包括预期短缺测试的预测

图列描述了不同的样本大小，而颜色表示四个不同的包含测试，线型表示两个测试过的无效假设。理想测试显示π=0和H（1）的抑制频率为10%（π=1和H（2）的抑制频率相反），并且随着π值的增加（减少），抑制率尽可能急剧增加。略微不对称意味着测试对气体模型中不同数量驱动因素的规格反应不同。3.3模拟设置的扩展在本节中，我们考虑模拟设置的三个扩展。首先，在第3.3.1节中，我们介绍了两个额外的DGP。其次，在第3.3.2节中，我们分析了我们的测试在VaR和ES对的不同严格一致损失函数下的行为。第三，在第3.3.3节中，我们通过测试包含一个函数和非线性预测组合的预测，使用了两个额外的链接函数。3.3.1预测包括在不同的数据生成过程中，在本小节中，我们考虑了两个额外的DGP，即Crealet al.（2013）的GAS-t模型和Taylor（2019）的ES-CAViaR模型，补充材料第S.1节对此进行了详细描述。这两种模型都超出了纯比例模型的范畴，因此在严格ES包含测试的分位数回归方程中产生了模型误判。

图2给出了这两个DGP的功率曲线，补充材料报告中的表S.3给出了相应的试验尺寸。天然气-工商业污水附加费-鱼子酱0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.00 0.00 0.75 1.00 0.00 0.00 0.25 0.75 1.00 0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.000.250.500.751.00π拒绝率测试假设0（1）H0（2）测试严格的ES关节VaR和ES辅助ES VaR图2：该图显示了标称尺寸为10%的包围测试的功率曲线（经验拒绝频率）。绘图行对应于补充材料第S.1节中所述的GAS-t和ES CAViaR DGP。图列描述了不同的样本大小，而颜色表示四个不同的包含测试，线型表示两个测试过的零假设。这两个DGP的结果定性地证实了第3.2节的模拟结果。三个ES特殊测试显示出准确的实证测试规模，尤其是在大样本中，而严格测试和辅助测试通常比联合VaR和ES以及独立VaR包含测试表现出更好的规模特性。增加样本大小会增加DGP和所有考虑的包容测试的功率。值得注意的是，所有测试表明ES CAViaR DGP的功率比其他DGP低得多。该结果与Giacomini和Komunjer（2005）的功率结果相当，因为该DGP是其DGP的略微修改版本。总之，这两个额外的DGP表明，新的ES包含测试在各种实际数据生成过程中表现良好。3.3.2不同损失函数下的预测第2.2节所述ES的三个包含测试规范基于（2.8）中给出的VaR和ES的零齐次联合损失函数。

虽然这种损失函数是最近关于半参数ES模型的文献中最流行的选择（Patton et al.，2019；Bayer and Dimitriadis，2020；Taylor，2019），但对于VaR和ES，存在一整套联合损失函数，Fissler和Ziegel（2016）提出ρ（Y，qα，eα）={Y≤qα}- αg（qα）- 1{Y≤qα}g（Y）+φ（eα）eα- qα+（qα- Y）1{Y≤qα}α- φ（eα）+a（Y），（3.7），其中函数g是两次连续可微分和递增的，φ是三次连续可微分、严格递增和严格凸的，a和g是可积函数（Fissler和Ziegel，2016）。（2.8）中的损失函数是（3.7）的特例，用于选择g（z）=0，φ（z）=-日志(-z） a（z）=0。包含ES的测试通常可以通过使用（3.7）中的任何选项进行设置（充分满足某些进一步的弱正则性条件）。我们考虑以下两个额外规范。根据齐次损失函数理论（Nolde和Ziegel，2017）和线性回归设置中的数值性能（Dimitriadis和Bayer，2019），我们确定g（z）=0，除了φ（z）=-日志(-z） ，我们采用φ（z）=1的选项/√-zandφ（z）=-1/z。图3显示了不同样品尺寸的VaR/ES气体DGP的拒收率以及ES的三个包含测试规范，其中不同的线颜色表示三个不同的损失规范。表S.4在补充材料中，严格地说，定理2.10中的渐近理论仅涵盖（2.8）中基于损失函数的M估计。

然而，通过将本文的方法与Dimitriadisand Bayer（2019）对（3.7）中给出的一般损失函数的扩展相结合，证明和由此产生的渐近协方差矩阵很容易扩展到一般情况。●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●严格ES测试联合VaR和ES测试辅助ES测试0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.00 0.50 0.75 1.00 0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.000.250.500.751.000.250.500.751.00π拒绝率测试假设0（1）H0（2）φ（z）=●- 日志(-z） 1个/-z-1/z图3：该图显示了补充材料第S.1节中所述的三种特定试验的功率曲线（经验抑制频率），包括标称尺寸为10%的VaR/ES气体DGP试验，其中不同的颜色表示试验中使用的不同损失函数，见下文（3.7）。绘图行显示了不同的样本大小，绘图列显示了三个包含测试的不同E，线型指的是测试过的零假设。报告相应的测试大小。我们发现，基于三个不同损失函数的测试几乎没有区别，尤其是在大样本中。这一结果并不意外（尤其是在大样本中，样本平均值很好地逼近了期望值），因为Fissler和Ziegel（2016）表明，（3.7）中的所有损失函数都是通过真实VaR和ES唯一最小化的。对于潜在的误判严格ES包容测试，（2.19）中定义的伪真参数理论上可能取决于潜在损失函数，请注意，图3中使用的VaR/ES GAS DGP允许此类模型误判。

然而，我们发现，无论是采用不同的损失函数，都不会影响严格ES包容测试的拒绝率，也不会影响图3中两个正确规定的兼容测试的拒绝率。这一结果表明，潜在的不同伪真参数几乎完全不受误判的影响。3.3.3不同链接功能下的预测在本节中，我们采用了两个额外的链接功能规范。首先，我们考虑一个有效组合，包括截距gq（^ft，β）=β+β^f1，t+（1- β） ^f2，tand ge（^et，η）=η+ηe1，t+（1- η） ^e2，t，（3.8），其中^ft=^qt用于接头和辅助试验，^ft=^et用于严格试验。对于jointtest，第一个无效假设由H（1）给出：（β*, η*) = （1，1）而对于严格和辅助试验，由H（1）：η给出*= 第二个相反的零假设H（2）是通过将1替换为0得到的。对于a ffne链接函数，我们使用sameDGPs作为基于线性链接函数的包围测试。此外，我们采用非线性链接函数，其中^fti如（3.8）所示，而gq（^ft，β）=β- 经验值β对数(-^f1，t）+βlog(-^f2，t）, andge（^et，η）=η- 经验值η对数(-^e1，t）+ηlog(-^e2，t）,（3.9）我们包括一个截距，因为这可以稳定相关分位数回归的性能。我们不包括经典的凸组合（其中0≤ β≤ 1） 因为我们的理论框架不允许在边界上进行测试（详见Andrews（1999））。我们测试了与（3.1）中描述的线性连接函数相同的零假设。对于非线性链接函数，我们采用了一种略微修改的GARCH DGP。如第3.1节所述，让σ1和σ2 t表示GARCH和GJR GARCHmodels的条件波动率。

然后，我们根据yt+1=exp模拟数据(1 - π） 对数（σ1，t）+π对数（σ2，t）· ut+1（3.10），对于π的21个值的等距网格∈ [0，1]，其中ut+1ID~ N（0，1）。这确保了对于π=0、^q1、tand^e1，皮重是正确的VaR和ES预测，反之亦然，对于π=1。对于任意π∈ （0，1），根据（3.9）中的非线性连接函数，通过组合给出真实VaR和ES。图4显示了这两个附加连接函数的功率曲线，其中对于有效组合，我们同时考虑GARCH和VaR/ES燃气DGP。补充材料中的表S.5列出了相关的试验尺寸。我们发现，如图1所示，图4中所示的线性组合的功率曲线与所考虑的两种DGP的线性规格具有可比性。此外，基于第三行图中的非线性链接函数的包围测试与GARCH设置中的线性包围测试表现相似。此模拟设置的扩展表明，我们的ESencompassing测试可以基于各种不同的链接函数应用。仿射链接：GARCHAffine链接：VaR/ES GasNonal链接0.00 0.50 0.75 1.00 0.00 0.25 0.50 0.50 0.75 1.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.000.250.500.751.000.000.250.500.751.000.250.500.751.00π拒绝率测试假设0（1）H0（2）测试严格的ES联合VaR和ES辅助ES图4：该图显示了功率曲线（经验拒绝频率）对于包含两个附加链路功能的标称尺寸为10%的测试。前两行图显示了（3.8）中给出的链接函数和GARCHand VaR/ES GAS DGP的结果。第三个绘图行显示了（3.9）中给出的非线性链接函数和相应的非线性GARCH DGP的结果。

图列描述了不同的样本大小，而颜色表示包含测试的三个ES规范，线型指的是两个测试过的无效假设。4实证应用我们使用2000年6月1日至2019年5月31日期间IBM股票、标准普尔500指数和DAX 30指数的近收盘收益，总计T=4779个每日观察。我们使用固定的预测方案，即模型参数是在第一个m=2000的样本观测值上估计的。这些参数估计用于以滚动窗口方式生成剩余n=2779天的样本外期间的VaR和ES预测。根据巴塞尔协议III的建议，我们对VaR和ES使用概率水平α=2.5%。为了进行分析，我们考虑以下相互竞争的预测模型。首先，我们使用历史模拟（HS）模型，该模型通过计算过去250个交易日α级的经验分位数和ES来生成VaR和ES预测。第二个模型是RiskMetrics（RM）模型，该模型将条件波动率建模为具有固定参数值的IGARCH方程，σt=0.94σt-1+0.06YT和高斯个体。第三，我们使用Glosten et al.（1993）的GJR-GARCH（1,1）-t模型和Student-t残差。第四个模型由补充材料第S.1节中介绍的具有时变方差和自由度的Student-t-GAS模型给出。第五个和第六个模型是巴顿等人（2019）的VaR和ES的单因素和双因素气体模型，如第3.1节所述，并通过最小化（2.8）中给出的VaR和ES的严格一致损失函数进行估计。最后两个模型是补充材料第S.1节中描述的泰勒（2019）的两个动态ES鱼子酱模型。

补充材料中的表S.6显示了这些模型各自VaR和ES预测的相关性。我们发现，没有一对预测是完全相关的，这对于假设2.7的条件（f）所述的包容测试的适用性至关重要。我们对所有八种预测方法进行了配对测试。因此，对于每个模型对，我们对这两个假设都进行了包含测试，即第一个预测包含第二个，用H（1）表示，反之亦然，用H（2）表示。这导致了这两个测试的四个可能结果：（1）非拒绝（NR）表明没有一个无效假设被拒绝，测试没有帮助。（2） 包含（E1）表示第一个模型包含在竞争对手模型中但不包含它的设置，即H（1）被拒绝，但H（2）未被拒绝，这导致选择竞争对手模型。（3） 包含（E2）表示第一个模型包含另一个模型，但不包含在其中，即H（1）未被拒绝，但H（2）被拒绝，这意味着我们选择了第一个模型。最后，（4）组合（C）是指两个零假设都被拒绝的情况，因此我们选择预测组合。在表2中，我们报告了所有三个返回时间序列的不同包含测试的10%显著水平的测试结果的相对频率。补充材料中的表S.7、S.8、S.9报告了包含试验的各个p值。结果可以总结如下：首先，对于IBM股票回报，我们发现了许多双重拒绝案例，因此提供了使用预测组合的经验证据。这意味着单个模型提供了额外的独家信息，因此，预测组合通常优于独立预测模型。

这一发现支持预测组合的理论优势，如Giacomini和Komunjer（2005）、Timmermann（2006）和Halbleib and Pohlmeier（2012）在一般设置中提出的预测组合，特别是Taylor（2020）提出的VaR和ES对。其次，对于标准普尔500指数，尤其是DAX 30指数，我们总体上观察到ES包含测试的双重拒绝事件较少。虽然包含VaR的测试选择预测组合的情况下减少的幅度较小，但考虑到第3节中所有模拟设置中的包含VaR的测试都过大，即使是在大样本中，也必须仔细考虑这些拒绝。这一结果可以用以下事实来解释：标准普尔500指数和DAX指数的多样性很好，与单一股票收益率序列相比，收益率波动较小，极端异常值也较少。此外，所考虑的VaR和ES预测显示，与补充材料表S.6中的单只股票相比，指数的相关性更大，这对测试的威力产生了负面影响。第三，根据病例E1和E2的频率，我们观察了这两个时间序列在不同模型上的复发模式。特别是ES-specific GAS和鱼子酱型模型似乎表现出优异的性能，而HS、RM、GARCH和GAS-t模型往往更为常见。

最后，这两项测试仅侧重于测试ES预测，其表现几乎相同，这支持了模拟研究得出的结论，即潜在的误判并不稳定2：包括IBM股票、DAX 30和标准普尔500指数的测试结果。Strict ES Aux ES Joint VaR ES VaRModel NR E1 E2 C NR E1 E2 C NR E1 E2 C NR E1 E2 CIBMHS 57 43 43 57 43 57 43 57 43 57 Rm 57 43 57 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 57 14 29 57 GJR 57 43 57 43 57 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 57 43 43 43 57 57 57 14 29 57天然气43 57 43 57 43 57 57 57 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 57 71 29 71 71 G1F 14 29 43 43 43 43 43 43 43 43 14 14 14 29 29 29 29 29 14 57 G2F 14 29 57 29 57 29 57 29 29 57 14 57 14 29 ASES 86 14 86 14 86 57 57 57 57 57 57 57 57 29 S&14 14 43 14 29 GJR 29 71 29 71 29 71 29 71 29 29气体29 29 14 43 29 14 57 29 14 43 14 14 29 G1F 29 71 29 71 14 86 29 G2F 29 14 57 14 71 57 14 14 29气体14 71 14 71 14 43 57 14 29节省14 43 29 14 14 43 14 43 14 29 DAX 30 HS 86 14 100 86 14 RM 43 57 57 57 43 43 43 14 29 GJR 57 43 43 57 43 14 14 14 43 14 14 14 14 14 14 71 29 14 71 14 14 14 14 71 14 14 14 43 14 57 G1F 71 2914 14 43 14 43 G2F 86 14 86 14 57 43 43 57 ASES 29 71 29 71 86 14 86节省14 86 29 71 14 43 29 29注：此表显示了三个ES包含测试的成对包含测试结果和Giacomini和Komunjer（2005）的VaR包含测试的结果，这八个考虑的模型在m=2000天的样本期内估计，对于IBM股票、标准普尔500指数和DAX 30指数，名义测试显著性水平为10%。各列报告了当模型在包含测试中生成FirstForecast时，模型（在行中给出）相应测试结果出现的相对频率（单位%）。