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关键词：概率问题 求解答

这是什么题目？来自哪里？

临时写了下面一个粗浅的方法，比较麻烦，就抛砖引玉把～
1、首先，我们可以知道Y是连续随机变量，取值范围是[0,1]. 为什么呢？ 其实Y的分解方法就像小数的二进制表示法，X_1就是小数点后第一位的取值，X_n 同理。 因为[0,1]中每个十进制小数唯一对应一个二进制表示，所以Y的取值就可以取遍所有[0,1]的十进制小数，因此Y 是连续的随机变量，也就有了第一个论断。

2、然后我们再证均匀分布。
根据定义，我们要证  P(Y<= t) = t,  0<=t<= 1.
首先，我们看简单的情况：
      2-1、 当 t=1/(2^k), k>=1
                我们有P(Y<= 1/(2^k)) = 1/(2^k).                 因为Y连续，所以有 [size=14.3999996185303px][size=14.3999996185303px]P(Y<=1/(2^k)) = [size=14.3999996185303px]P(Y<1/(2^k)),
[size=14.3999996185303px]              因此, \[X_1=0,..., X_k=0，\]，剩下的任意。
              故其概率为\[\frac{1}{2}*\frac{1}{2}*...*\frac{1}{2} = \frac{1}{2^k}\].
      2-2、  当 t= 1/(2^k) + 1/(2^m), k<m时，
                  我们有P(Y<=[size=14.3999996185303px]1/(2^k) + 1/(2^m)) =P(Y<1/(2^k)) + P(1/(2^k)  < Y < 1/(2^k)+1/(2^m))  
                  也就是=[size=14.3999996185303px]1/(2^k) + 1/(2^m).
                  为什么呢？ 第一项就不说了，第二项是因为这种情况下，
                    X_1=0,...,X_{k-1}=0, X_{k}=1, X_{k+1}=0, X_{k+2}=0,... X_{m}=0
                   剩下的任意。
      同理，我们可以推出：
                 当 t= 1/(2^{k_1}) + 1/(2^{k_2})+... + 1/(2^{k_n}), k_1<k_2<...<k_n时，
                我们有P(Y<t) = [size=14.3999996185303px]1/(2^{k_1}) + 1/(2^{k_2})+... + 1/(2^{k_n}).
也就是说，对于[0,1]中的所有二进制表示的小数，我们都有：
                   P(Y<=t) = t.
再由连续性，就知道Y服从均匀分布了。

PS. 其实，最关键的想法是，[0,1]中的任一个数x 都能写成\[ x = \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2^{k_i}}\] 的形式。

希望能帮到你～
祝 好

statslife 发表于 2014-12-13 22:17
这是什么题目？来自哪里？

一本考研书上的…

xyzdry 发表于 2014-12-13 23:00
临时写了下面一个粗浅的方法，比较麻烦，就抛砖引玉把～
1、首先，我们可以知道Y是连续随机变量，取值范围 ...

写的太好了…只是可惜我没有看懂……………神，麻烦您能写简单些吗

徐子然 发表于 2014-12-13 23:23
写的太好了…只是可惜我没有看懂……………神，麻烦您能写简单些吗

哪一步不懂呢？

xyzdry 发表于 2014-12-13 23:52
哪一步不懂呢？

谢谢您啦，差不多吧

statslife 发表于 2014-12-14 00:21

谢谢啦，您这是从哪里弄的答案？

徐子然 发表于 2014-12-14 08:08
谢谢啦，您这是从哪里弄的答案？

那本考研书的名字是什么？我也看看，把里面的题目做做。