[求助：挑战高手]求一个具体的包含劣质品与吉芬品的效用函数

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<p>　　　　有人认为找不到一个具体的包含劣质品与吉芬品的效用函数，我不信这个邪，想找出一个满足劣质品与吉芬品条件的效用函数，当然是找解析式。但是找了很久，试了很多函数，还是求不出来。我认为这是一个偏微分方程问题，对我而言真的太难了，因此特别向各位高手请教。</p><p>　　为了简单起见，这里限定求一个二元函数U=U(x,y),并且X是劣质品与吉芬品。</p><p>　　　通过对效用最大化一阶条件求导，可以求得如下结果，</p><p>　　X(p1,p2,m)对于m的偏导数是        (P2Uxy－P1Uyy)*lamda的平方/U的加边海塞阵的行列式</p><p>　　　而X(p1,p2,m)对于p1的偏导数是在上式基础上加上一项，－lamda的三次方*P2*P2/U的加边海塞阵的行列式</p><p>　　劣质品意味着 (P2Uxy－P1Uyy)＜0，我们的目的就是要找出这样一个效用函数，使得它满足一阶条件与左边的不等式。对于吉芬品类似。</p><p>　　请各位高手不吝赐教。</p><p>　　　</p>

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关键词：效用函数 劣质品 吉芬品 lamda 偏微分方程 偏导数 行列式 吉芬

各位高手不要客气啊！！

哎！我手中的几本书没能找到有这样的具体函数。

计算1题30分

已知效用函数为U(X1,X2)=(lnx1+2lnx2)/3, p1,p2为价格，m为收入 考
a,效用最大化条件 

b,求x1和x2的需求函数 

c,当p1=p2=1时，画出x1,x2的恩格尔线,纵轴为收入 

d,x1,x2 为正常品还是劣质品?普通品还是吉芬品?替代品还是互补品

复旦大学2004年硕士研究生入学考试试题 西方经济学

算算看，必有惊喜

以下是引用Mestra在2007-10-14 0:02:00的发言：

计算1题30分

已知效用函数为U(X1,X2)=(lnx1+2lnx2)/3, p1,p2为价格，m为收入 考
a,效用最大化条件 

b,求x1和x2的需求函数 

c,当p1=p2=1时，画出x1,x2的恩格尔线,纵轴为收入 

d,x1,x2 为正常品还是劣质品?普通品还是吉芬品?替代品还是互补品

复旦大学2004年硕士研究生入学考试试题 西方经济学

算算看，必有惊喜

    　好久没有做西方经济学基础题目了，做一下也不算屈辱,虽然没有惊喜：

　　解：L=(lnx1+2lnx2)/3+e(m-p1X-P2Y)　　lamda不好输入，用e作为Lagrange乘数。

     一阶条件　MUx=1/ 3X₁-eP₁＝0

　　　　　　MUy=2/3X₂－eP₂=0

                   m-P₁X₁-P₂X₂=0

   由前两式可得  P₂X₂=2P₁X₁，再由第三式显然知，X₁=m/3P₁, X₂=2m/3P₂

                  典型的C－D需求系统。

　　　P1=P2=1时，恩格尔曲线为m=3X₁,m=3X₂/2

      由于显然马歇尔需求函数是自价格的减函数，是收入的增函数，因此显然X1、X2都是正常品，当然非吉芬品了。X1与X2为替代品。

　　我以为这个题目根本没有任何难度，而且不过是大一学生都能够做的练习题，为什么Mestro 在高手贴里面发，我真搞不明白。

　　实际上U=ln(X1的三分之一次方乘以X2的三分之二次方)，这是典型的C－D效用函数类型变种。不用算就知道结果是什么。不知mestro是刚硕士入学还是怎么回事，拿这种题目来开玩笑。真是浪费时间不说，而且看他那神密的样子，把我给白高兴一场。

　　　希望各位高手踊跃求解。

　　　但是在给出解答答案之前，最好按照如下程序验证，是否符合本人0楼上给出的条件。

　　　首先用滚边海塞阵验证一下这个函数是否是拟凹函数，只有拟凹函数才作为标准的新古典经济学效用函数。

　　　其次通过效用最大化决策求解出马歇尔需求函数之后，看看马歇尔需求函数对于收入的偏导数是否在收入的某个区间小于0，象上面这种题目，马歇尔需求函数对于收入的偏导数明显在任何区间均大小0，这是典型的正常品。如果收入效应都不小于0，劣质品都不是，当然更不可能是吉芬品了。

　　　望各位高手顾及自己的声誉，认真解答，不可以故意污辱论坛。

想先问个问题：

“劣质品”是由选择决定，还是选择由“品质”的优劣决定？

[此贴子已经被作者于2007-10-14 11:05:45编辑过]

价格（1，1）时候，X1的Slutsky方程为：-m/9=-2m/3+5m/9,X1是劣等品，普通品

价格（1，1）时候，X2的Slutsky方程为：-2m/9=-2m/9-0,X2是正常品，普通品

恩，这个例子不好，我承认我自己都没有做做看就贸贸然拿来了

[此贴子已经被作者于2007-10-14 11:02:53编辑过]

http://ideas.repec.org/p/kud/kuiedp/0422.html

这里有篇文章

题目是：Simple Utility Functions with Giffen Demand

Abstract

We present some simple utility functions whose Marshallian demand functions possess the Giffen property: at some price-wealth pairs, the demand for a good marginally increases in response to an increase in its own price. The utility functions satisfy standard preference properties throughout the usual consumption set of nonnegative bundles: continuity, monotonicity, and convexity.

是一个教师根据课堂教学经验列举了几种含Giffen Good的简单效用函数，虽然不是一般分析，但足够回答楼主的问题了

[此贴子已经被作者于2007-10-14 11:01:54编辑过]

以下是引用Mestra在2007-10-14 10:54:00的发言：

价格（1，1）时候，X1的Slutsky方程为：-m/9=-2m/3+5m/9,X1是劣等品，普通品

价格（1，1）时候，X2的Slutsky方程为：-2m/9=-2m/9-0,X2是正常品，普通品

恩，这个例子不好，我承认我自己都没有做做看就贸贸然拿来了

呵呵！你找到了我请你吃饭！！吃饱为止！！不用担心我的货币效用不为0！