求助：范里安的预期效用函数习题

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<P>课后复习题：</P>
<P >为什么<FONT face="Times New Roman">u</FONT>（<FONT face="Times New Roman">c<SUB>1,</SUB>c<SUB>2,</SUB></FONT>p<SUB><FONT face="Times New Roman">1,</FONT></SUB>p<SUB><FONT face="Times New Roman">2</FONT></SUB>）<FONT face="Times New Roman">=</FONT>p<FONT face="Times New Roman"><SUB>1</SUB>ln c<SUB>1</SUB>+</FONT>p<FONT face="Times New Roman"><SUB>2</SUB> lnc<SUB>2</SUB></FONT>具有预期效用函数性质，而<FONT face="Times New Roman">u</FONT>（<FONT face="Times New Roman">c<SUB>1,</SUB>c<SUB>2,</SUB></FONT>p<SUB><FONT face="Times New Roman">1,</FONT></SUB>p<SUB><FONT face="Times New Roman">2</FONT></SUB>）<FONT face="Times New Roman">=ln c<SUB>1</SUB>+</FONT>（p<FONT face="Times New Roman"><SUB>2</SUB> /</FONT>p<SUB><FONT face="Times New Roman">1</FONT></SUB>）<FONT face="Times New Roman">lnc<SUB>2</SUB></FONT>就不是具有预期效用函数性质。<o:p></o:p></P>
<P >另那位高人能具体举例一下正仿射变换！<o:p></o:p></P>
<P >谢谢哦！！！<o:p></o:p></P>

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关键词：效用函数 仿射变换 复习题 复习题

我写的“派”怎么变成p了〉〉〉

p1不能算是一个常数，除以变量不能保证正仿射吧

预期效用函数？是指期望效用函数？

以下是引用sungmoo在2008-5-17 22:12:00的发言：

若彩票空间及定义在其上的偏好满足一定条件（公理），

则存在定义在该彩票空间上的一个满足“期望效用函数特征”的效用函数——期望效用定理。

已知一个满足“期望效用函数特征”的效用函数，当且仅当对其进行的正单调变换是仿射变换，

变换后的效用函数保持“期望效用函数特征”。

如果某个随机变量X以概率Pi取值xi，i=1,2,…,n，而某人在确定地得到xi时的效用为u(xi)，

那么，该随机变量给他的效用便是：

U(X) = E[u(X)] = P1u(x1) + P2u(x2) + ... + Pnu(xn) （P1+p2..........+Pn=1）

其中，E[u(X)]表示关于随机变量X的期望效用。因此U(X)称为期望效用函数，

又叫做冯·诺依曼—摩根斯坦效用函数（VNM函数）。

很显然，第一个式子具有这样的特征，而第二个不具备。（概率和不为1）

[em09]

[此贴子已经被作者于2008-12-21 15:46:59编辑过]

以下是引用乡下蜗牛在2007-1-9 22:59:00的发言：为什么u（c_1,c_2,p_1,p₂）=p₁ln c₁+p₂ lnc₂具有预期效用函数性质，而u（c_1,c_2,p_1,p₂）=ln c₁+（p₂ /p₁）lnc₂就不是具有预期效用函数性质

设L是简单彩票空间，R是实数集。效用函数u:L->R具有“期望效用表示”，指的是，存在常向量(a1, a2, …, an)，使得对于任意一张彩票(p1, p2, …, pn)∈L，该彩票的效用u(p1, p2, …,pn)都是p1, p2, …,pn的线性组合a1p1+a2p2+…+anpn。

这里的彩票，是一个多维变量（或者一个“变矢”），各分量即各可能结果的概率。

或者说，即使把彩票写作(c1, c2, …, cn; p1, p2, …, pn)，其中的c1, c2, …, cn也都是常量。

a+p2/p1b这种形式，并非p1与p2的线性组合。

[此贴子已经被作者于2008-12-21 15:43:04编辑过]

一张彩票，其实就是一个概率空间{Ω, σ, P}。

给定彩票空间，其中不同的彩票，它们所对应的可测空间{Ω, σ}是相同的，区别只在于概率测度（σ到[0, 1]的映射）不同。

已知可测空间{Ω, σ}，一张彩票可以理解为一个概率测度，彩票空间则可以理解为一些概率测度的集合。

给定彩票空间L及效用函数u:L->R，若存在{Ω, σ}上的某个随机变量（即有限值可测函数）f:Ω->R，使得对于任意彩票（概率测度）P，其效用u(P)总可以表示为f的期望（且该期望总存在），则称u具有“期望效用表示”。

具有期望效用表示的效用函数u:L->R，即vNM期望效用函数。

几何上，两个向量空间之间的一个仿射变换或者仿射映射由一个线性变换接上一个平移组成。

对数化（如LN（*））是正单调变换却不是正仿射，VNM效用函数能否采用对数化？