二叉树模型

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"二叉树模型中，向上运动的幅度和相互联系会影响到衍生品的价值，而向上运动的概率却不会影响衍生品的价值。"这句话该怎么理解呢？

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关键词：二叉树 树模型 相互联系 衍生品 模型 二叉树 衍生品 价值 影响

所谓股价运动的幅度指的是股价的波动率（确切的说是股票收益率的波动率）。
以option为例，股价的波动越大，那么股价达到高位的可能性也越大，这样option的value就越大，因为option的payoff是非线性的，negative的部分会被offset掉，所以股票波动越大，对option的value就越具有正效应，从这个意义上说，波动幅度对衍生品的价值是有影响的。
        但是option的价值和这个股票未来会涨会跌没有什么关系，我们不能说一个股票向上涨的概率很大，这个股票的call就贵，反之一个股票会跌，他的call就便宜。只要他们股价一样，到期时间相同，执行价相同，波动率一样，无风险收益率一样，那么他们对应的call肯定价值是一样的。
        直观上解释: 股价已经包含了这个股票的信息，如果这公司好，那么他的股价必然就会高，如果公司业绩差，股价也已经表现出来了。同样的信息不能再衍生品中再体现一遍。衍生品只体现当前的股价，这个在BS公式中也有体现，因为公式中没有没有了股票的预期回报率mu。
        理论上解释：我们定价的时候一般都把概率测度转化到风险中性的世界中去。在这个世界里，不管你是好股票还是坏股票，他们的预期回报率都是r。风险中性概率就是把原来世界的好状况考虑的少一些，坏状况考虑得多一些，股价还是那些股价，只是概率我们重新取了一遍，以使得资产的预期回报以r增长，方便我们定价。在无套利情况下对于每一个股票你一定能找到一个风险中性概率，使得他的增长率是r，这是一个数学工具，所以你不需要知道这只股票向上的概率有多大的，在风险中性世界里，大家的回报都一样。所以衍生品的价值和股价会以多少概率上涨没有关系。
        给你个简单的问题，如果苹果公司和一个我们中国的ST公司都有各自的股票期货，到期时间都是3个月，K都是350，r=0.1，波动率都是0.3, 这两个公司股票现在都值400块钱，请问他们的期货价格，或者价值一样么？有些人就会觉得苹果这么好的公司，ipad3肯定卖得很火，利润肯定高，股价必然飙升，ST这么垃圾的股票，以后跌倒100块甚至0块破产也有可能，他们的期货价格当然前者比后者贵得多。
但是答案是一样的，就是我上面说的原因，希望有帮助~~~

tete

呵呵, 不完全同意LSS的答案, 不知道从何说起, 那geek来给个学术点儿的答案. option定价, 无论是black-scholes还是pricing kernel的方法, 都是通过rule out arbitrage opportunity来定价的, 比如black-scholes就是说我们可以以某种比例(hedge ratio)同时买卖option和stock,构造一个risk free asset. 为了让人们不能通过买卖这个risk free asset获得arbitrage profit, 我们必须给option定出这样的价格. 然而有没有arbitrage profit与股价未来走势的概率没有任何关系, 简单地说, 我之前构造的这个包含option和stock的risk free asset的收益是确定的,与股价变化概率没有一毛钱的关系,asset的构造也是根据option到期时可能的股价(就是LZ说的向上运动的"幅度")确定的, 跟概率也没有一毛钱的关系. 只要我买这个risk free asset的价格高于这个asset的折现收益, 就有arbitrage profit. 所以定价option时两者应该相等.

受教了
谢谢楼上朋友的分享

crazytutu 发表于 2012-4-12 07:12
呵呵, 不完全同意LSS的答案, 不知道从何说起, 那geek来给个学术点儿的答案. option定价, 无论是black-schol ...

恩，很同意。我就是想用一种简单的方法来直观的告诉楼主。

我们可以用hedge portfolio来如复制我们要定价的期权，他们两个价值应该是一样的，不一样肯定有套利，而hedge portfolio 包含现在stock price 和 riskfree interest rate 所以这样也能解释为什么之和现在股价又关，而不和未来股价有关。

但是，我再问一个更深层次的问题。我们凭什么认为期权的价格只是S(t)和t的函数，或者说我们凭什么知道可以用stock和money market account 来perfectly replicate option的payoff。所以，这种用heding portfolio的解释不够直观，实际上已经接受了C是一个markov过程，即只取决于S(t)和t这个假设前提。

其实本质上可能就像我说的那样，毕竟C为什么只是S(t)和t的函数，是我们拿上来就用的，没有人去好好想过这个问题。我也是听我导师这么说的吧。可能我理解有问题

Chemist_MZ 发表于 2012-4-12 11:10
恩，很同意。我就是想用一种简单的方法来直观的告诉楼主。

我们可以用hedge portfolio来如复制我们要 ...

hedge ratio当然跟未来股价有关啊, 只是说跟prob不想关, 但是跟未来股价的变化幅度肯定相关啊

crazytutu 发表于 2012-4-12 23:31
hedge ratio当然跟未来股价有关啊, 只是说跟prob不想关, 但是跟未来股价的变化幅度肯定相关啊

恩，这个对，但是我好像彻头彻尾都没有提过hedge ratio的事，可能我表达不清楚吧。我只是想说，我们怎么知道一定能用这个策略去hedge出一个option的payoff。我觉得我们只是接受了option能被这个portfolio hedge掉，但是能这么hedge本身其实是我们已经接受了option的价值和未来股价上升的概率无关这个前提了。

或者说我们在用这种hedge的strategy去推导出BS PDE的时候，是否想过，为什么C能写成C(S(t),t)，为什么只是S(t)和t的函数，而和未来股价的上升概率没有关系，如果有别的因素，那你仅仅靠stock和money market account是hedge不掉的，可能会有些部分没有cover掉。我们是接受了C只是S(t)和t的函数，然后再去hedge的。


我只是认为，这么解释是在拿自己解释自己，因为和prob没关系，所以我们能hedge，因为能hedge所以没关系。

Chemist_MZ 发表于 2012-4-12 23:37
恩，这个对，但是我好像彻头彻尾都没有提过hedge ratio的事，可能我表达不清楚吧。我只是想说，我们怎么 ...

就我的理解, 不是"option被另一个portfolio hedge掉", 而是可以构造一个risk free的portfolio, 这个portfolio是包含option的, 也就是说option其实在金融投资中有一定hedge作用. "C能写成C(S(t),t)"如果用BS推倒来解释的话, 不是因为"和prob没关系，所以我们能hedge", 而是我们构造的risk-free asset在expiration date能有固定收益不由underlying asset的价格运动轨迹决定, 只与最后结果相关, 就是说如果我们已知到期日的股票价格, 其实markov之类的随机过程假设都可以不用(最后复杂的那个BS PDE公式有sigma, vega之类的是因为我们不知道股票到期日的确切价格而且我们需要调整hedge ratio). 我们构造的risk free potfolio(或者你说的hedge的过程)by nature与prob无关, 而不是说因为与Prob无关我们才能hedge.

crazytutu 发表于 2012-4-13 01:16
就我的理解, 不是"option被另一个portfolio hedge掉", 而是可以构造一个risk free的portfolio, 这个portf ...

恩，对。

我也只是说说自己的一家之言。确实option有hedge作用。但是我们在推导的时候本身就假设option和stock是基于同一个扰动源的，两个dz项能对消掉，所以两者能hedge，构造出你说的risk free的组合。然后推导出PDE。但是我们怎么知道他们的扰动源是一个呢？不就是因为我们一开始就接受了option只包含股票当前所有信息这个假设么？如果option的价格和股票未来上升的概率有关，那么我们显然不能option的所有不确定性用stock去hedge掉。构造出来的portfolio自然也不是risk free的。我们接受了概率无关假设，当然能去对冲，构建出来的hedging portfolio当然也是只是基于t时刻信息的。期权定价从一开始就交代明白和股价上升下降的概率没有关系了，而不是推出来之后才发现的。

其实就是一个最简单的问题，我们为什么很心安理得地去用stock去对冲它的option呢？我们怎么知道能对冲成功呢？其实这个问题早在解模型，构建portfolio之前就应该想通了，因为和概率没关系。否则对冲不可能成功。


我只是发表自己的看法，我也从你这里学习了好多。谢谢