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雷达卡
非线性回归会求解非线性模型中的参数值，使该模型对应的曲线尽可能贴合您的数据点。
- 区分非线性回归与其他类型的回归
- 非线性回归的目标
- 非线性回归的六个步骤
- 为非线性回归准备数据
- 请勿对平滑后的数据拟合模型
不同类型的回归
在选择非线性回归前，请确认您确实不需要其他类型的回归。同时也可了解非线性回归与线性回归的区别。
多项式回归
多项式模型的形式为：Y= A + BX + CX2 + DX3 ....
与线性回归类似，拟合多项式模型无需设置初始值。因此，部分程序(如Excel)可执行多项式回归，但无法执行非线性回归；还有一些程序会将多项式回归与非线性回归的拟合模块分开。Prism使用拟合非线性模型的同一分析功能来拟合多项式模型，多项式方程可在Prism的分线性回归分析中调用。
多元回归
多元回归模型包含多个自变量(X)。与线性、非线性回归相同，其因变量(Y)是一个测量值。
逻辑回归
当结局(即因变量Y)仅有两种可能取值时，会使用逻辑回归模型(例如：某人是否患病？学生是否毕业？)。模型中可包含一个或多个自变量，这些自变量可以是年龄、血压等变量，也可以是用于标识受试者所接受治疗方案的离散值。
比例风险回归
当结局是某一单次事件(通常是死亡)是否发生时，会使用比例风险模型。模型中的一个自变量是时间，其他自变量可用于解释治疗方案或其他变量的影响。
非线性回归的目标
非线性回归有两种用途
科研人员使用非线性回归时，通常有以下两个明确目标：
- 对数据拟合模型，以获得参数的最佳拟合值，或比较不同模型的拟合效果。若您的目标是这个，必须谨慎选择模型(或两个备选模型)，并关注所有结果
- 拟合平滑曲线，以便从曲线中插值，或绘制带平滑曲线的图表。若您的目标是这个，只需通过查看数据与曲线的图表即可评估效果，无需学习太多理论
回归的核心思路
线性回归是对数据拟合直线模型，而非线性回归则将这一思路扩展为对数据拟合任意模型。需区分非线性回归与线性回归及其他类型的回归。
线性与非线性回归的目标，都是调整模型的参数值，以找到最贴合数据的直线或曲线。例如：线性回归的目标是找到使直线贴合数据的斜率与截距的最佳拟合值；而对归一化量效曲线做非线性回归时，目标则是调整EC50(引发最小与最大响应中间值的浓度)与曲线斜率的数值。
更准确地说，回归的目标是找到最可能正确的参数值。这需要对数据围绕曲线的离散情况做出假设。
最小二乘回归
最常用的假设是：数据点围绕理想曲线(或直线)随机离散，且离散情况符合高斯分布。若您接受这一假设，回归的目标就是调整模型参数，找到能使“各数据点到曲线的垂直距离的平方和”最小的曲线。
为何要最小化距离的平方和？而不是直接最小化实际距离的和？
若随机离散符合高斯分布，出现两个中等程度偏差(比如各5个单位)的概率，远高于出现一个小偏差(1个单位)和一个大偏差(9个单位)的概率。
若采用“最小化距离绝对值之和”的方法，对于“距离两个点均为5个单位的曲线”和“距离一个点1个单位、距离另一个点9个单位的曲线”，该方法不会有偏好(两种情况的距离绝对值之和均为10个单位)。
而“最小化距离平方和”的方法，会更偏好“距离两个点均为5个单位的曲线”(平方和=25)，而非“距离一个点1个单位、距离另一个点9个单位的曲线”(平方和=82)。
若离散情况符合(或接近)高斯分布，通过最小化平方和得到的曲线，是最可能正确的曲线。
术语
变量
非线性回归模型通过变量X预测变量Y。其中，Y变量被称为因变量、响应变量或结果变量；X变量被称为自变量、解释变量或预测变量。
X变量可以是实验者操纵/指定的数值，也可以是实验者测量得到的数值。
参数
非线性回归模型将因变量定义为自变量与一组参数(也称为回归系数)的函数。回归方法会求解各参数的取值，使模型预测结果尽可能贴近实际数据。这种思路与线性回归类似：线性回归会确定斜率和截距(模型的两个参数/回归系数)的取值，从而让模型通过X对Y的预测尽可能贴近实际情况。
非线性回归的六个步骤
在学习用GraphPad Prism拟合模型前，先回顾必要步骤是很有必要的。
步骤1：选择模型
非线性回归是将模型拟合到数据中，因此您必须选择一个模型或输入新模型。这是科学决策，需由了解实验科学目标的人员完成。
步骤2：决定是否将某些参数约束为恒定值
进行非线性回归时，不必拟合方程中的每个参数，您可以将一个或多个参数固定为恒定值。当数据点较少时，定义常数通常很有帮助。例如，可将S形曲线或指数衰减曲线的底部平台固定为0。
别指望计算机程序有“常识”。结合实验操作和数据准备的过程，判断是否应固定某些参数。例如，若已扣除背景信号，将剂量-响应曲线或指数衰减曲线的底部平台固定为0是合理的。
步骤3：选择(或检查)初始值
非线性回归是迭代过程：程序需先设定各参数的估计初始值，再调整这些值以优化拟合效果。
若选择GraphPad Prism内置方程，软件会自动提供初始值；若输入自定义方程，则需自行提供初始值，或设置从数据范围生成初始值的规则。
若您查看了数据图、理解模型及方程中各参数的含义，估计初始值会很容易。记住只需“估计值”即可，不必非常精确。若难以估计，可先搁置数据，用模型模拟曲线：逐个改变变量，观察其对曲线形状的影响，熟悉参数对曲线的作用后，估计初始值会更轻松。
当用简单模型拟合“干净”数据时，只要初始值不是极偏离正确值，最终都会得到相同的最佳拟合曲线；但当数据离散度高或模型变量较多时，初始值的影响会更大。
步骤4：若同时拟合两个及以上数据集，决定是否共享参数
若将数据输入两个及以上数据集列，Prism会在一次分析中拟合所有数据集；但默认情况下各拟合相互独立，除非您指定共享一个或多个参数。
当共享参数时，这种分析称为全局非线性回归。
步骤5：确定加权方案
非线性回归程序通常对每个数据点赋予相等权重，但也存在多种对数据点进行差异化加权的方式。
步骤6：选择需要输出的结果
非线性回归总会报告参数的最佳拟合值。除此之外，Prism还提供多种选项，供您选择需要输出的结果内容。
非线性回归的数据准备
在Prism种进行非线性回归时，必须创建XY数据表。请遵循以下指导原则录入(或预处理)数据：
- 避免线性化转换(如Scatchard图、Lineweaver-Burke图)：这类图仅适用于数据展示，在数据分析中已过时
- 转换X值是可行的(只要同步调整模型)，且不会改变回归结果。可通过Prism的Transform分析功能实现
- 不要对数据进行平滑处理：这会导致非线性回归结果无效，应直接拟合原始数据
- 转换Y值(用于转换单位或扣除基线)是可行的，且不会显著影响非线性回归。可通过Prism的Transform分析功能实现
- 除非有充分理由，否则避免对Y值进行非线性转换(如倒数、对数)：这类转换仅在使方差齐性(即曲线各点的离散度一致)时有用，不可仅为线性化数据而操作
- 尽量录入原始重复数据，而非仅录入均值±标准差(SD)或标准误(SEM)：Prism对两种数据的拟合曲线一致，但录入原始数据有两个优势：①可查看每个重复数据的实际分布；②支持选择稳健非线性回归或自动剔除异常值
- 若已录入重复数据，先绘制各重复数据的图形(而非均值±误差棒图)：后续可再绘制均值图，但建议先查看原始数据的图形
请勿对平滑后的数据拟合模型
该图展示了不同年份的飓风数量：左图为每年的飓风数量(数据波动较大)；为便于识别趋势，右图呈现了滚动平均值(每年的数值为当年与前8年飓风数量的均值)，平滑处理后可呈现清晰趋势。
但存在问题：这些并非真实数据，左图的数值是随机生成的(服从均值为10的泊松分布)，本身无规律，每个数值的生成与前后数据无关。
计算滚动平均值会放大随机波动的影响、弱化逐年变异，从而“创造”出趋势的假象。不可对滚动平均值数据进行线性/非线性回归拟合，也不可计算相关系数。此类分析结果是无效且具有误导性的。
问题根源在于：回归分析要求各数据点相互独立，但滚动平均值的每个数值都包含相邻数据的信息，不满足独立性假设。
重新参数化方程的作用
尽管非线性回归(顾名思义)用于拟合非线性模型，但部分推论实际上假设模型的某些特征接近线性，以保证各参数值的不确定性呈对称性。
重新参数化方程可让参数的不确定性更对称，使标准误(SE)更易解释，同时让对称的渐近置信区间(CI)更实用。Prism也可计算非对称置信区间，若选择此方式，方程的参数化形式影响会较小。
什么是重新参数化？
拟合S形酶动力学数据的标准模型有两种形式：
Y=Vmax*X^h/(Khalf^h + X^h)
Y=Vmax*X^h/(Kprime + X^h)
这两个方程式等价的：均拟合Vmax(底物浓度极高时的最大活性)和h(Hill斜率，描述曲线陡峭程度)；但前者拟合Khalf(达到半数最大速率所需的底物浓度)，后者拟合Kprime(底物作用的抽象度量)。
两种模型无优劣之分，Kprime等于Khalfh，因此会生成完全相同的曲线。
由于残差平方和、自由度均完全一致，无论选择哪种形式的模型，将其与其他模型比较时，结果都是相同的。
参数的分布并非总是对称的
模拟可用于判断参数不确定性的对称性。我模拟了S形酶动力学数据：设定Vmax=100、h=5、Kprime=25(因此Khalf=5)，并加入标准差为7.5的高斯分布离散值。X值与上图一致，每个X对应3个重复Y值。Prism可轻松重复此类模拟，我将模拟重复了5000次，对每个曲线拟合两种模型形式，统计Kprime和Khalf的最佳拟合值，并计算各自的偏度。
显然，Khalf的分布相当对称，呈高斯分布，偏度接近0(符合对称分布的预期)；而Kprime的分布则严重偏斜，偏度值为4.89(部分模拟中Kprime的最佳拟合值超过100)，分布远非对称。
用Hougaard偏度量化不对称性
上述结果是通过大量模拟得到的，而判断参数对称性还有更简便的方法：Prism可计算每个参数的Hougaard偏度(基于方程、数据点数量、X值分布及参数值)。在模拟数据集中，Khalf的Hougaard偏度为0.09，Kprime的为1.83。
经验法则：当Hougaard偏度的绝对值大于0.25时，不对称性可能引发问题；大于1.0时，问题会更严重。仅需一个数据集(无需模拟)即可计算该值，结果表明：拟合Khalf时的对称置信区间比拟合Kprime时更准确。
参数不对称的影响
理想情况下，置信区间(CI)易于解释：95%CI有95%的概率包含参数的真实总体值，5%的概率不包含。
分析真实数据时，我们无法知晓参数的真实值，因此无法确定置信区间是否包含其真实值；但模拟数据时，可明确参数真实值，进而量化置信区间的覆盖率。我通过上述相同模拟，对每个数据集拟合两种方程，统计置信区间是否包含参数真实值(Kprime真实值为25，Khalf真实值为1.9037)。下表展示了5000次模拟中，渐近对称置信区间未包含真实值的比例：
| “95% CI” | “99% CI” | |
理想值 | 5.0% | 1.0% |
Kprime | 8.8% | 4.8% |
Khalf | 5.1% | 1.0% |
结果显示：Khalf的表现符合预期(因其分布对称)，95%置信区间未包含真实值的比例为5.1%(接近理想值5.0%)，99%置信区间的比例为1.0%(与理想值一致)；而Kprime的表现较差：95%置信区间未包含真实值的比例达8.8%，99%置信区间达4.8%，实际覆盖率远低于标称水平。
这些模拟表明：选择拟合Khalf的方程更具优势。Khalf分布对称，其置信区间可直接按字面意思解释；而Kprime分布不对称，其置信区间无法直接解读。
若让Prism呈现非对称轮廓似然置信区间，参数化形式不再重要
若选择非对称轮廓似然置信区间，则无论您选择哪种方程形式，结果都不会受影响：两种形式下的置信区间覆盖率一致，且会非常接近95%或99%。
选择这种方式后，您可以根据需求挑选方程形式：若要匹配教科书、文献的表述，或契合您的思维习惯，可自由选择。若习惯从图形角度理解，选Khalf；若习惯从机制角度分析，选Kprime。
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