[推荐]一个困扰千万人的概率问题：该不该改变最初的选择？

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<P>面对不确定性的致胜策略(之四)：该不该改变最初的选择？ <BR>转自：<A href="http://blog.sina.com.cn/u/1250609891" target=_blank><FONT size=2>http://blog.sina.com.cn/u/1250609891</FONT></A><BR><BR>　<BR>　　下面要讲到的例子与美国1970年代的一个电视节目有关，其中的概率计算困扰着成千上万的大众。在节目中，节目参与者将在3扇门之间选择其中一扇。这3扇门中有且仅有一扇门的后面装着奖品，另外两扇门则装着讽刺性礼品比如鸡崽(chicken)或者笨驴(donkey) 。当节目参与者选定一扇门之后，主持人就会打开另外两扇门中没有奖品的一扇。然后在剩下的两扇关闭的门中，主持人会问参与者要不要改变最初的选择。<BR>　　这里的问题就是：参与人希望获得奖品，而不是获得讽刺性礼品，那么现在仍关闭的两扇门中，他应当坚持最初的选择呢？还是改变主意选择另外一扇门？<BR>　　大多数人凭直觉认为，剩下的两扇门中，每扇门后有奖品或没有奖品的概率各占50%。因此，改变主意选择另外一扇门和坚持最初的选择不改变，预期的赢利是一样的。的确，这种思路看来是没有什么错。因为在做最初的选择时，选择正确的概率是1/3；而一旦选择之后，剩下两扇门，参与者从主持人的行为中所能得到的信息就只是将信念修正为自己选择正确的概率为1/2，选择失误的概率也是1/2。此外没有任何其他的信息改善。因此，他坚持原来的选择似乎可以说得过去。<BR>　　但是，上述看法不符合真实的情况。真实的情况是，如果参与者改变自己最初的选择，那么获得奖品的概率是2/3，而不改变最初选择则获得奖品的概率仅为1/3。也就是他应该改变自己最初的选择。奇怪的是，将这个结果告诉给参与者后，他们也常常还难以理解为什么会这样。一种比较浅显的解释是这样的：在最初的选择中，选择了错误的门的概率是2/3。如果参与人一开始的确选择了错误的门，那么主持人随后必然打开空门，而没有被打开的那一扇就必然有奖品，此时参与人显然应该改变主意转换到自己没选择也没有被打开的那扇门。如果最初的选择中参与人的确选正确了(概率为1/3)，那么他显然应该坚持，并因此获得奖品。也就是说，如果参与人一开始就选错了则参与人应该换门并一定获得奖金，如果参与人一开始就选对了则应该坚持并一定获得奖金——于是，转换门获得奖金的概率与不转换门获得奖金的概率实际上就是最初选择是正确和错误的概率。而一开始，选择出现错误的概率是2/3，为正确的概率是1/3。因此，在不知自己选择是正是误的情况下，在第二阶段改变主义转换到另一扇门，的确增加了获得奖品的概率。<BR>　　对于有些读者，可能仍难以明白上述道理。那么我建议你可以做这样一个游戏：准备三张扑克和一枚硬币，让你的朋友来当节目主持人将三张牌铺在桌面上（并将那枚硬币放在其中一张之下）；然后你来选择一张牌；你的朋友将你没选取的牌中拿走没有硬币的一张，再问你是否改变你当初选的牌。为了证明转换选择不不转换选择将更有可能获得奖品，你可以尝试以“转换选择”为策略进行数十次(比如50次)，再以“不转换选择”为策略进行同样多的次数(比如50次)。结果你会发现什么？你将发现“转换选择”的策略中，得到硬币的次数基本上是“不转换选择”策略中得到硬币的次数的两倍，而两种策略中硬币出现的频率也基本上分别接近2/3和1/3。<BR>　　当然，在一次性节目中，并不允许这样的重复实验。而且大多数人的确也不明智地选择了“不转换选择”。我曾在学生中做这个实验，结果32人中有20人坚持“不转换选择”。说明大多数人是不清楚这样复杂的概率思考的。更有意思的是，我跟我太太（一个没有修过高等数学的文学士、教育学硕士）玩这个游戏时，她也是坚持“不转换选择”。当我告诉她如果转换则可以成倍提高获奖概率时，她却说：如果我开始选对了，改变了结果错了就会后悔，所以心理素质好的就不应该改变。当然，她说的已经不是纯粹的概率计算，但也不是没有道理的。人们的行为的确不仅受制于各种精心的算计，也往往受制于某些心理因素（比如后悔）。不过，我对她的答案疑问在于：“如果开始选择对了，那么后来改变了选择会令人后悔。但是，如果后来你知道开始的选择错了，而你又没有转换选择，你就不后悔没有转换吗？”太太的回答更经典：“一开始选择错了，我就只认为运气不好，没什么可后悔的；如果开始对了，后来改变错了，才是后悔的。”这让我理解想到人们日常生活中常提到的道理：从没得到的东西，也就不会有失去它痛苦，而已得到的失去了，就会深感创伤。从太太的回答中，我突然明白了为什么行为博弈理论(behavioral game theory)现在大行其道。 <BR><BR><FONT size=4>打个广告：</FONT></P>
<P><FONT size=4>更多博弈和信息（概率）小故事，请访问我的博客 （不再神圣的经济学）</FONT><A href="http://blog.sina.com.cn/u/1250609891" target=_blank><FONT size=4>http://blog.sina.com.cn/u/1250609891</FONT></A><BR></P>
<P align=right><FONT color=#000066>[此贴子已经被作者于2006-8-21 17:42:01编辑过]</FONT></P>

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关键词：概率问题 该不该 Game Theory behavioral Behavior 电视节目 主持人 大众

多数教材都会提到类似的题目，还是很有趣，人类为什么进化出以之相反的倾向呢？实在费解。

不过理性的思考总是得到不一致的结果 呵呵

我们这样假设吧:就拿三张牌的实验来检验一下:

一张牌是空的;一张牌背面是个字母"A",一张牌是字母"B";

将三张牌铺在桌面上；然后你来选择一张牌；你的朋友将你没选取的牌中拿走空的那张，再问你是否改变你当初选的牌。你可以尝试以“转换选择”为策略进行数次(比如50次)，再以“不转换选择”为策略进行同样多的次数(比如50次)。结果你会发现什么？

结果是"A"的次数两次分别是多少;是"B"的次数两次分别是多少.

如果我说这里A代表奖励,按作者的分析应该A的次数要多;那我改成B代表奖励呢?

在这个实验里A和B的地位是等同的,他们出现的几率也是一样的!

以上为个人愚见!

以下是引用Ephent在2006-8-24 16:41:00的发言：

我们这样假设吧:就拿三张牌的实验来检验一下:

一张牌是空的;一张牌背面是个字母"A",一张牌是字母"B";

将三张牌铺在桌面上；然后你来选择一张牌；你的朋友将你没选取的牌中拿走空的那张，再问你是否改变你当初选的牌。你可以尝试以“转换选择”为策略进行数次(比如50次)，再以“不转换选择”为策略进行同样多的次数(比如50次)。结果你会发现什么？

结果是"A"的次数两次分别是多少;是"B"的次数两次分别是多少.

如果我说这里A代表奖励,按作者的分析应该A的次数要多;那我改成B代表奖励呢?

在这个实验里A和B的地位是等同的,他们出现的几率也是一样的!

以上为个人愚见!

这个思路很有趣。

大家也可想想，Ephent犯下的错误在哪里？

（我把他的错误写在这里了：http://blog.sina.com.cn/u/4a8acae30100061t帖子的第三条评论）

好神奇~

厉害呀

不才斗胆~Ephent 兄的错误貌似对条件理解有偏差.

对节目游戏规则的交代说："……这3扇门中有且仅有一扇门的后面装着奖品，另外两扇门则装着讽刺性礼品比如鸡崽(chicken)或者笨驴(donkey) 。当节目参与者选定一扇门之后，主持人就会打开另外两扇门中没有奖品的一扇……"

这种表达可能产生这样的歧义：三扇门分别是 门I 有奖品 门Ⅱ 有讽刺礼品 门Ⅲ 空门（没有奖品也没有礼品），所以才有Ephent兄“一张牌是空的;一张牌背面是个字母"A",一张牌是字母"B"”的实验及其结论~

失礼了~~

以下是引用Ephent在2006-8-24 16:41:00的发言：

我们这样假设吧:就拿三张牌的实验来检验一下:

一张牌是空的;一张牌背面是个字母"A",一张牌是字母"B";

将三张牌铺在桌面上；然后你来选择一张牌；你的朋友将你没选取的牌中拿走空的那张，再问你是否改变你当初选的牌。你可以尝试以“转换选择”为策略进行数次(比如50次)，再以“不转换选择”为策略进行同样多的次数(比如50次)。结果你会发现什么？

结果是"A"的次数两次分别是多少;是"B"的次数两次分别是多少.

如果我说这里A代表奖励,按作者的分析应该A的次数要多;那我改成B代表奖励呢?

在这个实验里A和B的地位是等同的,他们出现的几率也是一样的!

以上为个人愚见!

你的错误在于区分了“空”和“B”，其实“B”和“空”是无法区分的。你的朋友不可能肯定拿走“空”，只能拿走“空”或者“B”。

其实最好的理解方式是，两个盒子代表奖品在两个空盒中的机会是2/3，而主持人最后的举动使得你不用在剩余的两个盒子中选择，她帮助你清除了余冗的信息，故选择改变先前的选择有2/3的机会中奖，因为你实际上选择了两个盒子。

对这个题记忆尤新, 刚看楼主题目时候就想起那个美国例子了, 好象九几年的电视周报上写过.

那时候讲的不细, 年龄也小,现在重温, 终于看懂了, 谢谢楼主的解释.

顺便说说,这么解释是不是更通俗点, 毕竟三个门少了点,不好想. 100个门, 1个后面有礼物, 你选了后, 98个空的被打开了, 这时候你换不?

还是难以理解的。

我觉得，反正主持人都要打开一扇非奖门，那么第一轮选择就是无意义的，随意指一扇门都可以，剩下的事就在于第二轮的瞎蒙了。所以概率上都是1/2，没什么变化。

也许可以揣摩主持人的性格偏好，从其推开一扇非奖门后的说话语气上作判断。因为只有主持人的信息是最完全的，只能从他身上着手了。