为什么生成多元正态分布随机数时要分解协方差矩阵？

统计数理懂的不多，请教数理统计知识
生成多元正态分布随机数的时候，
先生成协方差矩阵sigma，再对协方差矩阵sigma分解to determine the matrix root of sigma（查得分解方法有三种， eigenvalue decomposition
("eigen", default), singular value decomposition ("svd"), and Cholesky decomposition ("chol")）。
为什么要分解而不直接用协方差矩阵呢？生成一元正态分布的时候，直接是mean+sigma*rannorm()

例如：生成1000组相关系数均为0.3的服从多元正态分布的随机向量(X，Y，Z)，其中随机变量X~N(0，1)，y～N(10，2)，Z～ N(20，3)。
SAS程序：
proc iml;
R={1.00 0.30 0.30,
   0.30 1.00 0.30,
   0.30 0.30 1.00};
S={1 0 0,
   0 2 0,
   0 0 3};
sigma=S*R*S;
u={0,10,20};
do i=1 to 1000;
z1=RANNOR(0);
z2=RANNOR(0);
z3=RANNOR(0);
C=root(sigma);                  
xi=C`*(z1//z2//z3)+u;      /*为什么要先求C，而不是直接用sigma？*/
m=m//xi`;
......

One thing you have to keep in mind is that, in matrix operation sigma=C'*C, C is not simply the element-wise square root of sigma.  

Say sigma is the covariance matrix of X. You need to guarantee the simulated data X satisfying cov(X)=sigma.

If you use sigma directly in your simulation, the covariance matrix of X cov(X) =sigma'*I*sigma=sigma'*sigma, where I is the covariance matrix of random normal and has to be identity matrix. Then this is not what your want for X.

Using the root matrix C, you get the right X ( cov(X)=C'*I *C=C'*C=sigma ).

帮楼主顶

问得好，很久没见人问过这个问题了

如果直接用矩阵去乘，那相关性也变陏机了，不能这样做，明白没

bobojin 发表于 2012-5-16 20:33
如果直接用矩阵去乘，那相关性也变陏机了，不能这样做，明白没

恩恩，谢谢你，明白不能用sigma矩阵了。那么为什么分解为C矩阵可以解决这个问题呢？
如果简单几句话说不明白，可否建议一下看哪方面的资料能理解这个问题。

bobojin 发表于 2012-5-16 20:33
如果直接用矩阵去乘，那相关性也变陏机了，不能这样做，明白没

因为如果直接用sigma矩阵相乘，相关性也随机了。要解决这个问题，我可能会很简单的想着先直接用方差矩阵S乘rannorm（），然后再用相关性系数矩阵R乘.他们也是满足矩阵相乘的条件。当然这样是不对的。我只是想完全明白协方差的分解

I was thinking of a simplest case for that:
http://blog.sina.com.cn/s/blog_a3a9263601012gr3.html

in one word, Cholesky root, etc. has such nice property to link Np~(0,I)random numbers to Np(mu, sigma)through decomposing the cov/corr matrix.if p =1, of course no need of decomposition.

y1=u1+sigma1*rannorm()1,
y2=u2+sigma2*rannorm()2,
rannorm()1,rannorm()2是相互独立的，则
cov(y1,y2)=0，而实际上y1,y2的协方差是不为0的，所以不能直接那么做。

eluxiaoyao 发表于 2012-5-24 16:45
y1=u1+sigma1*rannorm()1,
y2=u2+sigma2*rannorm()2,
rannorm()1,rannorm()2是相互独立的，则

一元的懂，我是想问多元的“协方差阵”为什么要分解，或者说，为什么协方差阵分解了之后就可以