按:下面的是我的初步设想,不见得正确。若错了,请读者海涵。
下文中β的含义大致如下:设想一个人购买股票,一段时间(假如1分钟)能够买1个单位数量股票,那么这段时间先买股票后买无风险资产,比如这段时间的1/2买股票,能买1/3股票(假设1/3,还可以假设为小于1的任何数值,因为整个这段时间内能买1个数量股票。),后1/2时间能够买无风险资产就不是1-1/3=2/3,而是β*2/3了。假设后1/2时间还买股票,那么能买1-1/3=2/3股票,但是后1/2时间买的不是股票,买的是另一种东西,买东西就没有连续性了,中间存在比如劳动时间的转换,所以就加入β,β类似于斯密论述的分工劳动转换.
证券组合的预期收益:
E(rp)=E[k*r1+β(1-k)*r2]
=kE(r1)+β(1-k)E(r2)
证券组合的方差:
VAR[k*r1+β(1-k)*r2]
=k^2*σ1^2+[β(1-k)]^2*σ2^2+2k*β(1-k)*ρ12*σ1σ2
由上面的求出资本资产定价模型
一个简单的例子
设有 A、B 两种证券,其收益率的期望值和方差如下表所示
下表 A和 B 证券的基本特征
证券 A B
r 0.1 0.04
δ 0.05 0.1
设 P表示资金中以 xA 比例投资于A、以1- xA 比例投资于 B的组合,为简单起见,
假设两种证券的收益率不相关,投资资金为1000 元。
组合收益率的期望值和方差为(下式中假设β为1/2):
E(rp)=0.1xA +0.04*1/2*(1-xA)
σp^2=0.05^2*xA^2+0.1^2*[1/2*(1-xA)]^2
若A x =1.5,1- A x =-0.5,则意味着卖空价值为 500 元的证券 B,将所得的收益 500
元追加作为初始投资资金,并将全部资金1500 元投资于证券 A。若 A x =0.75, 1- A x =0.25,则意味着将 1000 元中比例为 750 元的资金用于购买证券A,250 元用于购买证券 B。如果将 A x 赋予不同的值,就可以得到相应的1- A x ,并得到相应的期望收益率和标准差。
其结果可以如下表所示
期望收益率和标准差的计算结果
xA E(rp) σp^2
0.75 0.08 0.0015625
0.5 0.06 0.00125
0.25 0.04 0.0015625
0 0.02 0.0025
下面是期望收益率和标准差的后一项不乘以1/2的计算结果
xA E(rp) σp^2
0.75 0.085 0.00203125
0.5 0.07 0.003125
0.25 0.055 0.00578125
0 0.04 0.01
后项乘以1/2时候,投资组合可行集就改变了.在同样的无差异曲线下,投资组合的最优点就改变了.
资本市场线
假定风险组合已经构成,期望收益率为r1,方差为δ1,无风险资产的收益为r2,方差为0。x1为风险投资的比例,β(1-x1)为无风险资产的投资比例。
当不借款的时候,下面这种情形:说明:假设下面的1=20(自有资金),假设X1=10,那么假设购买的风险证券为x1=10,投资于无风险证券的为β(1-x1)=5(假设β为1/2。)
则组合的期望收益为
rp=x1r1+β(1-x1)r2
组合的标准差为
δp=x1δ1
由上面两式可得资本市场线的方程:
rp=(δp/δ1)r1+[{β[1-(δp/δ1)]}r2=βr2+[(r1-βr2)/δ1]δp
可以发现这是一条βr2为截距,斜率为(r1-βr2)/δ1的直线。
当借款的时候,下面这种情形,说明:假设下面的1=20(自有资金),X1=40,那么借入钱实际购买的风险证券为[1-β(1-x1)]=30(假设β为1/2,借入的钱为β(1-x1)=10。)
则组合的期望收益为
rp=[1-β(1-x1)]r1+β(1-x1)r2
组合的标准差为
δp=[1-β(1-x1)]δ1
由上面两式可得资本市场线的方程:
(1-β+βx1)δ1=δp
(1-β)δ1+βx1δ1=δp
x1=<δp-(1-β)δ1>/βδ1
rp=(1-β)r1+βx1r1+βr2-βx1r2
=βr2+(1-β)r1+x1[βr1-βr2]
=βr2+(1-β)r1+{<δp-(1-β)δ1>/βδ1}[βr1-βr2]
=βr2+(1-β)r1+【{(δp[r1-r2]}/δ1】-(1-β)(r1-r2)
可以发现这是一条r2为截距,斜率为{δp[r1-r2]}/δ1的直线。