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这几天逛论坛发现很多朋友被一些完全违背经济学定律的效用函数难住，我觉得有必要梳理一下相关内容，正本清源。
效用函数是表示消费者在消费中所获得的效用（u）与所消费的商品组合之间数量（x,或者（x1,x2……xn））关系的函数，用u(x)或者u(x1,x2……xn)表示。
商品组合的问题我们放在后面，我们先来看看单个商品的效用函数u(x)。将商品A的消费在x0处增加△x获得的效用是△u（x0）,当△x为“一单位”该商品时，△u(x0)就是经济学常用的另一个概念:商品A在x0处的边际效用，记为mu(x0)。显然函数mu(x)就是边际效用函数。边际效用函数是表示消费者在已经消费了x商品时，再增加消费“一单位”该商品所能获得的效用。当所谓的“一单位”是一个无限趋近于0的正数时，即△x ->0,u(x)与mu(x)的关系符合导数的定义，因此有u’(x)=mu(x),或者u(x)=∫mu(x)。
经济学的基础性定律之一是边际效用递减定律：同一时间段同一正常商品（厌恶品可通过取他们的反向来做正常商品，比如“污染”可以取它的反向“清洁污染”作为正常商品）带给人们的效用随着该商品消费数量的增加而减少。该定律由杰文斯、门格尔和瓦尔拉斯在1871~1874年各自提出，并成功解释了“价格决定”，成为现代经济学的基础。三人被称为“边际三杰”，他们的工作则被称为“边际革命”。根据该定律对于正常商品而言，mu(x)是一个减函数，同时，在mu(x)与x轴有交点之前，u(x)是一个增函数。因此常见的u(x)的形式是u(x)=axb +cx(0<b<1)(x>=0),
对应的mu(x)=abx(b-1) +c(0<b<1)(x>=1),
或者u(x)=alnx+bx(a不为0)，(x>=0)，
对应的mu(x)=a/x+b(a不为0) ，(x>=1)。
论坛中讨论的问题，u(x)通常被设为u(x)=axb +cx(b>1)的形式，其结果就是mu(x)变成了一个增函数，这是完全错误的，是与经济学的基本定律相抵触的！
然后我们来稍微了解一些组合商品的效用问题。A、B两种商品的组合效用函数我们记为u(x,y),其中x代表消费A商品的数量，y代表消费B商品的数量。当A、B是两种完全不相干的商品时，
u（x,y）=u(x)+u(y),比如吃冰激凌和看电影如果看做是完全不相干商品的话，消费这两者的总效用就等于各自效用的和。
当A、B是两种商品为完全替代商品时，
u（x,y）=u（x+ay），比如某人认为苹果和梨子是完全可替代的商品，那么他消费这两者的效用就好像是消费同一种商品的效用,其中a是两种商品的替代系数，如果该系数不是常数而是一个和变量y相关的函数a(y)，那么函数就是
u（x,y）=u[x+a（y）y]
当A、B两种商品是完全互补商品时，u(x)=0,u(y)=0,这两者商品应当被视作同一种商品。比如左鞋子或者右鞋子对多数人而言是没有效用的，当且仅当他们同时出现的时候才有效用，因此应该视为一个商品。则u(x,y)=u(z),z代表新商品的数量。
当A、B为不完全互补品的时候， u(x)的大小取决于y的大小，同样u（y）的大小也取决于x的大小，而u(x,y)的大小则取决于x和y的搭配情况。比如喷墨打印机和墨盒是不完全互补品，打印机能给消费者带来多数效用既要看打印机自身的能力也依靠于给它配备了多少墨盒。
在论坛上看到这样的效用组合函数u（x,y）=max(x,y),朋友们你们猜猜看这会是两样什么商品？反正我是猜不出来，并且我相信出题的人自己也猜不出来。
数学是数学，经济学是经济学，数学是经济学的工具，经济学的老师们如果滥用数学，将题目出得违背经济学定律，那究竟是在教学生还是在误学生？我们能想象几何学老师出的题目中有“已知三角形内角和210°，求……”或者物理学老师出的题目中有“已知甲的速度超过光速，求……”或者化学老师出的题目中有“已知氢原子有10个质子，求……”吗？我不能想象，但是我却在经济学教材中看到了N多的违背经济学基本定律的题目，这就是经济学被认为是伪科学的道理之一吧。
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