股票价格运动对数正态分布的问题

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宋逢明《金融工程原理——无套利均衡分析》第六章关于股票价格
运动的推导有些不明白

r＝1/T×ln【S（T）/S（0）】，即单位时间的连续复利
将时间段【0，T】分为n个子时间段，则：
r（i）＝n/T×ln【S（t）/lnS（t－1）】为第i个时间段的以单位
时间计算的连续复利
可得r＝1/n×【r（1）＋r（2）＋……＋r（n）】

以上结果与书中是相同的，问题出在下面这一步：

由中心极限定理知 r～N（mean，variance/n）  
                               ～～～～～～  
从而 ln【S（T）/S（0）】～N（T×mean，T×T×variance/n）
                                         ～～～～～～～～～
这是我的推导，与书中给出的结果不同，而且我的这个推导使得
股票价格虽然是对数正态分布，但不能用几何布朗运动来描述，因为
ln【S（T）/lnS（0）】的方差并不是书中所说T×variance。

十分困惑，请兄弟们帮忙看看，多谢啦
--

[此贴子已经被作者于2005-2-10 11:25:24编辑过]

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关键词：对数正态分布 正态分布 价格运动 股票价格 variance 股票价格 运动 对数正态分布

没有看过你说的那本书，不知道帮不帮的了你，我学过的这个东西的推导是这样的

ds = mu*s*dt + sigma*s*dW

where W is wiener process and this is Ito process

Ito Process:

dx = a(x,t)dt + b(x,t)dW

Ito Lemma:

df(x) = (f_x*a + f_t + f_xx*b^2/2)*dt + f_x*b*dW

define f(s) = ln(s)

In this case,

f_x = 1/s;

f_t = 0;

f_xx = -1/s^2;

By Ito Lemma

d[ln(s)] = {(1/s)*mu*s -[1/(2*s^2)]*sigma^2*s^2}*dt + (1/s)*sigma*s*dW

\Rightarrow d[ln(s)] = [mu - sigma^2/2]*dt + sigma*dW

\Rightarrow ln(s_t) - ln(s_0) ~ N[mu - sigma^2/2, sigma*sqrt(t)]

proved.

理论害死人的，围观经济中的变化时复杂的

这个涉及随机微分什么的 很难

看不懂什么

your derivation is ok, your interpretation is wrong.

liusha2000 发表于 2005-2-5 23:58
宋逢明《金融工程原理——无套利均衡分析》第六章关于股票价格
运动的推导有些不明白

r＝1/T×ln【S（T）/S（0）】，即单位时间的连续复利
将时间段【0，T】分为n个子时间段，则：
r（i）＝n/T×ln【S（t）/lnS（t－1）】为第i个时间段的以单位
时间计算的连续复利
可得r＝1/n×【r（1）＋r（2）＋……＋r（n）】

以上结果与书中是相同的，问题出在下面这一步：

由中心极限定理知 r～N（mean，variance/n）  
                               ～～～～～～  
从而 ln【S（T）/S（0）】～N（T×mean，T×T×variance/n）
                                         ～～～～～～～～～
这是我的推导，与书中给出的结果不同，而且我的这个推导使得
股票价格虽然是对数正态分布，但不能用几何布朗运动来描述，因为
ln【S（T）/lnS（0）】的方差并不是书中所说T×variance。

十分困惑，请兄弟们帮忙看看，多谢啦
--

[此贴子已经被作者于2005-2-10 11:25:24编辑过]

随机微积分同普通微积分最大的区别是随机变量存在非零的二次变差，理解了这个就很容易得到ito’s  lemma，那么许多问题都好办了。

你的问题是出在中心极限定理那一步上，我不知道你所说的那本书上是如何将这个问题的，但是在这里使用中心极限定理有些奇怪，而且你的标识也不太清楚。

这里面牵扯到两个常常令人混淆的问题：
1。 正态分布和对数正态分布的关系（尤其是期望值和标准差之间的关系）
2。 连续时间和离散时间的关系

以下这一篇文章是我读过的比较好的。

感谢陈皮同志提供的资料·~阅读中。。。

我做的期权定价公式推导里面有股票价格对数运动的内容，你参考参考
详细出处参考：http://www.pinggu.org/bbs/viewth ... &from^^uid=372490