES VaR Str ES Aux ES VaR ES VaRn GARCH500 3.05 3.00 8.40 10 2.80 8.20 10.101000 1.45 1.75 5.90 7.80 2.20 1.95 7.70 9.302500 1.85 1.80 5.85 7.30 1.85 1.75 5.45 6.455000 1.25 1.25 3.90 5.05 0.80 0.80 4.80 4.10 5.15 N VaR/ES GAS500 5.65 5.30 9.40 11.40 4.20 9.20 11.501000 4.15 4.05 6.65 7.75 3.55 3.25 6.55 8.402500 2.70 2.65 4.80 5.80 1.35 1.45 4.70 5.955000 1.801.90 3.10 4.10 1.40 1.20 4.50 5.55n气体-t500 5.45 5.50 7.70 8.00 4.90 5.30 7.75 9.151000 4.15 4.45 6.05 6.75 2.00 2.25 4.75 6.002500 2.00 1.90 3.10 3.40 1.25 1.35 3.10 3.905000 1.70 1.80 3.95 4.05 1.00 1.05 2.15 2.70n ES-CAViaR500 2.05 1.30 4.30 6.00 2.35 1.45 5.05 6.501000 1.85 1.25 3.55 5.55 1.65 1.25 3.10 4.852500 1.00 1.15 2.30 3.10 1.00 0.90 2.05 3.005000 1.15 0.85 1.55 2.15 1.10 1.15 1.15 1.151.85注：此表显示了我们对ES的三个预测包含测试的经验大小（单位%），以及Giacomini和Komunjer（2005）对名义大小为1%的VaR包含测试。