为什么异方差会使得F统计量失效？

正在复习计量，准备期末考试
所以想弄明白一点
在异方差那一章
说由于sigma（i）不为常数的缘故
系数的方差的估计值就会有偏
所以t统计量是错误的

可是F统计量是由SSR构造的呀
异方差会影响SSR么？
为什么说”异方差情况下，F统计量不再服从F分布“？

欢迎讨论！
谢谢~~o(∩_∩)o 哈哈

如果同方差假设满足并且残差项服从正态分布，beta的OLS估计值应该服从一个均值为beta，方差为sigma^2*(X'X)^(-1)的正态分布。但是我们无法直接做假设检验，因为我们不知道sigma的真实值是多少。但是我们可以得到一个sigma的OLS无偏估计值，表示为u'u/(n-k), 这里u表示残差的估计值，n为观测值的个数，k为外生变量X的个数。我们可以证明u'u/sigma^2 是一个服从卡方分布的变量，卡方分布的自由度为n-k。

根据上面所说的，T检验意味着我们需要构成这样一个统计量：
                  (正态分布的beta估计值-beta)/[sigma^2*(X'X)^(-1)]^(1/2)
t统计量=   ---------------------------------------------------------------------
                                      [u'u/sigma^2/(n-k)]^(1/2)
这时你可以发现，因为分子分母都含有sigma，我们就可以消除它，不考虑到底真是的sigma是什么，只用它的OLS估计值u'u/(n-k)和beta的估计值就可以进行假设检验。同样的，对于F检验，我们需要构造这样一个类似的统计量:

                  (正态分布的beta估计值-beta)'(正态分布的beta估计值-beta)/sigma^2*(X'X)^(-1)
F统计量=   -------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                            u'u/sigma^2/(n-k)

和T统计量相比，其实我们是对 (正态分布的beta估计值-beta)/[sigma^2*(X'X)^(-1)]^(1/2)做了平方，使得这个新变量服从了卡方分布（正态分布的平方与平方和都是卡方分布）。于是分子分母就是两个卡方分布（除以它们各自的自由度）的比值，服从F分布了。
如果存在异方差，你可以发现，你的beta的OLS估计值仍然服从正态分布，均值为beta；但是这个时候你的正态分布的方差变了，不再是sigma^2*(X'X)^(-1)了，而是sigma^2*(X'X)^(-1)*(X'omegaX)*(X'X)^(-1)，omega是一个矩阵但不在是单位矩阵（同方差）。这时sigma的OLS估计值
u'u/(n-k)是有偏的而且不在服从卡方分布了。根据上面的叙述，无论是T还是F统计量的构成都需要sigma的估计值服从卡方分布，如果这个无法证明，那么所构成的统计量就无法证明是服从t或者F分布的，也就是这两个检验失效了。
至于为什么u'u/(n-k)不在服从卡方分布，是一个比较复杂的证明，但是也不是非常复杂。首先，你的搞懂一个习题如下。

根据这个习题，你可以发现上文的残差项可以对应习题中的X，如果残差项不能服从一个均值为零，方差为sigma（或者sigma*I）的正态分布，我们就无法证明sigma的估计值服从一个卡方分布。
希望对你有帮助。

lanh_113 发表于 2012-1-6 08:40
如果同方差假设满足并且残差项服从正态分布，beta的OLS估计值应该服从一个均值为beta，方差为sigma^2*(X' ...

虽然有点明白了，但是因为没有学过计量方面的矩阵表示，我用的书是伍德里奇的计量经济学导论。
请问对于这种矩阵表示，有什么比较好的入门教材？

hehhe

amyclover 发表于 2012-1-6 11:06
虽然有点明白了，但是因为没有学过计量方面的矩阵表示，我用的书是伍德里奇的计量经济学导论。
请问对于 ...

我用的是William H.Greene的Econometric Analysis。希望对你有帮助！

beta的方差估计值有偏，导致关于beta方差的一系列统计量都不能用耶~~~都忘光了~~~O(∩_∩)O哈哈~以后跑这来玩儿！