线性回归的适用条件是什么，现实中如何判断X（含控制变量）与Y的关系可以写成线性形式

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问题的起因是做跨学科的project时，在计量模型的设定中，经济学的经验和intuition可能就不太适用了，而有的冷门领域甚至几乎没有大佬的文献可以参照。此时解释变量与控制变量的函数形式的选择不太清楚应该如何做【有FFM（函数形式误设）问题】

尤其是有的问题对应的领域其实也没有定论-比如降雨量对径流量有多大影响，这个在水文的领域也有非常多的研究，甚至模型远比经济学复杂，所以在想这个是否与线性回归的核心思想与reduced form研究的本质有关

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关键词：控制变量 线性回归 Intuition Project Reduced 计量经济学；应用计量；线性回归；应用统计

您不知道不代表没有
简单解释下：

1）非线性模型的使用，不是胡乱试错出来的，而是要通过机械模型作理论推导出来的
数学函数有无穷多种，你为什么要用一个特定的函数，这件事本身要求有充分的理由
机械模型理论推导一般是基于一些特定的初始条件，然后做数学推导获得
无论是理工科还是经济学，最常见的做法都是求解边界值偏微分方程
根据你条件的不同，偏微分方程可以得到各种非线性模型

实际上，许多经济学线性模型，本来就是偏微分方程求解后得到的非线性指数函数，Y=C*exp(a*X)
只不过是因为非线性方程估计需要使用迭代法，早期计算机编程困难
前人才给取对数线性化，变成 lnY = lnC + a*X，也就是Y=C + a*X
最后OLS做线性估计的
这个做法现代统计学已经证明是有偏估计，正确做法就是直接迭代法非线性估计Y=C*exp(a*X)

老文章当年线性化处理是没办法，现在计算机那么普及，直接非线性估计容易的很，Matlab、Origin等等都可以做的到


2）理工科有一个优势，就是它们可以做实验，用可控条件的实验数据来分析拟合
实验就是控制其他因素不变，剥离掉其他解释变量，只着重于研究一个特定的解释变量X与被解释变量Y之间的因果关系
实验可以让问题聚焦于函数关系本身，让X对Y的解释力是有保证的
在这种情况下，如果实验数据与机械推导的理论模型不符，那么只要更换理论模型，做全新的推导即可
因此在理工科中，非线性模型可以较为快速的普及和更新

但经济学不行，经济学用都是不受控的统计数据
经济系统中，被解释变量Y往往是多种不同解释变量Xi 共同作用的结果，你无法剥离其他解释变量的影响
于是经常会出现一种情况，就是即使你用机械模型推导出了被解释变量Y与一个特定解释变量X之间的复杂非线性关系
可把它用实际用统计数据一拟合，会发现解释力(R^2)低的可怕，也许只有10%
在这种情况下，你的非线性函数形式本身根本就无法成为主要关注点
对不可控的经济数据来说，涵盖更多的解释变量，增加系统的解释力才是主要关注点


3）即使有上述的各种问题，经济学中非线性函数拟合估计也是经常出现的
最常见的是多项式近似 Y = an*X^n +...+ a2*x^2 +a1*X + C
引入多项式近似一般是为了捕捉机械模型不易推导、但实际数据确实表现出复杂非线性关系的情况
一般会采用对某种函数关系 Y=F(X) 做泰勒展开的方式引入
二级近似比较常见，因为估计起来较简单

在估计时，多项式近似有一种错误做法就是把X^n代入数据，假装它们之间是相互独立的，当作多元线性模型处理
这个虽然能返回估计结果，但是错误的
正确做法就是迭代法非线性估计，Matlab之类的都可以做到


4）由于机械模型推导面临各种困难，现代经济学统计正在向非参数和半参数估计发展
线性模型与非线性模型归根结底都属于参数模型，它必须对函数关系做出强假设
无论如何都会不同程度的面临函数形式有误问题

所以，经济统计学为了解决这类问题，提出了一类全新的技术手段——非参数和半参数估计
非参数和半参数估计跳出了参数估计的范畴，不需要对函数关系做出强假设
对于任何未知的函数关系 Y = F (X)
非参数和半参数估计是基于核密度估计、局部最小二乘法、多项式近似等等技术，对每个样本点给出独立的点估计
连接估计点就会得到没有任何函数形式强假设的估计曲线，不受任何函数形式限制

80-90年代之后的新经济学论文都在大量使用非参数和半参数估计
Stata和Gaussian都能做


总之，您还是应该多看看学术文章
不要在不了解的情况下贸然下定论

经济学的重点是解释经济现象，而不是对策。所以经常使用简化的思维，建立数学模型，通过非可控下所得数据拟合，验证模型参数，从而揭示一些底层逻辑。但实际上，经济是个系统，各类经济和社会和制度因素都会相互作用。为此，如果从提出对策和建议角度，应使用系统性工具，