[求助]问一个MWG中有关单赌偏好的连续性公理

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<p>在MWG中：</p><p>考察了具有有限个（设N个）结果的单赌空间L上的偏好关系>=，</p><p>其中有关“>=”连续性的假设公理表达得很奇怪（限于数学符号不好打，我就不详细表达了），<br/>然后书上说：有了这个连续性公理，就类似第三章中确定条件下的偏好的相关结论一样，</p><p>可以得出定义于L上的一个效用函数u。</p><p>我的关键问题是：就考察空间L而言，这个连续性假设能等价于第三章中的那个连续性吗？</p><p>（在第三章中，偏好>=的连续性是指：对任意消费束x，其“不劣集”>=(x)以及“不优集”<=(x)均为闭集）</p><p>如果不能等价，那么就很难说有了这个新的连续性偏好，就能由一个理性偏好得出代表其偏好的效用函数！</p><p>急请达人指点！</p>

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关键词：MWG 连续性 连续性假设 效用函数 空间 数学

这个我也说不大清，不过可以提个思路

不确定性下的偏好是定义在Lottery space上，而Lottery space本身是不同状态的概率构成的，所以我感觉可以认为偏好实际上是定义在一个概率空间上

对照不确定性下的偏好的连续性的定义，实际上是说产生compound lottery的simple lottery的概率的微小变化不会是偏好产生逆转，这点和第三章的偏好连续性的定义（用序列定义，而非用闭集定义，两者等价），本质上是一样的

回楼上的：

谢谢啊！不过还是有疑问：）

1。

在第三章有关偏好的连续性，由于商品集是在距离空间内定义的，所以用序列定义与用闭集定义是完全等价的。（这点在该书第三章相应部分也作了等价性说明）

2。

如果想根据不确定性下的连续性定义，去在序列形式下证明该定义也满足第三章中的连续性，我感觉很难操作。所以现在考虑的还是在闭集形式下去证。

（当然也不可能会用到某种序列形式）

3。

"对照不确定性下的偏好的连续性的定义，实际上是说产生compound lottery的simple lottery的概率的微小变化不会使偏好产生逆转，..."

我同意如果能证得上面这句话的后半部分（即“产生...”），那么就可以证得满足第三章中的连续性定义。

但是，对于“产生compound lottery的simple lottery的概率的微小变化”似乎很难用形如该第六章中连续性定义中的形式去表达，即，将任意一个复赌的微小调整表达为两个确定的单赌的二元凸组合......这样接下来的工作就不好做了。

不过，在确定性结果N=2时，很容易证明两个连续性的等价性。

再好好想想......

再次谢谢楼上的！

[此贴子已经被作者于2007-10-31 1:00:09编辑过]

（以下仅就偏好的连续性而言，仅供参考，未必恰当）

给定集合N及关于N的一个σ-域Ψ，定义满射p:Ψ→V；若p满足：

（1）V是非负实数集的一个子集

（2）p(N)=1

（3）"Ai∈Ψ(i=1,2,…)，且Ai∩Aj=Ф(i≠j)，恒有p(∪Ai)=∑p(Ai)

则(N,Ψ,p)为一个概率空间。

 

定义集合L={p∣(N,Ψ,p)是概率空间}，若对于L定义一个拓扑Λ，则(L,Λ)为一个彩票空间，Ψ中的元素即彩票的每种“outcome”。

 

在L上定义一个序“≧”，若≧满足：

"p∈L，{q∣q≧p，q∈L }与{q∣p≧q，q∈L }都是闭集

则≧是连续的。

一般的偏好理论处理的是一般的consumption set，有关风险的偏好理论可以认为处理的是lottery space。

偏好的连续性建立在既有拓扑上（有了拓扑，就可以判断“开集”与“闭集”）。

谢谢楼上指点！

有了启发，但问题似乎也蛮多的：

仅就有限N个outome的离散情况考虑：彩票空间L上的这个拓扑应该如何适当定义，才能按照上贴的定义证得该偏好为连续的？（已经假设该偏好满足第六章中那个所谓的“连续性”定义）？

我当时仍然是按照N维欧氏距离来考虑的（当然是仅限定于考察一个N-1维单纯形）,结果似乎很难得到两个连续性定义等价。

不知道采取什么样的拓扑形式，能够较顺利由第六章的连续性定义推出上贴中的连续性也成立......（相信课本是不会有问题的）

对于集合L={p∣(N,Ψ,p)是概率空间}，只要定义L上的一个拓扑Λ，Λ中的任一元素就是L的“开集”；且任一开集是该开集中每一元素的“邻域”。"QÍL，若L\Q∈Λ，则Q是L的“闭集”。

定义在L上的序“≧”。"p,q∈L，令pýq，当且仅当p≧q成立但q≧p不成立。

≧具有“期望效用表达式”的充要条件是：

（1）替代公理或独立公理："p,q,r∈L，"a∈(0,1]，若pýq，则ap+(1-a)rýaq+(1-a)r

（2）Archimedes公理："p,q,r∈L，若pýqýr，则$a,b∈(0,1)使得ap+(1-a)rýqýbp+(1-b)r

当集合N有限时，设N有n个元素，N={x₁, x₂, …, x_n}；此时，给定N与Ψ，概率空间(N,Ψ,p)可与n维向量p（pÎRⁿ，p³0，p'i=1，其中0是各分量均为0的n维向量，³0表示每个分量都不小于0，i是各分量均为1的n维向量）建立一一对应关系：p中的第i（i=1,2,…,n）个分量=p({x_i})。

此时，不妨令L={p∣p³0，p'i=1，pÎRⁿ}。可以定义："p,qÎL，q“以任意方式无限趋近于”p的意义是：(p-q)'(p-q)®0。

[此贴子已经被作者于2007-11-2 18:24:52编辑过]