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Part I Cooperative Games with Crisp Coalitions
1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Cores and Related Solution Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1 Imputations, Cores and Stable Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 The Core Cover, the Reasonable Set and the Weber Set . 20
3 The Shapley Value, the τ -value, and the Average
Lexicographic Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 The Shapley Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 The τ-value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 The Average Lexicographic Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Egalitarianism-based Solution Concepts . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1 Overview. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 The Equal Split-Off Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.1 The Equal Split-Off Set for General Games . . . . . . 39
4.2.2 The Equal Split-Off Set for Superadditive Games . 41
5 Classes of Cooperative Crisp Games . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1 Totally Balanced Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.1 Basic Characterizations and Properties of
Solution Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.2 Totally Balanced Games and Population
Monotonic Allocation Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Convex Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2.1 Basic Characterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
X Contents
5.2.2 Convex Games and Population Monotonic
Allocation Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2.3 The Constrained Egalitarian Solution for Convex
Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.4 Properties of Solution Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.3 Clan Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3.1 Basic Characterizations and Properties of
Solution Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3.2 Total Clan Games and Monotonic Allocation
Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4 Convex Games versus Clan Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4.1 Characterizations via Marginal Games . . . . . . . . . . 66
5.4.2 Dual Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4.3 The Core versus the Weber Set . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Part II Cooperative Games with Fuzzy Coalitions
6 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7 Solution Concepts for Fuzzy Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.1 Imputations and the Aubin Core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.2 Cores and Stable Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.3 Generalized Cores and Stable Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.4 The Shapley Value and the Weber Set . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.5 Path Solutions and the Path Solution Cover . . . . . . . . . . . 96
7.6 Compromise Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8 Convex Fuzzy Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.1 Basic Characterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.2 Egalitarianism in Convex Fuzzy Games . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.3 Participation Monotonic Allocation Schemes . . . . . . . . . . . 116
8.4 Properties of Solution Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9 Fuzzy Clan Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.1 The Cone of Fuzzy Clan Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.2 Cores and Stable Sets for Fuzzy Clan Games . . . . . . . . . . 131
9.3 Bi-Monotonic Participation Allocation Rules . . . . . . . . . . . 135
Contents XI
Part III Multi-Choice Games
10 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
11 Solution Concepts for Multi-Choice Games . . . . . . . . . . 149
11.1 Imputations, Cores and Stable Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
11.2Marginal Vectors and the Weber Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
11.3 Shapley-like Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11.4 The Equal Split-Off Set for Multi-Choice Games . . . . . . . 163
12 Classes of Multi-Choice Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
12.1 Balanced Multi-Choice Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
12.1.1 Basic Characterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
12.1.2 Totally Balanced Games and Monotonic
Allocation Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
12.2 Convex Multi-Choice Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
12.2.1 Basic Characterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
12.2.2 Monotonic Allocation Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
12.2.3The Constrained Egalitarian Solution . . . . . . . . . . . 174
12.2.4 Properties of Solution Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . 180
12.3Multi-Choice Clan Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
12.3.1 Basic Characterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
12.3.2 Bi-Monotonic Allocation Schemes . . . . . . . . . . . . . . . 186
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

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