包括预期短缺测试的预测

在这种情况下，使用（2.8）中的零齐次选择。（g） 命题2.9中定义的矩阵∧nand∑n为正定义，对于所有n个足够大的矩阵，行列式都远离零，（h）它认为gqt（β）≤ Qgqt（β）≤ Q、 Hqt（β）≤ QHqt（β）≤ Q、 和get（η）≤ Eget（η）≤ E、 Het（η）≤ EHet（η）≤ E、 对于θ邻域中的所有θ*n、 其中，随机变量Q、E、Q、E、Q、E、Eare都是Ft可测的，对于大于2的部分（从条件（a）），下列矩有界：（i）E[Qr+1]，（ii）E[Er+1]，（iii）E[Q（r+1）/2]，（iv）E[E（r+1）/2]，（v）E[EQ]，（vii）E[QE]，（viii）E[QE]，（ix）E[EE]，（x）E[EE]，（xi）E[EEE]，（xii）E【QEE】，（xiii）E【QE】，（xiv）E【QQrEr】，（xv）E【Er】-1E | Yt]r]，（xvi）E[Er+1 | Yt]r]，（xvi）E[Y2rt]，（i）对于任何n，术语supβ∈ΘβPT-1t=m{Yt+1=gqt（β）}几乎肯定是从上面有界的。以下命题显示了潜在模型误判下M估计的一致性和渐近正态性。提案2.8。给定假设2.7中的条件，它认为^θn- θ*nP公司-→ 0.提议2.9。考虑到假设2.7中的条件，它认为Ohm-1/2n（θ*n）√n^θn- θ*nd-→ N（0，Ik），（2.21）带Ohmn（θ*n） =λ-1n（θ*n） ∑n（θ*n） ∧-1n（θ*n） ，其中∧n（θ*n）=∧n，qq（θ*n） ∧n，qe（θ*n） ∧n，等式（θ*n） ∧n，ee（θ*n）, 和∑n（θ*n） =nPT-1t=mEhψYt+1，gqt（β*n） ，get（η*n）· ψYt+1，gqt（β*n） ，get（η*n）>i。

此外，∧n（θ）的分量*n） 由∧n，qq（θ）给出*n） =-nT公司-1Xt=我Hqt（β*n） αget（η*n）Ft（gqt（β*n） （）- α+gqt（β*n）gqt（β*n） >αget（η*n） ht（gqt（β*n） （）, （2.22）∧n，qe（θ*n） =λn，等式（θ*n） >=nT-1Xt=我gqt（β*n）get（η*n） >αget（η*n）Ft（gqt（β*n） （）- α, （2.23）∧n，ee（θ*n） =nT-1Xt=我get（η*n）get（η*n） >获取（η*n）+Het（η*n） get（η*n）- 2.get（η*n）get（η*n） >获取（η*n）× (2.24)get（η*n）- gqt（β*n） +α（gqt（β*n）- Yt+1）1{Yt+1≤gqt（β*n） }, （2.25）其中Hqt（β）和Het（η）分别是gqt（β）和get（η）的Hessian矩阵。上述两个命题将巴顿等人（2019）的渐近理论扩展到可能的误判模型，并将拜耳和迪米特里亚迪斯（2020）的线性模型误判理论扩展到非线性模型。附录A中的证明结合、扩展并遵循了Engle和Manganelli（2004）以及Pattonet al.（2019）的观点。这些条件与巴顿等人（2019）的规律性条件非常相似。由于我们进一步考虑到模型错误，我们施加了唯一的最小化条件（c），并略微加强了力矩条件（h）。在基线情况下，直线包含连接函数gqand ge，所需力矩条件简化为拜耳和Dimitriadis（2020）中给出的力矩条件。渐近协方差矩阵的估计Ohm除了可能的模型错误，我们遵循Dimitriadis和Bayer（2019）以及Bayer和Dimitriadis（2020）的方法。我们处理三个有害数量Ohmnas紧随其后。为了估计密度分位数函数ht（gqt（β*n） ），我们遵循Hendricksand Koenker（1992）的nid估计量。由于所调查的金融时间序列中的误判程度很小（拜耳和迪米特里亚迪斯，2020），我们近似于Ft（gqt（β*n） （）≈ α.

对于条件截断方差，Vartgqt（β*n）- 年初至今+1年初至今+1≤ gqt（β*n）, 我们采用Dimitriadis和Bayer（2019）的scl spestimator。我们现在考虑第2.2节中提出的三个ES的渐近分布，包括在零假设和一般连接函数下的测试，其中wetest某些s维（s∈ N、 s≤ k） θ的子向量。为此，让R∈ Rk×sbea选择矩阵，其列由k维笛卡尔单位（列）向量ej组成∈ Rk，与维度j中的1相差为零。例如，当gqt（β）和Get（η）等于带截距的线性连接函数时，在示例2.3的第一点中给出，θ=（β，β，β，η，η，η）。然后，对于包含严格和辅助ES的测试，R=（e，e），对于联合测试，R=（e，e，e）。这些选项从θ中选取相应的参数。然后，我们通过Zr，n=n定义各自的测试统计数据^θnR- θ*nR编号R> b类Ohm-1个^θnR- θ*nR编号>. （2.26）定理2.10（ES包含测试）。假设条件2.7和假设BOhmn-OhmnP公司→ 0，在定义2.4-2.6中给出的各自无效假设下，它认为Zr，nd-→ χs.（2.27）对于线性连接函数，该定理意味着联合检验的极限χ分布有四个自由度，而严格检验和辅助检验的极限χ分布有两个自由度。这些包含测试的ES的一个重要应用是在选择性能最佳的预测的背景下，即在时间T选择一种对未来更好的预测方法。这一点尤其重要，因为ES最近被引入巴塞尔法规，而手头没有适当的预测选择程序。继Giacominiand Komunjer（2005）之后，我们提出了以下决策规则。我们测试了两个包含的参数H（1）：^e1，十罗盘^e2，和H（2）：^e2，十罗盘^e1，t=m。

T- 1、然后，有四种可能的情况：（1）如果H（1）和H（2）都没有被拒绝，则测试对预测选择没有帮助。（2） 如果H（1）被拒绝，而H（2）未被拒绝，我们可以得出结论，预测^e2，tdoes向预测^e1，t添加信息，而我们不能得出相反的结论。因此，我们决定使用^e2，t.（3）的预测方法，如果H（2）被拒绝，而H（1）未被拒绝，则相同的逻辑相反，我们使用^e1，t.（4）的预测方法。如果H（1）和H（2）都被拒绝，则测试提供了统计证据，表明两个预测都包含独占信息，并且预测组合优于独立预测。因此，我们使用组合预测^ec，t=ge（^et，^ηn），其中估计的组合参数^ηnar从本文提出的M估计量中获得。在Giacomini和Komunjer（2005）的意义上，可以通过（过度识别的）GMM估计而不是M估计来估计回归参数，从而促进基于某种Ft可测量工具向量的条件信息集Gt=σ{Wt}的测试预测。然而，对于严格的ES检验，这种方法需要基于非光滑目标函数的过度识别MM估计的模型误判下的渐近理论。虽然此类理论适用于光滑力矩条件（参见Hall和Inoue（2003）以及Hansen和Lee（2019）），但其对非光滑目标函数的推广并不直接，因此，我们将条件ES包括基于误判GMM估计的测试，以供未来研究使用。我们无条件方法的力矩条件可以解释为与仪器相关的条件gqt（β）和get（η）。

在线性预测包含的经典基线情况下，这些工具简化为^qt和^eta，因此，我们的方法测试关于信息集gt=σ{1，^qt，^et}的条件包含 在大多数情况下，Ft已经捕获了可用的最相关信息。3模拟研究在本节中，我们评估了我们提出的三个ES包容测试的大小和功率特性，并将其与Giacomini和Komunjer（2005）的VaR包容测试进行比较。为此，我们在第3.1节中描述了模拟设置，并在第3.2节中报告和讨论了模拟结果。第3.3节考虑了模拟设置的三个扩展，涉及附加数据生成过程（DGP）、丢失和链接功能。3.1模拟设置我们采用基于线性连接函数gq（^ft，β）=β+β^f1，t+β^f2，tand ge（^et，η）=η+ηe1，t+ηe2，t的三个包围测试，其中，对于关节和辅助测试，^ft=^qt，对于严格测试，^ft=^et，以及参数空间Θ={θ=（β，η）∈ R： | 124;θ| |≤ K} 。对于各自包含的测试，在每种情况下，我们测试以下两个相反的假设：关节：H（1）：（β*, β*, η*, η*) = （1，0，1，0），H（2）：（β*, β*, η*, η*) = （0，1，0，1），Str&Aux:H（1）：（η*, η*) = （1，0），H（2）：（η*, η*) = （0，1），VaR:H（1）：（β*, β*) = （1，0），H（2）：（β*, β*) = (0, 1).（3.1）在下文中，我们描述了两个DGP，其中第一个DGP均采用经典GARCH模型的预测模型，而第二个DGP考虑了巴顿等人（2019）的VaR和ES的两个联合天然气模型。对于这两类模型，我们将数据模拟为两个不同模型的凸组合，其凸组合权重为π∈ [0, 1]. 这意味着对于π=0，第一个模型包含第二个模型，而对于π=1，则相反。

对于所有中间参数π∈ （0，1），数据来自线性组合，应拒绝包含零假设的两个预测，这表明首选预测组合方法。GARCH DGP校准到IBM每日回报的两个GARCH模型由▄Yj，t+1=σj，tut+1给出，对于j=1，2，其中ut+1id~ N（0，1）和两个不同的波动率规格由^σ1给出，t=0.042+0.053  Y1，t+0.925^σ1，t-1和（3.2）^σ2，t=0.044+0.024+0.058·1{Y2，t≤0}Y2，t+0.923^σ2，t-1.（3.3）对于这两个模型，我们通过^qj，t=zα^σj，tand^ej，t=ξα^σj，t，forj=1，2获得VaR和ES预测，其中zα和ξα是标准正态分布的α-分位数和α-ES。请注意，^σj上的时间指数t，t表明它是时间t+1的Ft可测量预测。虽然（3.2）中的第一个规范是经典的GARCH（1,1）模型（Bollerslev），但我们选择了足够大的常数K，以便参数估计不受现实设置的限制，但参数空间Θ确实是凸的。1986年），而（3.3）中的第二个规范遵循Glosten等人（1993）的GJR-GARCH模型，该模型考虑了杠杆效应。我们模拟了这些过程的凸组合数据，Yt+1=(1 -π） σ1，t+πσ2，t21个等间距π值的ut+1∈ [0，1]，其中ut+1ID~ N（0，1）。VaR/ES气体DGPIn在第二次模拟设置中，我们为Patton et al.（2019）的VaR和ES实现了单因子（1F）和双因子（2F）气体模型。1F-GAS模型演变为^q1，t=-1.164 exp（^κt）和^e1，t=-1.757 exp（^κt），其中（3.4）^κt=0.995^κt-1+0.007^e1，t-1▄Y1，tα{▄Y1，t≤^q1，t-1}- ^e1，t-1.

（3.5）2F-GAS模型遵循规范^q2，t^e2，t=-0.009-0.010+0.993 00 0.994^q2，t-1^e2，t-1.+-0.358-0.351-0.003-0.003λt，（3.6），其中强制变量由λt给出=^q2，t-1(α - 1{Y2，t≤^q2，t-1} ），1{Y2，t≤^q2，t-1} Y2，t/α-^e2，t-1.>. 对于这两种模型，j=1，2，我们模拟▄Yj，t+1~ Nuj，t，σj，t, 其中条件平均值和标准偏差由^uj给出，t=^qj，t- zα^ej，t-^qj，tξα-zα和^σj，t=^ej，t-^qj，tξα-zα，例如Qα（～Yj，t+1 | Ft）=qj，和ESα（～Yj，t+1 | Ft）=ej，t最确定。该模型的参数值从Patton et al.（2019）的表8中获得，并对应于标准普尔500指数每日回报的校准参数。为了模拟服从这两个条件分布的凸组合的回报，我们模拟了伯努利图πt+1~ 21个等间距π值的Bern（π）∈ [0，1]，让Yt+1=（1- πt+1）~Y1，t+1+πt+1Y2，t+1。因此，对于π=0，Yt+1遵循F气体模型，对于π=1，Yt+1遵循2F气体模型，对于π∈ （0，1），Yt+1是这两个模型的一些凸组合。虽然通过使用条件波动率的凸组合可以直接从GARCH型波动率模型的凸组合中产生收益，但这对于本节中考虑的更一般的气体模型来说并不简单。因此，我们使用这种基于伯努利图的更复杂的方法来生成这些凸模型组合。GARCH DGP中的两个模型都从纯尺度（波动性）过程生成数据，从而得到完美的共线VaR和ES预测。相比之下，第二次DGP中更一般的VaR/ESGAS模型生成的VaR和ES预测不是共线的，因此在严格的ES包容测试的分位数模型中引入了误判。

由于使用的参数根据每日财务回报进行校准，这些模型反映了在实际风险管理中遇到的实际误判程度。3.2模拟结果表1报告了第2节中介绍的三种不同ES包含测试的经验大小，以及Giacomini和Komunjer（2005）基于2000次蒙特卡罗复制在10%名义显著性水平下的VaR包含测试。表S.1和。补充材料中的2给出了标称尺寸为1%和5%的等效结果。柱状面板H（1）表示我们测试模型1是否包含模型2，而面板H（2）表示相反。表1：包含测试的预测的经验大小。H（1）H（2）Str ES Aux ES VaR ES VaR Str ES Aux ES VaR ES VaRn GARCH500 15.25 15.20 18.35 22.75 14.40 14.65 18.80 22.501000 11.55 11.10 15.60 20 12.30 12.70 17.80 22.852500 11.45 11.55 16.35 18.80 11.00 11.25 14.60 17.555000 10.05 10 13.10 15 15.35 9 10 13.90 15.75n VaR/ES GAS500 29.35 29 29.15 27.85 21.70 21.15 23.10 27.801000 22.75 21.85 19.55 23.95 18.15 18.60 18.15 22.802500 16.0515.80 16.20 18.35 12.65 13.50 15.65 19.655000 13.50 13.60 14.05 16.60 10.60 11.35 14.10 17.95注：此表列出了ES的三个预测包含测试的经验大小（单位%），以及Giacomini和Komunjer（2005）的VaR包含测试，名义大小为10%。结果显示了水平面板第3.1节中描述的两个DGP、垂直面板中测试的假设和不同样本量的结果。我们发现，两个包含测试的ES（严格和辅助测试）的规模都很好，尤其是在DGP和两个空假设的大样本中。虽然VaR和ES联合测试的尺寸稍大，但VaR测试的尺寸更大。

这种行为尤其显著，因为在相同的概率水平下，ES比VAR在尾部更远，因此更难估计和测试。这种模式可以通过以下事实来解释：涉及VaR的两个测试的渐近协方差取决于密度分位数函数ht（gqt（β））的估计*n） ），很难对小概率水平进行估计（Koenker和Bassett，1978；Giacomini和Komunjer，2005；Dimitriadis和Bayer，2019）。我们进一步发现，严格测试和辅助测试的表现几乎相同。这也适用于VaR/ES气体DGP，对于该DGP，严格ES比较测试的回归模型可能存在误判。这表明，严格ES测试中误判导致的近似误差对于实际财务设置而言可以忽略不计。值得注意的是，在绝大多数情况下，严格的ES测试显示出比正确规定的联合VaR和ES以及包含VaR的测试更好的规模属性。我们在图1中的各个绘图面板中显示了DGP和不同样本的功率曲线（经验拒绝率）。在每个图中，我们描述了我们的三个ES包含测试和Giacominian和Komunjer（2005）的VaR包含测试的各自功率曲线，这两个测试均为零假设，并且基于2000次蒙特卡罗复制，标称显著性水平为10%。我们观察到两种DGP、两种测试过的零假设以及所有四种增加（减少）组合参数π值的测试的功率都在增加。我们发现，虽然VaR和联合VaR和ESTEST的规模相当大，但与包含测试的严格和辅助ES相比，它们产生了类似的测试功率，尤其是对于π的较大（较小）值。

同样，包含严格ES和辅助ES的测试几乎无法区分，这意味着严格测试对VaR/ES气体模型引起的误判具有鲁棒性。有趣的是，我们发现补充材料中VaR/ES气体规格的功率曲线图S.1绘制了2F-GAS模型（以及补充材料第S.1节中所述的其他错误规格模型）模拟回归系列的VaR和ES预测的比率。根据定义2.6后的讨论，该比率主要控制严格ES包容测试回归模型的误判程度。对于2F GASmodel，VaR和ES预测的比率大约在0.7到0.85之间，而对于位置尺度，其等于0.84，接近正态。这表明，根据真实财务数据进行校准的VaR/ES气体模拟设计在回归模型中会产生一定程度的模型错误。GARCHVaR/ES GAS0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.00 0.25 0.50 0.50 0.75 1.000.250.500.751.000.250.500.751.00π拒绝率测试假设0（1）H0（2）测试严格的ES关节VaR和ES辅助ES VaR图1：该图显示了标称尺寸为10%的包容测试和两个DGP的功率曲线（经验拒绝频率）如第3.1节中的绘图行所述。