楼主: idealli1976
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[其它] [求助]问一个MWG中有关单赌偏好的连续性公理 [推广有奖]

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楼主
idealli1976 发表于 2007-10-30 23:36:00 |AI写论文

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<p>在MWG中:</p><p>考察了具有有限个(设N个)结果的单赌空间L上的偏好关系>=,</p><p>其中有关“>=”连续性的假设公理表达得很奇怪(限于数学符号不好打,我就不详细表达了),<br/>然后书上说:有了这个连续性公理,就类似第三章中确定条件下的偏好的相关结论一样,</p><p>可以得出定义于L上的一个效用函数u。</p><p>我的关键问题是:就考察空间L而言,这个连续性假设能等价于第三章中的那个连续性吗?</p><p>(在第三章中,偏好>=的连续性是指:对任意消费束x,其“不劣集”>=(x)以及“不优集”<=(x)均为闭集)</p><p>如果不能等价,那么就很难说有了这个新的连续性偏好,就能由一个理性偏好得出代表其偏好的效用函数!</p><p>急请达人指点!</p>
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关键词:MWG 连续性 连续性假设 效用函数 空间 数学

沙发
jerryliu 发表于 2007-10-30 23:55:00

这个我也说不大清,不过可以提个思路

不确定性下的偏好是定义在Lottery space上,而Lottery space本身是不同状态的概率构成的,所以我感觉可以认为偏好实际上是定义在一个概率空间上

对照不确定性下的偏好的连续性的定义,实际上是说产生compound lottery的simple lottery的概率的微小变化不会是偏好产生逆转,这点和第三章的偏好连续性的定义(用序列定义,而非用闭集定义,两者等价),本质上是一样的

藤椅
idealli1976 发表于 2007-10-31 00:47:00

回楼上的:

谢谢啊!不过还是有疑问:)

1。

在第三章有关偏好的连续性,由于商品集是在距离空间内定义的,所以用序列定义与用闭集定义是完全等价的。(这点在该书第三章相应部分也作了等价性说明)

2。

如果想根据不确定性下的连续性定义,去在序列形式下证明该定义也满足第三章中的连续性,我感觉很难操作。所以现在考虑的还是在闭集形式下去证。

(当然也不可能会用到某种序列形式)

3。

"对照不确定性下的偏好的连续性的定义,实际上是说产生compound lottery的simple lottery的概率的微小变化不会使偏好产生逆转,..."

我同意如果能证得上面这句话的后半部分(即“产生...”),那么就可以证得满足第三章中的连续性定义。

但是,对于“产生compound lottery的simple lottery的概率的微小变化”似乎很难用形如该第六章中连续性定义中的形式去表达,即,将任意一个复赌的微小调整表达为两个确定的单赌的二元凸组合......这样接下来的工作就不好做了。

不过,在确定性结果N=2时,很容易证明两个连续性的等价性。

再好好想想......

再次谢谢楼上的!

[此贴子已经被作者于2007-10-31 1:00:09编辑过]

板凳
sungmoo 发表于 2007-10-31 10:05:00

(以下仅就偏好的连续性而言,仅供参考,未必恰当)

给定集合N及关于N的一个σ-域Ψ,定义满射p:Ψ→V;若p满足:

1V是非负实数集的一个子集

2p(N)=1

3"Ai∈Ψ(i=1,2,),且AiAj=Ф(ij),恒有p(Ai)=p(Ai)

(N,Ψ,p)为一个概率空间。

 

定义集合L={p(N,Ψ,p)是概率空间},若对于L定义一个拓扑Λ,则(L,Λ)为一个彩票空间,Ψ中的元素即彩票的每种“outcome”。

 

L上定义一个序“≧”,若≧满足:

"pL{qqpqL }{qpqqL }都是闭集

则≧是连续的。

一般的偏好理论处理的是一般的consumption set,有关风险的偏好理论可以认为处理的是lottery space。

偏好的连续性建立在既有拓扑上(有了拓扑,就可以判断“开集”与“闭集”)。

报纸
idealli1976 发表于 2007-10-31 12:47:00

谢谢楼上指点!

有了启发,但问题似乎也蛮多的:

仅就有限N个outome的离散情况考虑:彩票空间L上的这个拓扑应该如何适当定义,才能按照上贴的定义证得该偏好为连续的?(已经假设该偏好满足第六章中那个所谓的“连续性”定义)?

我当时仍然是按照N维欧氏距离来考虑的(当然是仅限定于考察一个N-1维单纯形),结果似乎很难得到两个连续性定义等价。

不知道采取什么样的拓扑形式,能够较顺利由第六章的连续性定义推出上贴中的连续性也成立......(相信课本是不会有问题的)

地板
sungmoo 发表于 2007-10-31 15:43:00

对于集合L={p(N,Ψ,p)是概率空间},只要定义L上的一个拓扑Λ,Λ中的任一元素就是L的“开集”;且任一开集是该开集中每一元素的“邻域”。"QÍL,若L\QΛ,则Q是L的“闭集”。

定义在L上的序“≧”。"p,qL,令pýq,当且仅当p≧q成立但q≧p不成立

≧具有“期望效用表达式”的充要条件是:

(1)替代公理或独立公理:"p,q,rL,"a(0,1],若pýq,则ap+(1-a)rýaq+(1-a)r

(2)Archimedes公理:"p,q,rL,若pýqýr,则$a,b(0,1)使得ap+(1-a)rýqýbp+(1-b)r

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sungmoo 发表于 2007-10-31 16:17:00

当集合N有限时,设N有n个元素,N={x1, x2, , xn};此时,给定N与Ψ,概率空间(N,Ψ,p)可与n维向量ppÎRnp³0p'i=1,其中0是各分量均为0的n维向量,³0表示每个分量都不小于0,i是各分量均为1的n维向量)建立一一对应关系:p中的第i(i=1,2,…,n)个分量=p({xi})。

此时,不妨令L={pp³0p'i=1,pÎRn}。可以定义:"p,qÎL,q“以任意方式无限趋近于”p的意义是:(p-q)'(p-q)®0。

[此贴子已经被作者于2007-11-2 18:24:52编辑过]

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