一道中级宏观题目，求解释为什么f(K)=AK^a

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两个国家,Richland和Poorland,由索洛增长模型来描述.它们有相同的柯布-道格拉斯生产函数,F(K,L)=AK^αL^(1-α),但是资本量和劳动量不同.Richland储蓄其收入的32%,Poorland储蓄10%.Richland的人口增长率每年为1%,Poorland的人口增长率为3%（本问题的数字的选取近似为对富国和穷国的现实性描述.）两国的技术进步率均为每年2%,折旧率均为每年5%.
a.人均生产函数f(k)是什么?

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关键词：中级宏观 索洛增长模型 人口增长率 技术进步率 Land 道格拉斯 增长率 折旧率 国家 技术

这里的k应该是小写，代表人均资本，k=K/L。K为资本。其他的就好理解了。

a、人均生产函数: f(k)=A(K/L)^a=Ak^a
b、稳态收入
基本的经济关系：储蓄与收入——S＝sY＝sF(K,L)
资本存量与折旧和投资（储蓄）——dK/dt＝I-折旧率＊K
＝S-折旧率＊K
稳态的条件：人均资本增长率＝0
令f（k）＝y 对人均生产函数两边取ln,再对时间求导,可得
(dy/dt)/y=(dA/dt)/A+a*(dk/dt)/k
经济的稳定条件为(dk/dt)/k=0
因为(dk/dt)/k=［d(K/L)/dt]/(K/L)={[dK/dt*L-dL/dt*K]/L^2}*(L/K)=(dK/dt)/K-(dL/dt)/L
其中(dK/dt)/K＝S／K-折旧率＝sy/k-折旧率.表示资本的增长率
(dL/dt)/L＝人口的增长率
利用稳定条件,可得
sy／k -折旧率－人口增长率＝0
将y=f(k)=Ak^a,代入上式,可得：
s*A*k^(a-1)-折旧率-人口增长率＝0
解出k=［(折旧率＋人口增长率）／s］^[(1/(a-1)]
所以稳态的人均产出为y＝f(k)=A*k^a=A*［(折旧率＋人口增长率）／s］^[(a/(a-1)]
富国的人均产出为y(R)=A(R)*[(5%+1%)/33%]^[a/(1-a)]
穷国的人均产出为y(P)=A(P)*[(5%+3%)/10%]^[a/(1-a)]
由此可以计算人均收入的比值（人均收入就是人均产出）＝［A(R)/A(P)]*(5/22)^[a/(a-1)]
c、将a＝1/3代入人均产出公式可计算具体的比值（仍然是A的函数）=［A(R)/A(P)]*2.1
d、可以令两国的A相等,看a的不同取值能否使人均产出比值达到16,测试后会发现这需要a>0.65.因此产出的差距可能在于技术水平A,因为大家的技术进步速度相同,所以技术的初始水平可能是产出差距的主要原因