复合函数的泰勒公式展开问题（50金起步+追加）

各位好。
小生在复习全书中遇到一个复合函数的泰勒公式展开问题（见附图）

困惑的地方在于：为什么直接可以把-x^2还原回去，而不用再对-x^2求导？

有人告诉我说，这个问题是换元了，换元之后就变成自变量为t的泰勒公式，与x无关了。我一头雾水。


另外，还有哪些情况下可以这样换元，而不用再对x求导呢？（若有答案，追加50金）

谢谢！

没有人告诉过你连着求两次导不行吧，你自己做做试试，答案是一样的，不过相当麻烦，因为代入法要代入的式子是已经熟悉并且牢记的，所以带起来容易很多。
楼主问这个问题看来你没有完全了解泰勒公式，呵呵。
泰勒公式是个很奇妙的东西，它把任意一个函数近似成一个多项式函数，多项式函数研究起来是很方便的，所以这样可以更方便的研究所有函数。
对于第二个问题，代入法在所有情况下可以用，但要注意一个问题。
原来那个变量和你代入的新变量收敛点要一致（注意，一致不代表相同）。就像你举得这个例子t可以用-x^2代替，也可以用4x,5x,x^3,x^4代替，因为t是趋向于0的，带入后x也趋向于0。但如果你用x+1代替，x是要趋向于-1的。

Mcprince 发表于 2011-6-10 05:48
没有人告诉过你连着求两次导不行吧，你自己做做试试，答案是一样的，不过相当麻烦，因为代入法要代入的式子是已经熟悉并且牢记的，所以带起来容易很多。
楼主问这个问题看来你没有完全了解泰勒公式，呵呵。
泰勒公式是个很奇妙的东西，它把任意一个函数近似成一个多项式函数，多项式函数研究起来是很方便的，所以这样可以更方便的研究所有函数。
对于第二个问题，代入法在所有情况下可以用，但要注意一个问题。
原来那个变量和你代入的新变量收敛点要一致（注意，一致不代表相同）。就像你举得这个例子t可以用-x^2代替，也可以用4x,5x,x^3,x^4代替，因为t是趋向于0的，带入后x也趋向于0。但如果你用x+1代替，x是要趋向于-1的。

多谢回复！

连着求两次导我一开始就试过了，答案确实是一样的 :)  所以才好奇
我的确是没有完全了解泰勒公式，所以才来提问的呀！

兄台所说的把“任意一个函数近似成一个多项式函数”应该怎么理解呢？可以举一两个例子吗？

或者，有没有什么书提供了这个方面的证明的，可以告诉小弟吗？

多谢！

3# aoreal
前面说的不太对，不是任意一个函数可以泰勒展开，初等函数都可以的。你只要记住课本上那几个典型的就可以了。那就涵盖了所有的基本初等函数。

就是替代法，把x^2=t代换进去，然后再换回来，替代法是把x^2看作一个整体来对待。

4# Mcprince
大哥啊，你说的这个，我也知道啊

我可是找了数学分析的书，把皮亚诺余项和拉格朗日余项的解法和全部证明都看了然后背下来——认真到这个程度的

您能不能给我一点有建设性的意见

我悬赏的是：为什么可以直接整体替换？能给解释或证明吗？

（你在二楼提到的，收敛点必须一致——我非常感谢，但是，不给证明我就无法确定这是全部的答案，心里不踏实啊！）

6# aoreal
因为原函数和泰勒展开后的多项式函数可以看做是同一个函数的两个不同形式，所以原变量可以随便用其他字母替换。看来楼主还没有理解。。呵呵。

7# Mcprince
多谢老兄的多次回复。

我仔细找了一些资料，并自己做了证明，已经明白这是怎么回事了。

不过我对兄台在2楼的回复有不同的看法，不知是否误入歧途，还请兄台指正。
您在2楼提到：
“原来那个变量和你代入的新变量收敛点要一致（注意，一致不代表相同）。就像你举得这个例子t可以用-x^2代替，也可以用4x,5x,x^3,x^4代替，因为t是趋向于0的，带入后x也趋向于0。但如果你用x+1代替，x是要趋向于-1的。”

我的理解是：
单纯展开为泰勒级数的情况，带入的新变量未必需要“收敛点一致”。哪怕是x替换换成x+a，都是很正常的——只不过收敛域要做平移。（否则简单幂级数的结论就无法推广到一般幂级数了，不是吗？）


btw. 附件中有一份参考文件

8# aoreal
恩，对于某个函数在某一点的泰勒展开，替换新变量后的收敛点平移和此函数在某个区间的泰勒展开，替换新变量后的收敛区间平移都是一回事。

楼主有详细的证明吗，对这个问题，我也迷惑啊