效用函数的拟凹性和集合的凸性：到底谁错了？

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<p>效用函数的拟凹性和集合的凸性</p><p>由偏好的凸性可以推出效用函数的拟凹性，反之亦然。但由偏好的凸性不能推出效用函数的凹性。</p><p>杰里和瑞尼的《高级微观经济理论》（上财中文版）P421-422用了极大篇幅证明集合的凸性与函数的凹性是等价的。蒋中一《数理经济学的基本方法》P459明确表明函数的凹性可以推出集合的凸性，反之不成立。集合的凸性只能推出函数的拟凹性。</p><p>是不是杰里和瑞尼错了？还是其中有某些地方理解不对？</p><p>请高手赐教！</p>

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关键词：效用函数 拟凹性 数理经济学的基本方法 高级微观经济 微观经济理论 经济学 中文版

我看到的范里安的微观经济分析，里面说集合的凸性和函数的拟凹是等价的。范里安给出的拟凹的定义就是上等值集是凸集所对应的函数。我也很想知道严格的证明！！

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并贴讨论

设函数f:D->V，其中，DÍRⁿ且D是凸集，VÍR（即函数f是D到V的满射）。

对于"yÎV，设V(y)={x|f(x)³y,xÎD}，显然V(y)ÍD。

拟凹函数有两种等价的定义：

（1）对于"yÎV，V(y)恒为凸集；

（2）对于"tÎ[0,1]，"x1,x2ÎD，恒有f[tx1+(1-t)x2]³min{f(x1),f(x2)}。

现在的问题就是证明（1）与（2）是等价的。

（1）Þ（2）

对于"tÎ[0,1]，"x1,x2ÎD，设z=min{f(x1),f(x2)}，显然zÎV，x1,x2ÎV(z)，由（1）知V(z)是凸集；由凸集的定义知，对于"tÎ[0,1]，总有tx1+(1-t)x2ÎV(z)，即f[tx1+(1-t)x2]³min{f(x1),f(x2)}。

（2）Þ（1）

对于"yÎV，"x1,x2ÎV(y)，由V(y)的定义知min{f(x1),f(x2)}³y；由（2）知对于"tÎ[0,1]，恒有f[tx1+(1-t)x2]³min{f(x1),f(x2)}³y，即tx1+(1-t)x2ÎV(y)，于是V(y)是凸集。

“集合的凸性和函数的（拟）凹性是等价的”，在谈这句话对错之前，应明确这句话的含义。然而这种说法是很含糊的，需要进一步说明。

“集合的凸性和函数的（拟）凹性是等价的”，

我们老师也是这样讲的...

楼上说的正确！

以下是引用wangwenbaby在2007-11-7 16:21:00的发言：

“集合的凸性和函数的（拟）凹性是等价的”，

我们老师也是这样讲的...

这里的集合是拟凹函数的上水平截集

很有意思的讨论，这些东东应该多一些啊。

以下是引用jerryliu在2007-11-7 22:46:00的发言：

以下是引用wangwenbaby在2007-11-7 16:21:00的发言：

“集合的凸性和函数的（拟）凹性是等价的”，

我们老师也是这样讲的...

这里的集合是拟凹函数的上水平截集

是的 两本书都没说错